Κοιτάζοντας το παράθυρο, παρατηρούμε τα κύματα.

Κατά μήκος ενός γραμμικού ελαστικού μέσου διαδίδονται με ταχύτητα υ=1m/s δύο κύματα και τη στιγμή t₀=0, φτάνουν στα σημεία Ο και Κ, στα άκρα ενός παραθύρου, με (ΟΚ)=4m, το οποίο αποτελεί την περιοχή παρατήρησής μας. Το πλάτος κάθε κύματος είναι Α=0,6m και το μήκος κύματος λ=2m.

i)  Να γράψετε την εξίσωση του κύματος, για κάθε κύμα, θεωρώντας τη θέση του σημείου Ο, ως αρχή του άξονα (x=0) και θετική την προς τα δεξιά κατεύθυνση.

ii) Μια σημειακή μάζα dm=10^-7kg, βρίσκεται στο σημείο Β, με x_Β=1m. Να βρεθούν η κινητική της ενέργεια και η συνισταμένη δύναμη που δέχεται τις χρονικές στιγμές:

  α) t₁=1,25s και β) t₂=3,6s.

iii) Να σχεδιάσετε τη μορφή του ελαστικού μέσου στο παραπάνω παράθυρο τη στιγμή t₃=5s.

 Απάντηση:

ή

	Κοιτάζοντας το παράθυρο, παρατηρούμε τα κύματα.

Η δύναμη, το βάρος και το ζύγισμα.

Σε ένα κυλινδρικό δοχείο βάρους w₁ περιέχεται νερό μάζας m.

i) Η δύναμη που ασκεί το νερό στη βάση του δοχείου έχει μέτρο F₁, όπου :

α) F₁< mg,   β) F₁ = mg,    γ) F₁ > mg

ii) Τοποθετούμε το δοχείο αυτό πάνω σε μια ζυγαριά. Για την ένδειξη της ζυγαριάς F₂, ισχύει;

α) F₂ < w₁+mg,    β) F₂ = w₁+mg,   γ)  F₂ > w₁+mg

Τα παραπάνω πραγματοποιούνται μέσα στην ατμόσφαιρα.

Απάντηση:

ή

Η δύναμη, το βάρος και το ζύγισμα.

Το κύμα και η εξίσωσή του

Κατά μήκος ενός γραμμικού ελαστικού μέσου και προς την θετική κατεύθυνση (προς τα δεξιά) διαδίδεται ένα αρμονικό κύμα.

Η εξίσωση του κύματος έχει τη μορφή:

iv) Όλες οι παραπάνω εξισώσεις μπορούν να περιγράψουν το παραπάνω κύμα.

Απάντηση:

	Το κύμα και η εξίσωσή του

Ένα κύμα, δύο εξισώσεις κύματος

Κατά μήκος ενός γραμμικού ελαστικού μέσου και από τα αριστερά προς τα δεξιά διαδίδεται ένα αρμονικό κύμα και στο σχήμα δίνεται η μορφή του μέσου σε μια στιγμή που θεωρούμε ότι t₀=0. Το κύμα αυτό φτάνει στο σημείο Λ, όπου (ΚΛ)=5/3m τη στιγμή t₁=5/6s. Με βάση τις πληροφορίες που δίνονται στο σχήμα, δυο μαθητές, προχωρούν στην «μαθηματική μελέτη» του κύματος, θέλοντας να απαντήσουν σε μια σειρά ερωτημάτων. Ο πρώτος (Γιάννης) θεωρεί αρχή του άξονα (x=0) το σημείο Κ στο οποίο έχει φτάσει το κύμα, ο δεύτερος (Δημήτρης) παίρνει ως αρχή το σημείο Λ. Τα ερωτήματα είναι:

i) Να βρεθεί το μήκος κύματος και η ταχύτητα διάδοσης του κύματος.

ii) Ποια η εξίσωση του κύματος;

iii) Να σχεδιαστεί το στιγμιότυπο του κύματος τη στιγμή t₂=7/4s.

iv) Να υπολογιστούν τη στιγμή t₂ η ταχύτητα και η επιτάχυνση του σημείου Λ.

v) Να γίνει η γραφική παράσταση της φάσης της απομάκρυνσης του σημείου Λ σε συνάρτηση με το χρόνο.

Ποιες απαντήσεις δίνουν οι μαθητές;

Απάντηση:

ή 

	Ένα κύμα, δύο εξισώσεις κύματος

Η μεταφορά ορμής.

 

Σε λείο οριζόντιο επίπεδο ηρεμεί ένα σώμα Σ μάζας Μ. Τη χρονική στιγμή t₀=0 στο σώμα ασκείται μια σταθερή οριζόντια δύναμη μέτρου F=2Ν.

i)  Ποια η ορμή του σώματος Σ τη στιγμή t₁=10s;

ii) Αν στη θέση του σώματος Σ, είχαμε δυο σώματα Α και Β με μάζες m και 3m, τα

οποία συνδέονται με αβαρές νήμα και ασκούσαμε την ίδια δύναμη στο σώμα Β, να βρεθεί η ορμή κάθε σώματος τη στιγμή t₁.

iii) Επαναλαμβάνουμε το πείραμα, αλλά τώρα έχουμε τα σώματα Σ₁ και Σ₂ με μάζες m₁=1kg και m₂=4kg,τα οποία συνδέονται με ιδανικό ελατήριο, όπως στο τρίτο σχήμα. Ασκούμε ξανά την ίδια δύναμη στο σώμα Σ₂, οπότε τη στιγμή t₁ το σώμα Σ₂, έχει ταχύτητα μέτρου υ₂=3m/s. Να βρεθεί η ταχύτητα του σώματος Σ₁ την ίδια χρονική στιγμή t₁.

iv) Τη στιγμή t₁ σταματά να ασκείται η δύναμη F.  Μια επόμενη χρονική στιγμή t₂ η ταχύτητα του σώματος Σ₁ μηδενίζεται στιγμιαία. Να βρεθεί η ταχύτητα του Σ₂ τη στιγμή αυτή.

Απάντηση:

Η μεταφορά ορμής. 

Μέχρι να μηδενιστεί η ταχύτητα του σώματος.

Ένα σώμα μάζας 2kg ηρεμεί σε λείο οριζόντιο επίπεδο στη θέση Ο, δεμένο στο άκρο ιδανικού ελατηρίου, σταθεράς k=20Ν/m, όπως στο σχήμα, όπου το ελατήριο συνδέεται με κατακόρυφο τοίχο με νήμα μήκους l=1m, το οποίο είναι τεντωμένο.  Εκτρέπουμε το σώμα προς τα δεξιά κατά (π/5)m και τη στιγμή t₀=0, το αφήνουμε να κινηθεί. Λαμβάνοντας τη θέση Ο ως αρχή του άξονα (x=0) και θετική την προς τα δεξιά κατεύθυνση, να βρεθούν:

i) Η μέγιστη ταχύτητα του σώματος.

ii) Η χρονική στιγμή t₁ όπου θα σταματήσει η προς τα αριστερά κίνηση του σώματος.

iii) Η εξίσωση της θέσης του σώματος, σε συνάρτηση με το χρόνο (x₁=f(t)) , μέχρι τη στιγμή t₁. Να γίνει και η αντίστοιχη γραφική.

iv) Αν σε μια άλλη περίπτωση, το σώμα εκτελούσε κίνηση με εξίσωση:

x=x₁+2∙συν(πt)

όπου x₁ η θέση του σώματος κατά την παραπάνω κίνηση, να υπολογιστεί η ταχύτητα του σώματος τη χρονική στιγμή t₂=0,75s.

Δίνεται π²≈10.

Απάντηση:

ή

	Μέχρι να μηδενιστεί η ταχύτητα του σώματος.

Μια εξαναγκασμένη ταλάντωση και ενέργειες.

Ένα σώμα μάζας  2kg ηρεμεί σε λείο οριζόντιο επίπεδο, δεμένο στο άκρο ενός οριζόντιου ελατηρίου σταθεράς k=25Ν/m. Σε μια στιγμή δέχεται περιοδική οριζόντια δύναμη F,με αποτέλεσμα να αρχίσει να ταλαντώνεται. Μόλις αποκατασταθεί σταθερή κατάσταση, λαμβάνοντας κάποια στιγμή σαν t=0, βρίσκουμε ότι το σώμα εκτελεί ταλάντωση με εξίσωση απομάκρυνσης

x=0,4∙ημ(πt) (μονάδες στο S.Ι.)

γύρω από την αρχική θέση ισορροπίας του. Στη διάρκεια της ταλάντωσης το  σώμα δέχεται δύναμη απόσβεσης της μορφής F_απ= - 4υ  (S.Ι.), όπου υ η ταχύτητα του σώματος.

i) Να βρεθούν η ιδιοσυχνότητα και η συχνότητα ταλάντωσης του σώματος.

ii) Για την χρονική στιγμή t₁=1s ζητούνται:

α)  Η κινητική και η δυναμική ενέργεια ταλάντωσης και το άθροισμά τους Κ+U.

β)   Ο ρυθμός με τον οποίο αφαιρείται ενέργεια από το σώμα, μέσω του έργου της δύναμης απόσβεσης.

iii) Για τη χρονική στιγμή t₂=13/6 s να υπολογιστούν:

α)  Η κινητική και η δυναμική ενέργεια ταλάντωσης και το άθροισμά τους Κ+U.

β)  Οι ρυθμοί μεταβολής της κινητικής και δυναμικής ενέργειας.

γ)  Ο ρυθμός με τον οποίο αφαιρείται ενέργεια από το σώμα εξαιτίας της δύναμης απόσβεσης καθώς και ο ρυθμός με τον οποίο προσφέρεται ενέργεια στο σώμα μέσω της εξωτερικής δύναμης F.

Απάντηση:

ή

  Μια εξαναγκασμένη ταλάντωση και ενέργειες.

  Μια εξαναγκασμένη ταλάντωση και ενέργειες.

Δυο σώματα αφήνονται να κινηθούν.

Δυο σώματα Σ₁ και Σ₂, ίδιας μάζας m=2kg, συγκρατιόνται σε λείο κεκλιμένο επίπεδο απέχοντας κατά D=1,5m από την κορυφή του Ο. Το Σ₁ είναι δεμένο στο άκρο ιδανικού ελατηρίου σταθεράς k=20Ν/m με φυσικό μήκος l₀=1,2m, το άλλο άκρο του οποίου δένεται σε στήριγμα στη βάση του επιπέδου, όπως στο σχήμα. Σε μια στιγμή (t₀=0) αφήνουμε ταυτόχρονα τα σώματα να κινηθούν.

i) Να βρεθεί η αρχική επιτάχυνση κάθε σώματος.

ii) Να υπολογιστούν οι ταχύτητες των σωμάτων, τη στιγμή t₁ που αποκτούν ίσες επιταχύνσεις για πρώτη φορά.

iii) Πόσο απέχει κάθε σώμα από την κορυφή Ο του επιπέδου τη στιγμή t₂ που μηδενίζεται για πρώτη φορά η ταχύτητα του σώματος Σ₁;

iv) Να παρασταθεί γραφικά η ταχύτητα κάθε σώματος σε συνάρτηση με το χρόνο, μέχρι τη στιγμή t₂, στο ίδιο διάγραμμα.

Το κεκλιμένο επίπεδο έχει κλίση θ, με ημθ=0,3, η επιτάχυνση της βαρύτητας g=10m/s² και π²≈10.

Απάντηση:

ή

	Δυο σώματα αφήνονται να κινηθούν.