Η κίνηση σε κυλινδρική επιφάνεια

Ένα μικρό σώμα Σ₁ μάζας m₁= 0,1kg αφήνεται τη στιγμή t₀=0 να κινηθεί στο σημείο Β, στο εσωτερικό μιας λείας κυλινδρικής επιφάνειας, κέντρου Ο και ακτίνας R=4m. Μετά από λίγο, το σώμα φτάνει στο λείο οριζόντιο επίπεδο ΚΜ, με ταχύτητα υ₁, όπως στο σχήμα. Το σημείο Β απέχει κατά x₁=0,2m από την κατακόρυφο ΟΚ, που περνά από το κέντρο Ο της κυλινδρικής επιφάνειας.

i) Να αποδείξτε ότι η κίνηση του σώματος από τη θέση Β μέχρι να φτάσει  στο οριζόντιο επίπεδο (θέση Κ) μπορεί να θεωρηθεί απλή αρμονική ταλάντωση.

ii) Να υπολογίσετε την τελική ταχύτητα υ₁ του σώματος στο οριζόντιο επίπεδο.

iii) Πόσο απέχει το σώμα από το σημείο Κ τη χρονική στιγμή t₁=2s;

iii) Επαναλαμβάνουμε το πείραμα αφήνοντας τώρα ένα δεύτερο σώμα Σ₂ μάζας m₂=0,2kg, σε σημείο Γ της κυλινδρικής επιφάνειας, το οποίο απέχει κατά x₂=0,4m από την κατακόρυφο ΟΚ. Να εξετάσετε την ορθότητα ή μη των προτάσεων:

α) Το σώμα Σ₂ θα χρειαστεί περισσότερο χρόνο (από το Σ₁) για να φτάσει στο σημείο Κ.

β) Για την τελική ταχύτητα του Σ₂ ισχύει υ₂=2υ₁.

Δίνεται π²≈10 και g=10m/s².

Απάντηση:

ή

Η κίνηση σε κυλινδρική επιφάνεια