Πέμπτη, 28 Φεβρουαρίου 2013

Δυνάμεις σε δύο σημειακές μάζες από αβαρή ράβδο.

 Δυο σημειακές σφαίρες Α και Β με μάζες mA = mB =M είναι κολλημένες στα άκρα μιας άκαμπτης λεπτής και αβαρούς ράβδου μήκους ℓ=2d.
Το σύστημα, τοποθετείται πάνω σε οριζόντιο λείο επίπεδο και ηρεμεί.  Την χρονική στιγμή t = 0 , μια οριζόντια δύναμη μέτρου F,  ασκείται στην αριστερή σφαίρα Α κάθετα στη ράβδο. Ποιο από τα παρακάτω σχήματα δείχνει σωστά τις δυνάμεις που ασκεί η ράβδος στις σφαίρες, αμέσως μετά την άσκηση της δύναμης F;

Τετάρτη, 27 Φεβρουαρίου 2013

Δυνάμεις σε σημειακές μάζες από αβαρή ράβδο.


H ανάρτηση αυτή αφιερώνεται στον Μανώλη Δρακάκη, αφού στην πραγματικότητα είναι μια δική του άσκηση, την οποία προχώρησα ένα βήμα παραπέρα.
Δυο σημειακές σφαίρες Α και Β με μάζες mA = mB =2M=2kg είναι κολλημένες στα άκρα μιας άκαμπτης λεπτής και αβαρούς ράβδου μήκους ℓ=2d=2m.
Μια τρίτη σφαίρα Γ μάζας mΓ =Μ=1kg είναι κολλημένη στο μέσον της ράβδου.  Το σύστημα, τοποθετείται πάνω σε οριζόντιο λείο επίπεδο και ηρεμεί.
Την χρονική στιγμή t = 0 , μια οριζόντια δύναμη μέτρου F=5Ν,  ασκείται στην αριστερή σφαίρα Α κάθετα στη ράβδο.
Να υπολογιστούν αμέσως μετά την εφαρμογή της δύναμης F, οι δυνάμεις που ασκεί η ράβδος στις τρεις σημειακές μάζες Α, Β και Γ.
ή

Σάββατο, 23 Φεβρουαρίου 2013

Το φρενάρισμα ενός τροχού.

Ένας τροχός μάζας Μ=20kg και ακτίνας R=0,5m κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει σε οριζόντιο δρόμο με ταχύτητα κέντρου μάζας υcm=20m/s. Ασκώντας πάνω του μια σταθερή ροπή, μέσω ενός ζεύγους δυνάμεων, ο τροχός ακινητοποιείται μετά από λίγο.
i)  Ποια είναι η μέγιστη ροπή, που μπορούμε να ασκήσουμε στον τροχό, ώστε στη διάρκεια της επιβράδυνσής του, να μην προκληθεί ολίσθηση του τροχού;
ii) Να βρεθεί η ελάχιστη απόσταση στην οποία θα ακινητοποιηθεί, στην περίπτωση αυτή, ο τροχός.
Δίνεται ο συντελεστής οριακής  στατική τριβής μεταξύ τροχού και δρόμου μs=0,8 και g=10m/s2.
ή
Το φρενάρισμα ενός τροχού.pdf

Πέμπτη, 21 Φεβρουαρίου 2013

Ένα φρενάρισμα κυλίνδρου.

Ένας κύλινδρος μάζας Μ=200kg και ακτίνας R=0,6m στρέφεται χωρίς τριβές γύρω από οριζόντιο άξονα, που περνά από τα κέντρα των δύο βάσεών του, με σταθερή γωνιακή ταχύτητα ω=10rad/s. Προκειμένου να τον σταματήσουμε, στηρίζουμε πάνω του μια ομογενή  δοκό μήκους ℓ=4m και μάζας m=9kg, όπως στο σχήμα, όπου (ΑΓ)=1m ενώ η γωνία θ που σχηματίζει με το έδαφος  έχει ημθ=0,6 (συνθ=0,8). Παρατηρούμε ότι η δοκός ισορροπεί, ενώ ο κύλινδρος σταματά σε χρονικό διάστημα Δt=50s.
i) Να υπολογιστεί ο συντελεστής τριβής ολίσθησης μεταξύ κυλίνδρου και δοκού.
ii) Να βρεθεί η τριβή που δέχεται η δοκός από το έδαφος.
iii) Ποιος ο ελάχιστος συντελεστής στατικής οριακής τριβής μεταξύ δοκού και εδάφους, χωρίς να γλιστρήσει η δοκός για το χρονικό διάστημα περιστροφής του κυλίνδρου.
Δίνεται η ροπή αδράνειας του κυλίνδρου Ι= ½ ΜR2 και g=10m/s2.
ή

Δευτέρα, 18 Φεβρουαρίου 2013

Μια δοκός ακουμπά σε κοντύτερο τοίχο.

Μια ομογενής δοκός μήκους (ΑΒ)= 4m και βάρους 300Ν, στηρίζεται όπως στο σχήμα σε τοίχο ύψους h=1,8m, σε σημείο Γ, όπου (ΑΓ)=1m και σε λείο οριζόντιο έδαφος.
i)  Να βρεθεί η δύναμη που ασκείται στην δοκό στο σημείο στήριξης Γ.
ii) Να υπολογιστεί ο ελάχιστος συντελεστής στατικής οριακής τριβής μεταξύ του κατακόρυφου τοίχου και της δοκού, για να υπάρξει η παραπάνω ισορροπία.
iii) Αν πάνω στη ράβδο τοποθετήσουμε ένα σώμα Σ αμελητέων διαστάσεων και βάρους w1, το οποίο εμφανίζει με τη δοκό συντελεστή οριακής τριβής μs1=0,8, να εξετάσετε αν το σύστημα θα συνεχίσει να ισορροπεί, δεχόμενοι ότι ο συντελεστής οριακής στατικής τριβής μεταξύ σανίδας και τοίχου, έχει τιμή, ίση με αυτή που υπολογίστηκε στο προηγούμενο ερώτημα.
ή

Τετάρτη, 13 Φεβρουαρίου 2013

Άξονες περιστροφής στερεού.

Πραγματικοί και νοητοί.
Μιλάμε συνεχώς για περιστροφή ενός στερεού γύρω από άξονα, αλλά συνήθως ξεχνάμε να πούμε αν αυτός ο άξονας είναι πραγματικός ή νοητός. Δεν είναι το ίδιο να περιστρέφω την πόρτα η οποία στηρίζεται στους μεντεσέδες και το ίδιο να περιστρέφω το στυλό που κρατάω στο χέρι μου. Και αυτό γιατί ο πραγματικός άξονας είναι εκεί για να επιβάλει συγκεκριμένο τρόπο περιστροφής, ενώ ο νοητός δεν υπάρχει και σε τελευταία ανάλυση είναι μια δική μου σκέψη που τον εντάσσει στο πρόβλημα.
Ας δούμε μερικά παραδείγματα για να ξεδιαλύνουμε την κατάσταση.
Παράδειγμα 1ο:
 Πάνω σε μια παγωμένη λίμνη ηρεμεί μια ομογενής σανίδα μάζας Μ=6kg μήκους ℓ=2m, η οποία μπορεί να στρέφεται γύρω από (πραγματικό) κατακόρυφο άξονα που περνά από το μέσον της Ο. Σε μια στιγμή t=0 δέχεται την επίδραση μιας οριζόντιας δύναμης σταθερού μέτρου F1=4Ν, στο άκρο της Α, η οποία παραμένει κάθετη στη ράβδο, όπως στο σχήμα, μέχρι τη στιγμή t1=5s, όπου η δύναμη καταργείται.
i) Να βρεθεί η γωνιακή ταχύτητα της σανίδας τις χρονικές στιγμές t1=5s και t2=10s.
ii) Να υπολογιστεί η δύναμη που ασκεί ο άξονας στη σανίδα τις χρονικές στιγμές t1=4s και t2=10s.
Δίνεται η ροπή αδράνειας της σανίδας ως προς τον άξονα Ιcm=Μℓ2/12.
Η συνέχεια σε pdf.
ή

Κυριακή, 10 Φεβρουαρίου 2013

Και κατά την περιστροφή σπάει ο άξονας…

Μια ομογενής ράβδος μήκους ℓ=1m στρέφεται, γύρω από σταθερό οριζόντιο άξονα που περνά από το άκρο της Β, ενώ το άλλο της άκρου Α έχει ταχύτητα σταθερού μέτρου υΑ=4m/s. Τη στιγμή t=0, που η ράβδος είναι σε οριζόντια θέση, ο άξονας περιστροφής σπάει και η ράβδος κινείται πλέον ελεύθερη.
i)  Να κάνετε τη γραφική παράσταση της ταχύτητας του μέσου Κ της ράβδου, σε συνάρτηση με το χρόνο.
ii) Να βρεθούν οι ταχύτητες (μέτρο και κατεύθυνση) των άκρων της ράβδου τη χρονική στιγμή t1=0,2s.
Δίνεται g=10m/s2.
ή

Σάββατο, 9 Φεβρουαρίου 2013

Κίνηση ράβδου μετά από κρούση.


Σε μια παγωμένη λίμνη ηρεμεί μια λεπτή ομογενής σανίδα ΑΒ μήκους ℓ=2m. Σε μια στιγμή (t0=0) συγκρούεται μαζί της μια κινούμενη σφαίρα, όπως στο σχήμα (α), με αποτέλεσμα αμέσως μετά την κρούση, το άκρο Α της σανίδας να αποκτήσει ταχύτητα μέτρου υmax= 0,7m/s, της ίδιας κατεύθυνσης με την ταχύτητα της σφαίρας. Στη συνέχεια η ταχύτητα του σημείο Α μεταβάλλεται και η ελάχιστη τιμή που παίρνει, είναι υmin= 0,1m/s, με την ίδια κατεύθυνση.
Αν η κίνηση της ράβδου γίνεται χωρίς να εμφανίζονται τριβές, να βρεθούν:
i)   Η ταχύτητα του μέσου Ο της ράβδου.
ii)  Ο αριθμός των περιστροφών που κάνει η ράβδος μέχρι τη στιγμή t1= 15π s.
iii) Η ταχύτητα του άκρου Α την παραπάνω στιγμή t1.
ή

Πέμπτη, 7 Φεβρουαρίου 2013

Περιστροφή δύο κυλίνδρων.

Οι δυο κύλινδροι του σχήματος, με ακτίνες R1=0,2m και R2=0,5m, μπορούν να στρέφονται γύρω από σταθερούς άξονες που περνάνε από τα κέντρα των βάσεών τους, συνδέονται με ιμάντα και ηρεμούν. Κάποια στιγμή ο κύλινδρος (1) τίθεται σε περιστροφή και στο διπλανό διάγραμμα δίνεται η γωνιακή του ταχύτητα σε συνάρτηση με το χρόνο. Ο ιμάντας δεν γλιστρά στους κυλίνδρους με αποτέλεσμα να τίθεται σε περιστροφή και ο δεύτερος κύλινδρος (2).
i) Να γίνουν τα διαγράμματα της γωνιακής επιτάχυνσης κάθε κυλίνδρου σε συνάρτηση με το χρόνο.
ii) Κάποια στιγμή t1 >5s, δύο σημεία των κυλίνδρων Α και Β βρίσκονται στις θέσεις που φαίνονται στο σχήμα. Τα σημεία αυτά απέχουν r=10cm από τους άξονες περιστροφής Ο και Κ αντίστοιχα.
α) Να υπολογιστεί η επιτάχυνση κάθε σημείου.
β) Μετά πόσο χρόνο τα παραπάνω σημεία θα βρίσκονται ταυτόχρονα ξανά στις ίδιες θέσεις για πρώτη φορά;
ή

Τετάρτη, 6 Φεβρουαρίου 2013

Διάθλαση ή ολική ανάκλαση;


Μια μονοχρωματική ακτίνα φωτός προσπίπτει υπό γωνία φ σε μια γυάλινη πλάκα Α με δείκτη διάθλασης n1. Η διαθλώμενη φτάνει στο σημείο Α.
i) Η ακτίνα στο Α, θα υποστεί:
   α) μόνο ανάκλαση 
   β) μόνο διάθλαση     
   γ) ανάκλαση και διάθλαση.
ii) Κάτω από την πλάκα αυτή, βάζουμε μια δεύτερη με διαφορετικό δείκτη διάθλασης n2. Τότε η ακτίνα στο σημείο Α, θα υποστεί:
α) μόνο ανάκλαση               
β) μόνο διάθλαση       
γ) ανάκλαση και διάθλαση     
δ) εξαρτάται από την τιμή του δείκτη διάθλασης n2.
Να δικαιολογήσετε τις απαντήσεις σας.
ή

Διαγώνισμα στα κύματα

Κατά μήκος ενός γραμμικού ελαστικού μέσου που θεωρούμε ότι ταυτίζεται με τον άξονα x, διαδίδονται δύο όμοια κύματα πλάτους Α=0,1m, τα οποία διαδίδονται αντίθετα με συχνότητα 1Ηz. Τη στιγμή t=0 το πρώτο κύμα φτάνει στο σημείο Ο, στη θέση x=0, ενώ το δεύτερο απέχει κατά 2m από το Ο, όπως στο σχήμα.
i)  Να γράψετε τις εξισώσεις των δύο τρεχόντων κυμάτων.
ii) Να γράψετε την εξίσωση του στάσιμου κύματος που θα προκύψει μετά την συμβολή των δύο παραπάνω κυμάτων.
iii) Να κάνετε το στιγμιότυπο του στάσιμου κύματος και για την περιοχή που έχει σχηματισθεί, τη στιγμή t1=1,75s.
iv) Ένα σημείο Σ βρίσκεται στη θέση x=0,5m. Να κάνετε τη γραφική παράσταση της ταχύτητας ταλάντωσης του σημείου Σ σε συνάρτηση με το χρόνο, από t=0, έως και t=4s.
Δείτε όλο το διαγώνισμα από εδώ.


Η απάντηση στο Β΄Θέμα με κλικ εδώ.
Σύντομη απάντηση στο 3ο θέμα.pdf

Δευτέρα, 4 Φεβρουαρίου 2013

Στροφορμή και Ενέργεια σε ένα βαρούλκο.

Στο παραπάνω σχήμα βλέπετε ένα βαρούλκο, με την βοήθεια του οποίο ανεβάζουμε ένα βαρύ σώμα Σ μάζας 20kg. Δίνονται η ακτίνα του τυμπάνου γύρω από το οποίο τυλίγεται το σχοινί r=10cm, ενώ η ακτίνα του σημείου Α είναι ίση με R=50cm.
Α)Ασκώντας δυο δυνάμεις ίσου μέτρου F=24Ν, στα άκρα δύο χειρολαβών, κάθετα προς αυτές όπως στο σχήμα, μπορούμε να στρέφουμε το βαρούλκο, με σταθερή γωνιακή ταχύτητα ω=0,1rad/s.
Β) Αν αυξήσουμε τα μέτρα των δύο δυνάμεων στην τιμή F1=28Ν, τότε το τύμπανο αποκτά σταθερή γωνιακή επιτάχυνση αγων=4rad/s2, οπότε τη στιγμή t1 το σώμα Σ έχει ταχύτητα 0,5m/s.
i)  Αν το τύμπανο του βαρούλκου δέχεται σταθερή ροπή λόγω τριβής, από τον άξονα, να υπολογιστεί η τιμή της.
ii) Να βρεθεί η στροφορμή και ο ρυθμός μεταβολής της στροφορμής του βαρούλκου, ως προς τον άξονα περιστροφής του τυμπάνου τη στιγμή t1.
iii) Για την παραπάνω στιγμή t1 να βρεθούν επίσης:
α) Ο ρυθμός μεταβολής της στροφορμής του συστήματος ως προς τον άξονα περιστροφής του τυμπάνου.
β) Ο ρυθμός με τον οποίο προσφέρουμε ενέργεια στο σύστημα, μέσω των δύο δυνάμεων που ασκούμε.
γ) Ο ρυθμός μεταβολής της κινητικής ενέργειας του σώματος Σ και του βαρούλκου.
δ) Ο ρυθμός με τον οποίο η μηχανική ενέργεια μετατρέπεται σε θερμική εξαιτίας των τριβών.
Δίνεται g=10m/s2.

Σάββατο, 2 Φεβρουαρίου 2013

Εφαρμόζοντας τη δυναμική σε ένα βαρούλκο.

Στο παραπάνω σχήμα βλέπετε ένα βαρούλκο, με την βοήθεια του οποίο ανεβάζουμε ένα βαρύ σώμα Σ. Δίνονται η ακτίνα του τυμπάνου γύρω από το οποίο τυλίγεται το σχοινί r=10cm, ενώ η ακτίνα του σημείου Α είναι ίση με R=50cm.
α)Ασκώντας δυο δυνάμεις ίσου μέτρου F=20Ν, στα άκρα δύο χειρολαβών, κάθετα προς αυτές όπως στο σχήμα, μπορούμε να στρέφουμε το βαρούλκο, με σταθερή γωνιακή ταχύτητα ω=0,1rad/s.
β) Αν αυξήσουμε το μέτρο των δυνάμεων στην τιμή F1=24Ν, τότε το τύμπανο αποκτά γωνιακή επιτάχυνση αγων=4rad/s2.
i)  Να βρεθεί η μάζα του σώματος Σ.
ii) Πόση είναι η ροπή αδράνειας του βαρούλκου ως προς τον άξονα περιστροφής του;
iii) Να βρεθεί η επιτάχυνση του σώματος Σ, αν καταργηθεί η μια από τις  δύο δυνάμεις ενώ η άλλη συνεχίζει να έχει σταθερό μέτρο 24Ν.
Δίνεται g=10m/s2, ενώ δεν ασκούνται τριβές από τον άξονα περιστροφής στο τύμπανο του βαρούλκου.
ή