Επιφανειακή συμβολή και φάση.

Στην επιφάνεια ενός υγρού υπάρχουν δύο πηγές εγκαρσίων κυμάτων Π₁ και Π₂, οι οποίες, κάποια στιγμή t₀=0, αρχίζουν να ταλαντώνονται ταυτόχρονα με εξισώσεις:

y₁=Α∙ημ(ωt) και y₂=Α∙ημ(ωt) 

Έτσι δημιουργούνται επιφανειακά κύματα, τα οποία θεωρούμε ότι διαδίδονται με σταθερά πλάτη και με μήκος κύματος λ=0,8m. Τα κύματα συμβάλουν σε ένα σημείο Ο, το οποίο ταλαντώνεται με πλάτος 0,1m και στο σχήμα δίνεται η φάση της απομάκρυνσής του, σε συνάρτηση με το χρόνο.

i)   Να υπολογιστεί η συχνότητα και η ταχύτητα των κυμάτων που δημιουργούνται.

ii)  Ποιο το πλάτος ταλάντωσης των πηγών και πόσο απέχει το σημείο Ο από τις πηγές των κυμάτων;

iii) Να βρεθεί η διαφορά φάσης μεταξύ της απομάκρυνσης του σημείου Ο και της πηγής Π₁ τη χρονική στιγμή t₁=3,25s.

iv)  Αν η απόσταση των  δύο πηγών είναι (Π₁Π₂)=d=0,6m, πόσα σημεία πάνω στο ευθύγραμμο τμήμα που ενώνει την πηγή Π₁ και το σημείο Ο, ταλαντώνονται με μέγιστο πλάτος;

Απάντηση:

ή

	Επιφανειακή συμβολή και φάση.

Δύο κύματα χωρίς εξισώσεις.

Κατά μήκος ενός ελαστικού μέσου  διαδίδονται αντίθετα δύο κύματα, του ίδιου πλάτους και τη στιγμή t₀ έχουμε την εικόνα του σχήματος.

i)  Αν η ταχύτητα ταλάντωσης του σημείου Β, την παραπάνω στιγμή, είναι υ_Β=-1m/s, τότε η ταχύτητα του σημείου Γ έχει τιμή:

α) υ_Γ=-1m/s,    β) υ_Γ=1m/s,     γ) υ_Γ=2m/s,      δ)  υ_Γ=3m/s

ii) Τη στιγμή t₁, που το κύμα (1) έχει διαδοθεί κατά d₁=2,5m, ποιες οι ταχύτητες των σημείων Β και Γ;

Απάντηση:

ή

	Δύο κύματα χωρίς εξισώσεις.

Κοιτάζοντας το παράθυρο, παρατηρούμε τα κύματα.

Κατά μήκος ενός γραμμικού ελαστικού μέσου διαδίδονται με ταχύτητα υ=1m/s δύο κύματα και τη στιγμή t₀=0, φτάνουν στα σημεία Ο και Κ, στα άκρα ενός παραθύρου, με (ΟΚ)=4m, το οποίο αποτελεί την περιοχή παρατήρησής μας. Το πλάτος κάθε κύματος είναι Α=0,6m και το μήκος κύματος λ=2m.

i)  Να γράψετε την εξίσωση του κύματος, για κάθε κύμα, θεωρώντας τη θέση του σημείου Ο, ως αρχή του άξονα (x=0) και θετική την προς τα δεξιά κατεύθυνση.

ii) Μια σημειακή μάζα dm=10^-7kg, βρίσκεται στο σημείο Β, με x_Β=1m. Να βρεθούν η κινητική της ενέργεια και η συνισταμένη δύναμη που δέχεται τις χρονικές στιγμές:

  α) t₁=1,25s και β) t₂=3,6s.

iii) Να σχεδιάσετε τη μορφή του ελαστικού μέσου στο παραπάνω παράθυρο τη στιγμή t₃=5s.

 Απάντηση:

ή

	Κοιτάζοντας το παράθυρο, παρατηρούμε τα κύματα.

Η δύναμη, το βάρος και το ζύγισμα.

Σε ένα κυλινδρικό δοχείο βάρους w₁ περιέχεται νερό μάζας m.

i) Η δύναμη που ασκεί το νερό στη βάση του δοχείου έχει μέτρο F₁, όπου :

α) F₁< mg,   β) F₁ = mg,    γ) F₁ > mg

ii) Τοποθετούμε το δοχείο αυτό πάνω σε μια ζυγαριά. Για την ένδειξη της ζυγαριάς F₂, ισχύει;

α) F₂ < w₁+mg,    β) F₂ = w₁+mg,   γ)  F₂ > w₁+mg

Τα παραπάνω πραγματοποιούνται μέσα στην ατμόσφαιρα.

Απάντηση:

ή

Η δύναμη, το βάρος και το ζύγισμα.

Το κύμα και η εξίσωσή του

Κατά μήκος ενός γραμμικού ελαστικού μέσου και προς την θετική κατεύθυνση (προς τα δεξιά) διαδίδεται ένα αρμονικό κύμα.

Η εξίσωση του κύματος έχει τη μορφή:

iv) Όλες οι παραπάνω εξισώσεις μπορούν να περιγράψουν το παραπάνω κύμα.

Απάντηση:

	Το κύμα και η εξίσωσή του

Ένα κύμα, δύο εξισώσεις κύματος

Κατά μήκος ενός γραμμικού ελαστικού μέσου και από τα αριστερά προς τα δεξιά διαδίδεται ένα αρμονικό κύμα και στο σχήμα δίνεται η μορφή του μέσου σε μια στιγμή που θεωρούμε ότι t₀=0. Το κύμα αυτό φτάνει στο σημείο Λ, όπου (ΚΛ)=5/3m τη στιγμή t₁=5/6s. Με βάση τις πληροφορίες που δίνονται στο σχήμα, δυο μαθητές, προχωρούν στην «μαθηματική μελέτη» του κύματος, θέλοντας να απαντήσουν σε μια σειρά ερωτημάτων. Ο πρώτος (Γιάννης) θεωρεί αρχή του άξονα (x=0) το σημείο Κ στο οποίο έχει φτάσει το κύμα, ο δεύτερος (Δημήτρης) παίρνει ως αρχή το σημείο Λ. Τα ερωτήματα είναι:

i) Να βρεθεί το μήκος κύματος και η ταχύτητα διάδοσης του κύματος.

ii) Ποια η εξίσωση του κύματος;

iii) Να σχεδιαστεί το στιγμιότυπο του κύματος τη στιγμή t₂=7/4s.

iv) Να υπολογιστούν τη στιγμή t₂ η ταχύτητα και η επιτάχυνση του σημείου Λ.

v) Να γίνει η γραφική παράσταση της φάσης της απομάκρυνσης του σημείου Λ σε συνάρτηση με το χρόνο.

Ποιες απαντήσεις δίνουν οι μαθητές;

Απάντηση:

ή 

	Ένα κύμα, δύο εξισώσεις κύματος

Η μεταφορά ορμής.

 

Σε λείο οριζόντιο επίπεδο ηρεμεί ένα σώμα Σ μάζας Μ. Τη χρονική στιγμή t₀=0 στο σώμα ασκείται μια σταθερή οριζόντια δύναμη μέτρου F=2Ν.

i)  Ποια η ορμή του σώματος Σ τη στιγμή t₁=10s;

ii) Αν στη θέση του σώματος Σ, είχαμε δυο σώματα Α και Β με μάζες m και 3m, τα

οποία συνδέονται με αβαρές νήμα και ασκούσαμε την ίδια δύναμη στο σώμα Β, να βρεθεί η ορμή κάθε σώματος τη στιγμή t₁.

iii) Επαναλαμβάνουμε το πείραμα, αλλά τώρα έχουμε τα σώματα Σ₁ και Σ₂ με μάζες m₁=1kg και m₂=4kg,τα οποία συνδέονται με ιδανικό ελατήριο, όπως στο τρίτο σχήμα. Ασκούμε ξανά την ίδια δύναμη στο σώμα Σ₂, οπότε τη στιγμή t₁ το σώμα Σ₂, έχει ταχύτητα μέτρου υ₂=3m/s. Να βρεθεί η ταχύτητα του σώματος Σ₁ την ίδια χρονική στιγμή t₁.

iv) Τη στιγμή t₁ σταματά να ασκείται η δύναμη F.  Μια επόμενη χρονική στιγμή t₂ η ταχύτητα του σώματος Σ₁ μηδενίζεται στιγμιαία. Να βρεθεί η ταχύτητα του Σ₂ τη στιγμή αυτή.

Απάντηση:

Η μεταφορά ορμής. 

Μέχρι να μηδενιστεί η ταχύτητα του σώματος.

Ένα σώμα μάζας 2kg ηρεμεί σε λείο οριζόντιο επίπεδο στη θέση Ο, δεμένο στο άκρο ιδανικού ελατηρίου, σταθεράς k=20Ν/m, όπως στο σχήμα, όπου το ελατήριο συνδέεται με κατακόρυφο τοίχο με νήμα μήκους l=1m, το οποίο είναι τεντωμένο.  Εκτρέπουμε το σώμα προς τα δεξιά κατά (π/5)m και τη στιγμή t₀=0, το αφήνουμε να κινηθεί. Λαμβάνοντας τη θέση Ο ως αρχή του άξονα (x=0) και θετική την προς τα δεξιά κατεύθυνση, να βρεθούν:

i) Η μέγιστη ταχύτητα του σώματος.

ii) Η χρονική στιγμή t₁ όπου θα σταματήσει η προς τα αριστερά κίνηση του σώματος.

iii) Η εξίσωση της θέσης του σώματος, σε συνάρτηση με το χρόνο (x₁=f(t)) , μέχρι τη στιγμή t₁. Να γίνει και η αντίστοιχη γραφική.

iv) Αν σε μια άλλη περίπτωση, το σώμα εκτελούσε κίνηση με εξίσωση:

x=x₁+2∙συν(πt)

όπου x₁ η θέση του σώματος κατά την παραπάνω κίνηση, να υπολογιστεί η ταχύτητα του σώματος τη χρονική στιγμή t₂=0,75s.

Δίνεται π²≈10.

Απάντηση:

ή

	Μέχρι να μηδενιστεί η ταχύτητα του σώματος.