Κυριακή, 27 Φεβρουαρίου 2011

Ισορροπία και επιβράδυνση στερεών.

Ένας ομογενής κύλινδρος μάζας Μ=80kg και ακτίνας  R=1m περιστρέφεται με γωνιακή ταχύτητα ω0=10rad/s, γύρω από τον άξονά του, που  συνδέει τα κέντρα των  δύο του βάσεων, όπως στο σχήμα. 
Σε μια στιγμή φέρνουμε σε επαφή με τον κύλινδρο μια ομογενή δοκό μάζας m=30kg και μήκους 4m, το άκρο της οποίας συνδέεται με άρθρωση σε κατακόρυφο τοίχο. Στη θέση αυτή η δοκός είναι οριζόντια, ενώ (ΑΓ)=1m. Αν ο συντελεστής τριβής ολίσθησης μεταξύ δοκού και κυλίνδρου είναι μ=0,2 και g=10m/s2,
i)   Να βρεθεί η γωνιακή επιτάχυνση (επιβράδυνση) του κυλίνδρου.
ii)  Πόσες περιστροφές θα εκτελέσει ο κύλινδρος μέχρι να σταματήσει;
iii) Να βρεθεί η γωνία που σχηματίζει με τη δοκό η διεύθυνση της δύναμης που ασκείται από την άρθρωση, στη διάρκεια της επιβράδυνσης του κυλίνδρου.
Δίνεται για τον κύλινδρο Ιcm= ½ MR2.

Παρασκευή, 25 Φεβρουαρίου 2011

Ισορροπία και τριβές.

Η λεπτή ομογενής δοκός ΑΓ του σχήματος έχει μήκος 6m, μάζα Μ=2kg και ισορροπεί οριζόντια στηριζόμενη στα σημεία Δ και Ε σε περιστρεφόμενο κύλινδρο και σε τρίποδο. Τα σημεία Δ και Ε απέχουν 1m από τα άκρα της ράβδου. Ένα σώμα Σ μάζας 0,5kg, που θεωρείται υλικό σημείο, εκτοξεύεται για t=0 από το  σημείο Δ και φτάνει μέχρι το σημείο Ε, όπου σταματά. Ο συντελεστής τριβής ολίσθησης, τόσο μεταξύ δοκού και σώματος Σ, όσο και μεταξύ δοκού και κυλίνδρου είναι ίσος με μ=0,2 και σε όλη τη διάρκεια της κίνησης η δοκός ισορροπεί.
i)   Ποια η αρχική ταχύτητα του σώματος Σ και πόσο χρόνο διαρκεί  η κίνησή του;
ii)  Να βρεθεί η τριβή που ασκείται στη δοκό από το τρίποδο σε συνάρτηση με το χρόνο και να γίνει η γραφική της παράσταση από 0-3s.
iii) Ποιος ο ελάχιστος συντελεστής στατικής οριακής τριβής μεταξύ δοκού και τρίποδου για να ισορροπεί η δοκός;
Αλλά και σε Word.

Πέμπτη, 24 Φεβρουαρίου 2011

Ισορροπία στερεού. Ερωτήσεις.

1)  Η ράβδος του σχήματος ισορροπεί δεμένη με νήμα που σχηματίζει γωνία θ=30°. Τότε και η δύναμη από την άρθρωση σχηματίζει γωνία 30° με τη ράβδο.
2)   Στην παραπάνω ράβδο κρέμεται μέσω νήματος μια σφαίρα. Σε ποιο από τα παρακάτω σχήματα έχει σχεδιαστεί σωστά η δύναμη από την άρθρωση;

3)  Ο κύλινδρος του σχήματος ισορροπεί σε κεκλιμένο επίπεδο δεμένος με νήμα παράλληλο στο επίπεδο.
Ποια πρόταση είναι σωστή.
i) το επίπεδο είναι λείο.
ii)  Στον κύλινδρο ασκείται τριβή με φορά προς τα πάνω.
iii) Στον κύλινδρο ασκείται τριβή με φορά προς τα κάτω.

Τετάρτη, 23 Φεβρουαρίου 2011

Ποιες είναι οι δυνάμεις που ασκούνται;

Σε ασκήσεις του σχολικού βιβλίου έχουμε ράβδους από την οποία κρέμονται κάποια βαράκια ή ένας ελαιοχρωματιστής είναι πάνω σε μια δοκό και παίρνοντας τις δυνάμεις που ασκούνται στη δοκό σημειώνουμε συνήθως και τα βάρη των άλλων σωμάτων. Προφανώς αυτό είναι λάθος. Το βάρος οποιουδήποτε σώματος ασκείται στο ίδιο το σώμα και όχι κάπου αλλού. Εξάλλου πόσο προσοχή δίνουμε στη φράση του βιβλίου για την ισορροπία στερεού: «Όταν η συνισταμένη δύναμη είναι μηδέν, αν υπάρχουν ροπές αυτές θα οφείλονται σε ζεύγη δυνάμεων…… επομένως η συνισταμένη ροπή να είναι μηδέν ως προς ένα οποιοδήποτε σημείο»;
Πάνω στο τελευταίο σημείο μπορείτε να δείτε και την ανάρτηση: Ισορροπία-ροπές και κάθετη αντίδραση.
…………………………………………
Μια ομογενής ράβδος ΑΒ μήκους ℓ και μάζας Μ=3kg μπορεί να στρέφεται σε κατακόρυφο επίπεδο γύρω από άξονα που διέρχεται από το μέσον της. Πάνω στη ράβδο στηρίζεται ένα σώμα Σ, μάζα m=2kg, το οποίο θεωρείται υλικό σημείο, σε απόσταση από το άκρο Α ίση με ℓ/4. Το άλλο άκρο Β της ράβδου είναι δεμένο με κατακόρυφο νήμα, με αποτέλεσμα η ράβδος να μην στρέφεται.
Το σύστημα αυτό βρίσκεται μέσα σε ένα ανελκυστήρα (ασανσέρ) ο οποίος κινείται προς τα πάνω με επιτάχυνση α=2m/s2.
i)   Να υπολογίστε την τάση του νήματος.
ii)  Να εξετάσετε την ορθότητα της πρότασης: «Για  να υπολογίσουμε τη δύναμη που  δέχεται η ράβδος από τον άξονα περιστροφής, αρκεί να πάρουμε ότι το αλγεβρικό άθροισμα των ροπών ως προς το άκρο Β ίσο με μηδέν»
Δίνεται g=10m/s2.

Κυριακή, 13 Φεβρουαρίου 2011

Κινηματική στερεού.

Ένα στερεό αποτελείται από δύο ομογενείς, από διαφορετικό υλικό ράβδους, οι οποίες είναι συνδεδεμένες, όπως στο σχήμα. Οι  ράβδοι έχουν μήκη (ΑΒ)=0,8m και (ΓΔ)= 1,2m. Το  στερεό κινείται σε κατακόρυφο επίπεδο εκτελώντας σύνθετη κίνηση γύρω από οριζόντιο άξονα κάθετο στη ράβδο που περνά από το κέντρο μάζας του Κ, όπου (ΚΓ)=0,3m και σε μια στιγμή βρίσκεται σε μια θέση, όπου τα σημεία Μ και Δ, όπου Μ το μέσον της ράβδου, έχουν οριζόντιες ταχύτητες με μέτρα υΜ=1m/s και υΔ=5m/s, όπως στο σχήμα.

i)  Να υπολογίστε την ταχύτητα του κέντρου μάζας Κ και του άκρου Γ της  ράβδου ΔΓ.
ii) Να βρεθεί το μέτρο της ταχύτητας του άκρου Β.
iii) Να βρεθεί η θέση ενός σημείου Ο του στερεού η ταχύτητα του οποίου είναι μηδενική. Ποια η γωνία μεταξύ της (ΟΒ) και της ταχύτητας του άκρου Β;

Πέμπτη, 10 Φεβρουαρίου 2011

Και τελικά τι κάνει η σφαίρα;

Η άσκηση Μια σφαίρα  σε σωλήνα είχε ένα ακόμη ερώτημα. Προβληματίστηκα αν θα πρέπει να το δώσω, θεωρώντας το δύσκολο. Έτσι δεν υπήρχε στην αρχική ανάρτηση. Αυτές τις μέρες σκεφτόμουν, ότι πολλές φορές όταν εφαρμόζουμε την αρχή διατήρηση της στροφορμής, οι μαθητές μας συναντούν ιδιαίτερη δυσκολία να κατανοήσουν τι συμβαίνει με τις ενέργειες ή τους φαίνεται περίεργη η κατάσταση. Δίνω λοιπόν το ερώτημα αυτό, απευθύνοντάς το όμως, μόνο στους συναδέλφους και όχι σε μαθητές.
……………………………..
Ένας σωλήνας μήκους ℓ1=6m, μπορεί να περιστρέφεται οριζόντια, γύρω από κατακόρυφο άξονα που διέρχεται από το ένα άκρο του Ο και είναι ακίνητος. Τοποθετούμε στο εσωτερικό του μια σφαίρα μάζας 4kg την οποία δένουμε με ελατήριο σταθεράς k=50Ν/m με μήκος 2m, το άλλο άκρο του οποίου δένεται στη βάση του σωλήνα. Κάποια στιγμή ασκούμε στο άλλο άκρο του σωλήνα Α οριζόντια δύναμη  σταθερού μέτρου F=10Ν, η οποία παραμένει συνεχώς κάθετη στον άξονα του σωλήνα.
 Έτσι το σύστημα αρχίζει να περιστρέφεται. Μετά από λίγο καταργούμε τη δύναμη και παρατηρούμε ότι τελικά* η σφαίρα εκτελεί κυκλική κίνηση και το μήκος του ελατηρίου είναι πλέον 4m. Αν δεν υπάρχουν τριβές και η ροπή αδράνεια του σωλήνα ως προς τον άξονα περιστροφής είναι Ι=120kg∙m2, ζητούνται:
    i)   Η τελική γωνιακή ταχύτητα του σωλήνα.
ii)  Ο αριθμός των περιστροφών του σωλήνα για όσο χρόνο ασκείται η δύναμη F.
iii) Σε μια στιγμή ενώ έχει αποκατασταθεί μόνιμη κατάσταση, η σφαίρα λύνεται από το ελατήριο. Ποια θα είναι τελικά η γωνιακή ταχύτητα περιστροφής του σωλήνα;
iv)  Τη στιγμή που η σφαίρα εγκαταλείπει το σωλήνα, ποια γωνία θα σχηματίζει η ταχύτητά της με τον άξονα του σωλήνα;
*Τελικά: Η σφαίρα θα εκτελεί για αρκετό  διάστημα μια ιδιόμορφη ταλάντωση μέχρι που να αποκατασταθεί μόνιμη κατάσταση.

Τρίτη, 8 Φεβρουαρίου 2011

Μια σύνθετη κίνηση και μια κρούση.

Μια ομογενής ράβδος  μήκους ℓ=1m και μάζας 1kg κινείται οριζόντια στην επιφάνεια μιας παγωμένης λίμνης, χωρίς τριβές και σε μια στιγμή, όπου τα άκρα της έχουν ταχύτητες της ίδιας φοράς με μέτρα υΑ=6m/s και υΒ=2m/s, συγκρούεται ελαστικά με μια μικρή σφαίρα Σ, που θεωρείται υλικό σημείο, μάζας 1kg, η οποία ήταν ακίνητη, όπως στο σχήμα. Η σφαίρα Σ κτυπά τη ράβδο στο μέσον της Ο.
i)   Υπολογίστε την ταχύτητα του μέσου Ο, καθώς και την κινητική ενέργεια της ράβδου, πριν την κρούση.
ii)   Να βρεθούν οι κινήσεις που θα εκτελέσουν τα δυο σώματα μετά την κρούση.
Δίνεται η ροπή αδράνειας της ράβδου ως προς κάθετο άξονα που περνά από το μέσον της Ι=Μℓ2/12.

Ένα ωριαίο διαγώνισμα στα κύματα.

Β) Δίνονται δύο στιγμιότυπα ενός στάσιμου κύματος που απέχουν χρονικά κατά Τ/4. Με ποια από τα παρακάτω συμφωνείτε ή διαφωνείτε και γιατί;
i) Στο στιγμιότυπο (1) η ταχύτητα ταλάντωσης του σημείου Β είναι μηδενική.
ii) Το σημείο Γ βρίσκεται στη θέση x= λ/2 και στο στιγμιότυπο (2) έχει ταχύτητα με φορά προς τα πάνω και μέτρο 2πΑf, όπου f η συχνότητα και λ το μήκος κύματος των κυμάτων, από τη συμβολή των οποίων προέκυψε το στάσιμο κύμα.
Δείτε όλο το διαγώνισμα από εδώ.

Κυριακή, 6 Φεβρουαρίου 2011

Μια σφαίρα σε σωλήνα.

Η άσκηση  αυτή αφιερώνεται στο Γιάννη Κυριακόπουλο. Με αφορμή μια απάντησή μου σε σχόλιο, πάνω στην περιστροφή στερεού, δήλωσε ότι είναι καλή ιδέα για μια άσκηση. Αφιερώνεται και στον Χρήστο Ελευθερίου, αυτός θα καταλάβει γιατί, δεν χρειάζεται να το ομολογήσω!!!
……………………………..
Ένας σωλήνας μήκους ℓ1=6m, μπορεί να περιστρέφεται οριζόντια, γύρω από κατακόρυφο άξονα που διέρχεται από το ένα άκρο του Ο και είναι ακίνητος. Τοποθετούμε στο εσωτερικό του μια σφαίρα μάζας 4kg την οποία δένουμε με ελατήριο σταθεράς k=50Ν/m με μήκος 2m, το άλλο άκρο του οποίου δένεται στη βάση του σωλήνα. Κάποια στιγμή ασκούμε στο άλλο άκρο του σωλήνα Α οριζόντια δύναμη  σταθερού μέτρου F=10Ν, η οποία παραμένει συνεχώς κάθετη στον άξονα του σωλήνα.
 Έτσι το σύστημα αρχίζει να περιστρέφεται. Μετά από λίγο καταργούμε τη δύναμη και παρατηρούμε ότι τελικά* η σφαίρα εκτελεί κυκλική κίνηση και το μήκος του ελατηρίου είναι πλέον 4m. Αν δεν υπάρχουν τριβές και η ροπή αδράνεια του σωλήνα ως προς τον άξονα περιστροφής είναι Ι=120kg∙m2, ζητούνται:
i)   Η τελική γωνιακή ταχύτητα του σωλήνα.
ii)  Ο αριθμός των περιστροφών του σωλήνα για όσο χρόνο ασκείται η δύναμη F.
iii) Σε μια στιγμή ενώ έχει αποκατασταθεί μόνιμη κατάσταση, η σφαίρα λύνεται από το ελατήριο. Ποια θα είναι τελικά η γωνιακή ταχύτητα περιστροφής του σωλήνα;
*Τελικά: Η σφαίρα θα εκτελεί για αρκετό  διάστημα μια ιδιόμορφη ταλάντωση μέχρι που να αποκατασταθεί μόνιμη κατάσταση.