Ας δούμε λίγο και μια φθίνουσα ταλάντωση

 

Ένα σώμα Σ μάζας 2kg ηρεμεί δεμένο στο κάτω άκρο ενός κατακόρυφου ιδανικού ελατηρίου σταθεράς k, προκαλώντας του επιμήκυνση 0,4m, όπως στο σχήμα. Ανεβάζουμε το σώμα κατακόρυφα κατά 0,4m και σε μια στιγμή t₀=0, το αφήνουμε να εκτελέσει κατακόρυφη ταλάντωση, ενώ δέχεται και δύναμη απόσβεσης τη μορφής F_απ=-b∙υ=-0,2υ (μονάδες στο S.Ι.).

i) Να υπολογισθεί η αρχική ενέργεια ταλάντωσης, καθώς και η αρχική επιτάχυνση του σώματος.

Σε μια στιγμή t₁ το σώμα έχει επιμηκύνει το ελατήριο κατά 0,5m, έχοντας ταχύτητα μέτρου |υ₁|=1m/s.

ii) Να υπολογιστεί το έργο της δύναμης απόσβεσης από την στιγμή t₀ μέχρι τη στιγμή t₁.

iii) Για την στιγμή t₁ να υπολογιστούν:

 Α) Η επιτάχυνση του σώματος.

 Β) Οι ρυθμοί μεταβολής:

a)  της δυναμικής ενέργειας,

b) της κινητικής ενέργειας και

c) της ενέργειας ταλάντωσης του σώματος.

Δίνεται g=10m/s².

Απάντηση:

ή

 Ας δούμε λίγο και μια φθίνουσα ταλάντωση

 Ας δούμε λίγο και μια φθίνουσα ταλάντωση

Μια κρούση μεταξύ δύο ταλαντώσεων

 

Σε λείο οριζόντιο επίπεδο, δεμένο στο άκρο ενός ιδανικού ελατηρίου, ταλαντώνεται ένα σώμα Α μάζας m₁=1kg, ενώ ένα δεύτερο σώμα Β κινείται με σταθερή ταχύτητα πλησιάζοντας προς το Α σώμα, όπως στο σχήμα. Λαμβάνοντας κάποια στιγμή ως αρχή μέτρησης των χρόνων και ορίζοντας την προς τα δεξιά κατεύθυνση ως θετική, χαράξαμε την γραφική παράσταση της απομάκρυνσης του Α σώματος σε συνάρτηση με το χρόνο, παίρνοντας το διάγραμμα του διπλανού σχήματος, όπου την στιγμή t₁=π/10 s τα δύο σώματα συγκρούσθηκαν κεντρικά. Αντλώντας πληροφορίες από το διάγραμμα, να απαντήσετε στις παρακάτω ερωτήσεις:

i)  Μπορείτε να εξηγήσετε γιατί η παραπάνω κρούση είναι πλαστική;

ii) Να υπολογιστεί η σταθερά του ιδανικού ελατηρίου, με  το οποίο συνδέεται το Α σώμα.

iii) Να βρεθεί η ταχύτητα του σώματος Α ελάχιστα πριν την κρούση, καθώς και η κοινή ταχύτητα των σωμάτων μετά την κρούση.

iv) Αφού υπολογιστεί η αρχική απόσταση (για t=0) των δύο σωμάτων, να γίνει η γραφική παράσταση της ταχύτητας του σώματος Β σε συνάρτηση με το χρόνο, για t ≥ 0.

Δίνεται π²=10.

Απάντηση:

ή

 Μια κρούση μεταξύ δύο ταλαντώσεων

 Μια κρούση μεταξύ δύο ταλαντώσεων

Με την άσκηση δύναμης, μια δεύτερη ταλάντωση

Ένα σώμα μάζας 1kg ηρεμεί σε λείο οριζόντιο επίπεδο, δεμένο στο άκρο οριζόντιου ιδανικού  ελατηρίου, σταθεράς k=40Ν/m, στην θέση Ο. Εκτρέπουμε το σώμα προς τα αριστερά κατά d₁=0,2m, φέρνοντάς το στην θέση Β και σε μια στιγμή t_ο=0 το αφήνουμε να ταλαντωθεί. Την στιγμή t₁=0,5s, ασκείται στο σώμα μια σταθερή συντηρητική οριζόντια δύναμη μέτρου F=12Ν, με φορά προς τα δεξιά, όπως στο σχήμα. Θεωρώντας την προς τα αριστερά κατεύθυνση ως θετική:

i)  Να αποδείξετε ότι για όσο χρόνο ασκείται στο σώμα η δύναμη F, αυτό εκτελεί ΑΑΤ, βρίσκοντας την θέση ισορροπίας και το πλάτος της ταλάντωσης αυτής.

ii) Αφού βρείτε την χρονική στιγμή που το σώμα θα αρχίσει, για πρώτη φορά, να κινείται προς τα αριστερά, να εξετάσετε αν θα επιστρέψει στην αρχική θέση Β, από την οποία ξεκίνησε.

iii) Να βρείτε την συνάρτηση x=f(t) της θέσης του σώματος σε συνάρτηση με το χρόνο, αν η αρχή του άξονα είναι η αρχική θέση ισορροπίας Ο του σώματος.

iv) Να γίνει η γραφική παράσταση της παραπάνω συνάρτησης μέχρι την στιγμή t₂=1,5s.

Δίνεται π²=10.

Απάντηση:

ή

 Με την άσκηση δύναμης, μια δεύτερη ταλάντωση

 Με την άσκηση δύναμης, μια δεύτερη ταλάντωση

 Με την άσκηση δύναμης, μια δεύτερη ταλάντωση

Το κ.μ. ενός συστήματος και η στροφορμή

 

Στα άκρα μιας αβαρούς ράβδου μήκους d, έχουν προσδεθεί δυο σφαίρες Α και Β με μάζες m₁=3kg και m₂=1kg, οι οποίες αντιμετωπίζονται ως υλικά σημεία αμελητέων διαστάσεων, δημιουργώντας ένα στερεό S. Στηρίζουμε τη ράβδο στο σημείο Ο, με αποτέλεσμα το στερεό να ισορροπεί με την ράβδο σε οριζόντια θέση, όπως στο σχήμα.

i) Να αποδείξετε ότι (ΑΟ=x=d/4. Ποιο σημείο είναι το κέντρο μάζας του στερεού S;

Αφαιρούμε τις δυο σφαίρες από την ράβδο και τις συνδέουμε στα άκρα ενός ιδανικού ελατηρίου σταθεράς k=100Ν/m και φυσικού μήκους l₀=88cm. Το σύστημα τοποθετείται σε ένα λείο οριζόντιο επίπεδο και τίθεται με κατάλληλο τρόπο σε περιστροφή, οπότε κάθε σφαίρα εκτελεί ομαλή κυκλική κίνηση με σταθερή περίοδο Τ=π/2 s, γύρω από το κέντρο μάζας Κ του συστήματος των δύο σφαιρών, όπως φαίνεται στο σχήμα (σε κάτοψη).

ii)  Να υπολογιστούν οι ακτίνες των δύο κυκλικών τροχιών, που διαγράφουν οι δυο σφαίρες.

iii) Πόση ενέργεια  απαιτήθηκε για να τεθεί το παραπάνω σύστημα σε περιστροφή;

iv) Να βρεθεί η ορμή του συστήματος των δύο σφαιρών.

v) Ποια η στροφορμή του συστήματος των δύο σφαιρών, ως προς το κοινό κέντρο Κ της κυκλικής τροχιάς, που διαγράφουν.

Απάντηση

ή

 Το κ.μ. ενός συστήματος και η στροφορμή

 Το κ.μ. ενός συστήματος και η στροφορμή

Έχουμε καταλάβει τα βασικά στις Ταλαντώσεις;

 

Ένα σώμα ισορροπεί στο κάτω άκρο ενός κατακόρυφου ιδανικού ελατηρίου, σταθερά k, το οποίο κρέμεται από το ταβάνι, επιμηκύνοντάς το κατά d. Εκτρέπουμε το σώμα κατακόρυφα προς τα κάτω κατά 2d και σε μια στιγμή t=0, το αφήνουμε να ταλαντωθεί. Με δεδομένο ότι η προς τα πάνω κατεύθυνση θεωρείται θετική, να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω προτάσεις ως σωστές ή λανθασμένες, δίνοντας σύντομες δικαιολογήσεις.

i) Η μέγιστη ενέργεια ταλάντωσης είναι ίση με 2kd².

Σε μια στιγμή t₁, όπου 3Τ/4 < t₁ < Τ το ελατήριο έχει επιμήκυνση Δl=2d. Για τη στιγμή αυτή:

ii)  Οι αλγεβρικές  τιμές ταχύτητας και επιτάχυνσης είναι αρνητικές.

iii) Η δυναμική ενέργεια ταλάντωσης είναι ίση με U₁=2kd².

iv) Η κινητική ενέργεια του σώματος είναι ίση με Κ₁=1,5 kd².

Αναφερόμενοι τώρα στο ελατήριο:

v) Η μέγιστη δυναμική ενέργεια του ελατηρίου είναι ίση με U_mαx=4,5 kd².

Απάντηση:

ή

 Έχουμε καταλάβει τα βασικά στις Ταλαντώσεις;

 Έχουμε καταλάβει τα βασικά στις Ταλαντώσεις;

Κάτι ακόμη σε ένα γνωστό πρόβλημα

Μια μικρή σφαίρα μάζας m=2kg, την οποία θεωρούμε υλικό σημείο, περιστρέφεται πάνω σε λείο οριζόντιο τραπέζι, δεμένη στο ένα άκρο αβαρούς νήματος μήκους l=1,5m, με ταχύτητα σταθερού μέτρου υ_ο=3m/s. Η παραπάνω περιστροφή επιτυγχάνεται, αφού το νήμα περνά από μια τρύπα Ο, στην επιφάνεια του τραπεζιού και στο άλλο του άκρο Α, ασκούμε μια κατακόρυφη δύναμη F, μέτρου F_ο =22,5Ν, όπως στο σχήμα. Κάποια στιγμή t=0, αυξάνουμε το μέτρο της δύναμης F, (καθιστώντας την μεταβλητή), οπότε μετά από λίγο τη στιγμή t₁, το άκρο Α του νήματος έχει κατέβει κατά h=0,2m έχοντας ταχύτητα υ_Α=0,1m/s, ενώ η δύναμη έχει μέτρο F₁=60Ν.

i)  Ποιο το αρχικό μήκος του κατακόρυφου τμήματος (ΟΑ) του νήματος;

ii) Να υπολογιστεί η στροφορμή και ο ρυθμός μεταβολής της στροφορμής της σφαίρας, ως προς το σημείο Ο, την στιγμή t₁.

iii) Να υπολογιστεί το έργο της μεταβλητής δύναμης F, μέχρι τη στιγμή t₁.

iv) Για την στιγμή t₁ να βρεθούν ακόμη:

α) Η κινητική ενέργεια και ο ρυθμός μεταβολής της κινητικής ενέργειας της σφαίρας.

β) Η επιτάχυνση του άκρου Α του νήματος.

Δίνεται ότι η στροφορμή ενός υλικού σημείου το οποίο κινείται με ταχύτητα υ στο επίπεδο της σελίδας, ως προς ένα σημείο Ο του επιπέδου, είναι κάθετη στο επίπεδο, όπως στο σχήμα και έχει μέτρο L=mυ₁r, όπου υ₁ η συνιστώσα της ταχύτητας η κάθετη στην απόσταση r.

Απάντηση:

ή

 Κάτι ακόμη σε ένα γνωστό πρόβλημα

 Κάτι ακόμη σε ένα γνωστό πρόβλημα

Ισορροπία και κέντρο μάζας στερεού

 Στα άκρα Α και Β μιας λεπτής ομογενούς ράβδου μήκους l και μάζας Μ=3m, έχουν προσδεθεί δυο σημειακές σφαίρες με μάζες m­Α=2m και mΒ=m, δημιουργώντας ένα στερεό S. Το στερεό S ισορροπεί, με την ράβδο σε οριζόντια θέση, στηριζόμενο σε τρίποδο.

i) Ποιο από τα παρακάτω σχήματα δείχνει την ισορροπία του στερεού S;

ii) Το κέντρο μάζας Ο του στερεού S, απέχει από το άκρο του Α της ράβδου κατά:

α) x= 4l/12,   β)  x= 5l/12,       γ) x= 6l/12,    δ)  x=7l/12. 

iii) Μετακινούμε το τρίποδο ώστε το στερεό να στηρίζεται σε σημείο Γ, όπου (ΑΓ)=0,3l, οπότε για να εξασφαλίζεται η ισορροπία σε οριζόντια θέση της ράβδου, ασκούμε στο άκρο Α μια κατακόρυφη   δύναμη F1. Να σχεδιάσετε την δύναμη F1 στο σχήμα, υπολογίζοντας και το μέτρο της.

Απάντηση:

ή

 Ισορροπία και κέντρο μάζας  στερεού

 Ισορροπία και κέντρο μάζας  στερεού