Αβαρές νήμα και αβαρής ράβδος

ή Μεταφορική και Στροφική κίνηση

Μια ομογενής λεπτή ράβδος ΑΒ μήκους ℓ=2m συγκρατείται σε κατακόρυφη θέση, δεμένη στο άκρο οριζόντιου νήματος, μήκους επίσης ℓ, στο μέσον της Μ. Το άλλο άκρο του νήματος στερεώνεται σε σταθερό σημείο Ο, αμέσως μόλις αφεθεί ελεύθερη να κινηθεί.

i)  Αφήνουμε τη ράβδο να κινηθεί. Να βρεθούν οι επιταχύνσεις του μέσου της Μ και του άκρου Β της ράβδου.

ii)  Ποια θα είναι η αντίστοιχη απάντηση στο παραπάνω ερώτημα, αν αντικαταστήσουμε το αβαρές νήμα, με αβαρή ράβδο ΟΜ;

Δίνεται g=10m/s², καθώς και η ροπή αδράνειας της ράβδου ως προς κάθετο άξονα ο οποίος περνά από το μέσον της Ι_cm=mℓ²/12.

Απάντηση:

ή

 Αβαρές νήμα και αβαρής ράβδος

 Αβαρές νήμα και αβαρής ράβδος

Τα έργα των δυνάμεων και η κινητική ενέργεια

Σε λείο οριζόντιο επίπεδο ηρεμεί ένας ομογενής  οριζόντιος δίσκος μάζας 20kg και ακτίνας 0,5m. . Τυλίγουμε γύρω του ένα αβαρές και μη εκτατό νήμα, στο άκρο Α του οποίου τη στιγμή t=0 ασκούμε, μια οριζόντια δύναμη μέτρου F₂=10Ν, ενώ ταυτόχρονα στο κέντρο του Ο ασκούμε μια αντιπαράλληλη δύναμη μέτρου F₁=16Ν, όπως στο σχήμα (σε κάτοψη).  Διατυπώνονται δύο προτάσεις:

Α)  Το έργο της δύναμης F₁ μετράει την ενέργεια που μεταφέρεται στο δίσκο και εμφανίζεται με τη μορφή της «μεταφορικής» κινητικής ενέργειας.

Β) Το έργο της δύναμης F₂ μπορεί να υπολογιστεί και ως έργο της ροπής F₂.

Για τον έλεγχο της ορθότητας των παραπάνω προτάσεων, ας δούμε τα παρακάτω ερωτήματα:

Για την κίνηση από τη στιγμή t=0 μέχρι τη στιγμή t₁=10s, να υπολογιστούν:

i)  Η επιτάχυνση του κέντρου μάζας Ο του δίσκου, καθώς και η γωνιακή του επιτάχυνση.

ii) Το έργο της δύναμης F₁ και η αντίστοιχη κινητική ενέργεια, τη στιγμή t₁, η οποία συνδέεται με την μεταφορική κίνηση του δίσκου.

iii) Το έργο της δύναμης F₂ και το αντίστοιχο έργο της ροπής της δύναμης.

iv) Η κινητική ενέργεια του δίσκου τη στιγμή t₁.

Δίνεται η ροπή αδράνειας του δίσκου ως προς κάθετο άξονα ο οποίος περνά από το κέντρο του Ο, Ι= ½ mR².

Απάντηση:

ή

 Τα έργα των δυνάμεων και η κινητική ενέργεια

 Τα έργα των δυνάμεων και η κινητική ενέργεια

Ένα ζεύγος περιστρέφει έναν δίσκο

 

Σε λείο οριζόντιο επίπεδο ηρεμεί ελεύθερος ένας ομογενής δίσκος μάζας Μ=20kg και ακτίνας R=2m. Σε μια στιγμή t=0, ασκούμε στα άκρα Α και Β μιας διαμέτρου του, δύο σταθερές αντίθετες δυνάμεις με μέτρα F₁=F₂=14Ν, όπως στο σχήμα (σε κάτοψη).

i)  Να υπολογιστεί η αρχική επιτάχυνση του κέντρου Ο και η αντίστοιχη γωνιακή επιτάχυνση του δίσκου.

Μετά από λίγο τη στιγμή t₁ ο δίσκος έχει στραφεί κατά γωνία φ (ημφ=0,8 και συνθ=0,6), έχοντας γωνιακή ταχύτητα ω₁=1,5rad/s.  Για τη στιγμή αυτή:

ii)  Να βρεθεί η στροφορμή και ο ρυθμός μεταβολής της στροφορμής του δίσκου, ως προς κατακόρυφο άξονα ο οποίος περνά από το κέντρο του Ο.

iii) Να υπολογιστεί η κινητική ενέργεια του δίσκου και ο ρυθμός μεταβολής της κινητικής του ενέργειας.

iv) Μπορείτε να υπολογίστε την στιγμιαία ισχύ της δύναμης F₁ στη στιγμή t₁, χωρίς αναφορά σε ροπή δύναμης ή ροπή ζεύγους δυνάμεων;

Δίνεται η ροπή αδράνειας του δίσκου ως προς κάθετο άξονα που περνά από το κέντρο του Ι= ½ ΜR².

Απάντηση:

ή

Ένα ζεύγος περιστρέφει έναν δίσκο

Ένα ζεύγος περιστρέφει έναν δίσκο

Οι ενέργειες σε μια εξαναγκασμένη ταλάντωση

 

Το σώμα Σ δεμένο στο άκρο κατακόρυφου ελατηρίου σταθεράς k, μπορεί να εκτελεί, απουσία αποσβέσεων, ΑΑΤ με συχνότητα 0,5Ηz. Στη διάταξη του διπλανού σχήματος, παρουσία αποσβέσεων, το σώμα μπορεί να εκτελεί εξαναγκασμένη ταλάντωση ορισμένου πλάτους Α₁, όταν ο τροχός Τ στρέφεται με περίοδο Τ₁=1s. Αν αυξήσουμε την περίοδο περιστροφής του τροχού στην τιμή Τ₂=1,25s, τότε:

i) Το πλάτος ταλάντωσης:

α) θα μειωθεί,   β) θα μείνει το ίδιο,   γ) θα αυξηθεί.

ii) Αν το πλάτος ταλάντωσης είναι Α₂ , τότε:

Α) Η μέγιστη ταχύτητα του σώματος θα είναι:

α) 2πf₂∙Α₂         β) 2πf₀∙Α₂       γ) άλλη τιμή.

Β) Για τις μέγιστες τιμές Δυναμικής και Κινητικής ενέργειας  θα ισχύει:

α)   Κ_max> U_max,       β)  Κ_max = U_max,     γ) Κ_max < U_max.

Να δικαιολογήσετε τις απαντήσει σας.

Απάντηση:

ή

Οι ενέργειες σε μια εξαναγκασμένη ταλάντωση

Οι ενέργειες σε μια εξαναγκασμένη ταλάντωση

Όταν μαζεύεται το νήμα

 

Σε λείο οριζόντιο επίπεδο ηρεμεί ένας ομογενής δίσκος, μάζας m=2kg και ακτίνας R=1m, ο οποίος μπορεί να στρέφεται γύρω από κατακόρυφο σωλήνα- άξονα z, χωρίς τριβές. Στο σωλήνα έχει δεθεί το ένα άκρο αβαρούς νήματος, μήκους ℓ=0,5m, στο άλλο άκρο του οποίου έχει δεθεί σώμα Σ ίσης μάζας m, το οποίο θεωρούμε υλικό σημείο αμελητέων διαστάσεων. Με τεντωμένο το νήμα, κτυπάμε το σώμα προσδίδοντάς του αρχική ταχύτητα μέτρου υ₀=2,8m/s, κάθετη στο νήμα, όπως στο σχήμα. Μεταξύ σώματος Σ και δίσκου αναπτύσσεται τριβή, ενώ κατά την περιστροφή του σώματος, το νήμα τυλίγεται στο σωλήνα. Μόλις σταματήσει η ολίσθηση του Σ πάνω στο δίσκο, το σύστημα έχει γωνιακή ταχύτητα μέτρου ω=2rad/s. Ζητούνται:

i)  Η αρχική στροφορμή του σώματος Σ, ως προς τον άξονα z καθώς και η τελική ολική στροφορμή του συστήματος, ως προς τον ίδιο άξονα.

ii) Το μήκος του νήματος που τυλίχθηκε γύρω από τον σωλήνα.

iii) Η απώλεια της μηχανικής ενέργειας λόγω τριβής.

iv) Κάποια στιγμή t₁ η στροφορμή του Σ, ως προς τον άξονα z, μειώνεται με ρυθμό 0,8kgm²/s². Να υπολογιστεί ο ρυθμός μεταβολής της στροφορμής του δίσκου, ως προς τον άξονα z, την ίδια στιγμή.

Δίνεται η ροπή αδράνειας του δίσκου ως προς κάθετο άξονα που περνά από το κέντρο του Ι= ½ mR², ενώ η ροπή της τάσης του νήματος, ως προς τον άξονα περιστροφής θεωρείται αμελητέα.

Απάντηση:

ή

 Όταν μαζεύεται το νήμα

 Όταν μαζεύεται το νήμα

Ο ρόλος του άξονα περιστροφής

Σε επαφή με λείο οριζόντιο επίπεδο στρέφεται ένας ομογενής δίσκος, μάζας m με σταθερή γωνιακή ταχύτητα ω, γύρω από σταθερό (υπαρκτό) κατακόρυφο άξονα, χωρίς τριβές. Η στροφορμή του δίσκου στο (α) σχήμα γύρω από τον άξονα z, ο οποίος περνά από το κέντρο του, έχει μέτρο L_ο.

 

i)  Αν στο (β) σχήμα ο δίσκος στρέφεται γύρω από τον άξονα z₁ ο οποίος περνά από το σημείου Α, όπου (ΟΑ) = ½ R, με την ίδια γωνιακή ταχύτητα, τότε:

α) Για το μέτρο της στροφορμής του δίσκου L_β, γύρω από τον άξονα z₁ ισχύει:

a) L_β=L_o,    b) L_β=1,5L_o,      c) L_β=2L_o   d) L_β=2,5L_o.

β) Για την δύναμη που κάθε άξονας ασκεί στο δίσκο, ισχύει:

a) F_α=F_β=0,     b) F_α=F_β ≠0,     c) F_α= 0  και F_β ≠0,   d) F_α  ≠ 0  και F_β =0.

ii) Στα σχήματα (γ) και (δ), στο άκρο μιας ακτίνας του δίσκου, έχει προσκολληθεί ένα σώμα Σ, το οποίο θεωρούμε υλικό σημείο αμελητέων διαστάσεων, μάζας επίσης m, με αποτέλεσμα να παίρνουμε ένα στερεό s με κέντρο μάζας το σημείο Α. Το στερεό s στρέφεται επίσης με γωνιακή ταχύτητα ω, γύρω από τους αντίστοιχους άξονες z και z₁.

α) Για το μέτρο της στροφορμής του στερεού L_δ, γύρω από τον άξονα z₁ ισχύει:

a) L_δ=L_o,    b) L_δ=2L_o,      c) L_δ=3L_o   d) L_δ=4L_o.

β) Αν F_β το μέτρο της δύναμης που ασκεί ο άξονας z₁ στο δίσκο του (β) σχήματος, τότε για τα μέτρα των αντίστοιχων δυνάμεων στα σχήματα (γ) και (δ) ισχύουν:

a) F_γ=0 και F_δ=2F_β,     b) F_γ=2F_β,  F_δ=0,     c) F_γ= 0  και F_B =0,   d) F_γ  =4F_β  και F_δ =2F_β.

Απάντηση:

ή

 Ο ρόλος του άξονα περιστροφής

 Ο ρόλος του άξονα περιστροφής

Μια ισορροπία και μια επιτάχυνση μέσω ελατηρίου

Ο ομογενής κύλινδρος του σχήματος μάζας m=4kg και ακτίνας R, ισορροπεί σε οριζόντιο επίπεδο, ενώ γύρω του έχουμε τυλίξει ένα αβαρές νήμα στο άκρο του οποίου συνδέεται οριζόντιο ιδανικό ελατήριο, σταθεράς k=100Ν/m, με την επίδραση οριζόντιας δύναμης F=30Ν, η οποία ασκείται στο κέντρο μάζας του Ο.

i)   Να δικαιολογήσετε γιατί ο κύλινδρος εμφανίζει τριβή με το επίπεδο.

ii)  Να βρείτε την επιμήκυνση του ελατηρίου, καθώς και τον ελάχιστο συντελεστή οριακής στατικής τριβής μεταξύ κυλίνδρου και επιπέδου, για την παραπάνω ισορροπία.

iii) Κάποια στιγμή σταματάμε την εξάσκηση της δύναμης F. Να υπολογιστεί η επιτάχυνση την οποία θα αποκτήσει το ανώτερο σημείο του κυλίνδρου Α, καθώς και η τριβή η οποία θα ασκηθεί στον κύλινδρο, αμέσως μόλις αφεθεί να κινηθεί.

Δίνεται η ροπή αδράνειας του κυλίνδρου Ι_cm= ½ mR² και g=10m/s².

Απάντηση:

ή

 Μια ισορροπία και μια επιτάχυνση μέσω ελατηρίου

 Μια ισορροπία και μια επιτάχυνση μέσω ελατηρίου

Δύο κινήσεις του ίδιου κυλίνδρου

 

 Ο κύλινδρος του σχήματος  έχει μάζα m=4kg και ακτίνα R και στο κεντρικό του τμήμα φέρει εγκοπή ακτίνας r=0,5R. Στην εγκοπή έχουμε τυλίξει ένα αβαρές και μη εκτατό νήμα, στο άκρο του οποίου ασκούμε μια οριζόντια σταθερή δύναμη μέτρου F=16Ν. Στο σχήμα βλέπετε τρία σημεία Α, Β και Γ, όπου το Α είναι ένα σημείο επαφής του κυλίνδρου με το επίπεδο, το Β το σημείο όπου το νήμα έρχεται σε επαφή με το κύλινδρο και το Γ είναι αντιδιαμετρικό του σημείου Α.

i)  Αν το επίπεδο είναι λείο:

α) Να βρεθούν οι αρχικές επιταχύνσεις των σημείων Α και Β.

β) Να υπολογιστούν οι ταχύτητες των αντίστοιχων σημείων στις θέσεις των Α, Β και Γ τη χρονική στιγμή t₁=5s.

ii) Ποιες οι αντίστοιχες απαντήσεις αν ο κύλινδρος παρουσίαζε με το επίπεδο συντελεστή τριβής μ=0,2;

Δίνεται η ροπή αδράνειας του κυλίνδρου γύρω από τον άξονα περιστροφής του Ι= ½ mR² και g=10m/s².

Απάντηση:

ή

 Δύο κινήσεις του ίδιου κυλίνδρου

 Δύο κινήσεις του ίδιου κυλίνδρου