Τρίτη, 28 Απριλίου 2009

Ισορροπία-ροπές και κάθετη αντίδραση.

Ας ξεκινήσουμε με ένα ερώτημα:
Δίνεται η παρακάτω πρόταση:
«Αν ένα αρχικά ακίνητο στερεό σώμα, στο οποίο ασκούνται διάφορες ομοεπίπεδες δυνάμεις, δεν στρέφεται, τότε το αλγεβρικό άθροισμα των ροπών όλων των δυνάμεων, ως προς οποιοδήποτε σημείο είναι ίσο με μηδέν».
Είναι σωστή ή λανθασμένη η πρόταση αυτή;
Η πρόταση είναι λάθος…
Η πρόταση είναι λανθασμένη γιατί δεν αναφέρει τίποτα για την συνισταμένη δύναμη. Αν η συνισταμένη δύναμη είναι μηδέν, τότε αν υπάρχουν ροπές αυτές θα οφείλονται σε ζεύγη δυνάμεων και για να μην αρχίσει να περιστρέφεται θα πρέπει το αλγεβρικό άθροισμα των ροπών να είναι μηδέν. Και αφού μιλάμε για ζεύγη δυνάμεων έχουμε το δικαίωμα να πάρουμε τις ροπές ως προς οποισήποτε σημείο, αφού η ροπή ενός ζεύγους είναι ανεξάρτητη του σημείου αναφοράς μας.
Αλλά αν η συνισταμένη δύναμη δεν είναι μηδενική; Αν δηλαδή το σώμα επιταχύνεται; Τότε θα πρέπει να πάρουμε υποχρεωτικά το αλγεβρικό άθροισμα των ροπών ως προς προς το κέντρο μάζας του στερεού,γιατί αν το στερεό περιστραφεί, θα περιστραφεί γύρω από άξονα κάθετον  στο επίπεδο των δυνάμεων που περνά από το κέντρο μάζας του. Ως προς άλλα σημεία μπορεί η συνολική ροπή να είναι διάφορη του μηδενός, αλλά αυτό δεν μας απασχολεί.

Παράδειγμα 1ο:
Αφήνουμε μια ομογενή ράβδο ΑΓ να πέσει ελεύθερα, από μικρό ύψος, από οριζόντια θέση. Προφανώς η ράβδος εκτελεί ελεύθερη πτώση, χωρίς να περιστρέφεται.
Να υπολογιστεί η συνολική ροπή που ασκείται πάνω της:
α) Ως προς το μέσον της Ο.
β) Ως προς το ένα της άκρο Α.
Απάντηση:
α) Ως προς το μέσον της Ο: Στ= w·d= w·0=0
β) Ως προς το άκρο Α:  Στ= - w ·l/2
Παρατηρούμε λοιπόν ότι η ροπή ως προς άκρο Α δεν είναι μηδέν, χωρίς αυτό να σημαίνει ότι η ράβδος θα αρχίσει να περιστρέφεται.

Παράδειγμα 2ο:
Ένας κύβος πλευράς α=1m και βάρους w=600Ν ηρεμεί σε οριζόντιο επίπεδο με το οποίο παρουσιάζει συντελεστές τριβής μ=μs=0,5.
1) Να βρείτε τις δυνάμεις που ασκούνται στον κύβο.
2) Ασκούμε πάνω του οριζόντια δύναμη F=200Ν, όπως στο σχήμα, όπου (ΒΕ)=0,4m και ο κύβος δεν κινείται.
i)  Να σχεδιάστε τις δυνάμεις που ασκούνται στον κύβο και να υπολογίστε τα μέτρα τους.
ii) Να βρεθεί το αλγεβρικό άθροισμα των ροπών που ασκούνται στο κύβο ως προς:
 α) Το κέντρο Ο του κύβου.
 β) Της κορυφής Α.
Απάντηση:
 1) Ο κύβος ισορροπεί συνεπώς:
ΣF= 0 (1)
Στ=0 (2)
Οι δυνάμεις που ασκούνται στον κύβο είναι το βάρος του w και η κάθετη αντίδραση του επιπέδυο Ν. Με βάση την σχέση (1) Ν=w=600Ν.
Παίρνοντας τις ροπές ως προς το κέντρο Ο, έχουμε:
w·0 + Ν·x= 0 x=0,
όπου x η απόσταση του Ο από τον φορέα της Ν. Η κάθετη αντίδραση λοιπόν ασκείται στο κέντρο της βάσης Μ.
Στο παρακάτω σχήμα έχουν σχεδιαστεί οι δυνάμεις που ασκούνται στον κύβο.
2)  Η μέγιστη τιμή της τριβής που μπορεί να ασκηθεί στον κύβο είναι η οριακή τριβή Τορs·Ν (1), αλλά στον κατακόρυφο άξονα ο κύβος ισορροπεί επομένως ΣFy=0 ή Ν=w=600Ν, οπότε:
Τορ= μs·Ν = 0,5·600Ν=300Ν.
Στον άξονα x οι ασκούμενες δυνάμεις είναι η F και η τριβή. Αφού η δύναμη που ασκούμε είναι μικρότερη από 300Ν, ο κύβος δεν θα επιταχυνθεί στον άξονα x, οπότε:
ΣFx=0 F-Τ=0 Τ=Τστ=F=200Ν.
Ας πάρουμε τώρα το αλγεβρικό άθροισμα των ροπών ως προς το κέντρο Ο του κύβου:
Στ=τw+ τΤFΝ= w·0 - Τ·α/2 - F·0,1 + Ν·x = Ν·x - Τ·α/2-F·0,1
Αλλά αφού ο κύβος ισορροπεί 
Στ=0
Ν·x - Τ·α/2 -F·0,1   =0
600x=200·0,5+200·0,1
x=0,2m
Τι βρήκαμε; Η κάθετη αντίδραση του επιπέδου Ν δεν περνά από το κέντρο Ο, αλλά είναι μετατοπισμένη κατά x=0,2m προς τα δεξιά όπως στο σχήμα.
Γιατί να συμβαίνει αυτό; Στην πραγματικότητα η Ν είναι η συνισταμένη των δυνάμεων που ασκούνται στον κύβο από το δάπεδο. Στο α΄υποερώτημα το έδαφος πιέζεται από το σώμα ομοιόμορφα οπότε και οι δυνάμεις που δέχεται από το δάπεδο είναι όπως στο σχήμα (α), μόλις ασκηθεί πλάγια δύναμη όμως οι δυνάμεις δεν ασκούνται ομοιόμορφα, αλλά όπως στο σχήμα (β), όποτε στην (α) η συνισταμένη περνά από το μέσον, ενώ στην (β) όχι.
Παίρνοντας τις ροπές τώρα ως προς την κορυφή Α έχουμε:
ΣτΑ= -w·α/2 -Τ·α + F·(BE)+Ν·(α/2+x)
ΣτΑ=-600·0,5-200·1+200·0,4+600·0,7 =0
Συμπέρασμα αφού η ΣF=0, ως προς οποιοδήποτε σημείο και αν πάρουμε το αλγεβρικό άθροισμα των ροπών θα είναι μηδέν.

Παράδειγμα 3ο:
Αν η δύναμη F στο προηγούμενο παράδειγμα είχε μέτρο F=400Ν, να βρεθεί η συνολική ροπή ως προς την κορυφή Α.
Απάντηση:
Δεν ξέρουμε τώρα αν ισορροπεί ο κύβος. Αν κάνει μόνο μεταφορική ή και στροφική κίνηση (αν ανατρέπεται). Οι δυνάμεις είναι ξανά αυτές του παρακάτω σχήματος.

Αφού F>Τορ ο κύβος επιταχύνεται προς τα δεξιά και η ασκούμενη τριβή είναι τριβή ολίσθησης με μέτρο Τολ=μ·Ν= 300Ν.
Δηλαδή ο κύβος αποκτά επιτάχυνση που υπολογίζεται από τον 2ο Νόμο του Νεύτωνα:
ΣFx=m·αcm  acm= (F-T)/m =5/3m/s2.
Έστω ότι ο κύβος επιταχύνεται μεν προς τα δεξιά χωρίς όμως να στρέφεται. Τότε ως προς το κέντρο μάζας Ο θα ισχύει:
Στ=0
w·0+Ν·x-T·α/2 -F·0,1 = 0
Nx=Τ·α/2+F·0,1 = (150+40)N·m x =19/60m.
Δηλαδή ο φορέας της Ν περνάει από την βάση στήριξης και απλά είναι μετατοπισμένος περίπου κατά 0,3m από το μέσον Μ, πράγμα που μπορεί να συμβαίνει. Παρατηρήστε ότι η απόσταση αυτή έχει αυξηθεί σε σχέση με το προηγούμενο παράδειγμα που ήταν 0,2m.
Αν πάρουμε τώρα τις ροπές ως προς το Α έχουμε:
ΣτΑ= -w·α/2 -Τ·α + F·(BE)+Ν·(α/2+x)
ΣτΑ=-600·0,5 - 300·1+400·0,4+600·(0,5+19/60) =+50Ν·m
Όταν λοιπόν επιταχύνεται μεταφορικά ο κύβος χωρίς να περιστρέφεται, η συνολική ροπή είναι μηδέν, μόνο ως προς το κέντρο μάζας Ο και όχι ως προς οποιοδήποτε σημείο.

Παράδειγμα 4ο:
Και πότε μπορεί να ανατραπεί ο κύβος;
Αυξάνουμε το μέτρο της δύναμης F. Ποια η ελάχιστη τιμή του μέτρου της F για την οποία ο κύβος ανατρέπεται;
Απάντηση:
Είδαμε ότι αυξάνοντας το μέτρο της ασκούμενης δύναμης η κάθετη αντίδραση Ν απομακρύνεται από το μέσον Μ της βάσης προς τα δεξιά. Συνεπώς θα έλθει κάποια στιγμή που θα ασκείται στην κορυφή Γ, όπως στο σχήμα.
Στην κατάσταση αυτή ο κύλινδρος είναι έτοιμος να ανατραπεί. Στην πραγματικότητα ακουμπά στο έδαφος μόνο κατά μήκος της ακμής που περνά από την κορυφή Γ.     
Αν πάρουμε οριακά  την κατάσταση εκείνη για την οποία ο κύβος χωρίς να περιστρέφεται ακουμπά στο έδαφος μόνο κατά μήκος της ακμής που περνά από την κορυφή Γ, και είναι έτοιμος να ανατραπεί με ελάχιστη αύξηση της δύναμης F διότι η ροπή της Ν δεν μπορεί πλέον ν’ αυξηθεί.
Ο κύβος συνεχίζει να μην στρέφεται οπότε ως προς το κέντρο μάζας Ο ισχύει:
Στ=0 ή
w·0 +Ν·α/2-Τ·α/2-F·0,1=0
F=1500Ν
Αυτή είναι και η μέγιστη τιμή της δύναμης για την οποία δεν έχουμε περιστροφή (συνεπώς και ανατροπή). Συνεπώς ο κύβος ανατρέπεται όταν F>1500Ν.

 Μπορείτε να το κατεβάσετε σε pdf.
.

5 σχόλια:

Ανώνυμος είπε...

γεια σας Κ. Μαργαρη. μια ερωτηση σχετικα με την αναρτηση σας. Υποθεστε οτι εχουμε ενα σωμα που το μισο κομματι ειναι ξυλινο και το υπολοιπο σιδερο. θελουμε να ασκησουμε δυναμη στη πανω πλευρα ( όπως στο σχημα σας).Απαιτειται η ιδια δυναμη ειτε ειναι κατω ξυλο και πανω σιδερο , ειτε ειναι αναποδα; Πωε επηρεαζει η θεση του κεντρου μάζας το αποτελεσμα; ευχαριστω

Διονύσης Μάργαρης είπε...

Αγαπητέ φίλε, προφανώς εξαρτάται αφού θα αλλάζει η ροπή της ασκούμενης δύναμης ως προς το κέντρο μάζας (το οποίο αλλάζει).

Ανώνυμος είπε...

εαν θελουμε η δυναμη να προκαλέσει την ανατροπη του σωματος οπως στο παραδειγμα 4 της αναρτησης σας, τοτε παιρνοντας τις ρπες ως προς τη δεξια κατω γωνια οπου θα ασκειται η Ν , βρισκω οτι η ακριβης θεση του Κ.Μ δε παιζει ρόλο. κοιταζοντας το 4 παραδειγμα σας θα ισχυει wα/2=Fα. που κανω το λαθος στη σκεψη μου; ευχαριστω και παλι.

Διονύσης Μάργαρης είπε...

Αν ο κύβος δεν έχει στο μεταξύ αποκτήσει επιτάχυνση, τότε μπορείς να πάρεις τις ροπές ως προς την κάτω δεξιά γωνία και να βγάλεις τη σχέση που δίνεις.
Αν όμως ο κύβος επιταχύνεται θα πρέπει να πάρεις τις ροπές ως προς το κέντρο μάζας και τότε η ροπή της δύναμης εξαρτάται από τη θέση του κ.μ.

Ανώνυμος είπε...

ευχαριστω πολυ.