Τι κίνηση θα κάνει ο δίσκος;

Σε ένα λείο οριζόντιο επίπεδο ηρεμεί ένας ομογενής οριζόντιος δίσκος κέντρου Ο. Σε μια στιγμή στο δίσκο ασκούνται δυο οριζόντιες δυνάμεις όπως στο σχήμα, όπου θ=60°. Στο σχήμα δίνεται ένα σύστημα οριζόντιων ορθογωνίων αξόνων xy, όπου οι δυνάμεις έχουν τη διεύθυνση του άξονα y. Ο δίσκος θα εκτελέσει:

i)   σύνθετη κίνηση προς τη θετική κατεύθυνση του άξονα y και με θετική φορά περιστροφής.

ii)  σύνθετη κίνηση προς τη θετική κατεύθυνση του άξονα y και με αρνητική φορά περιστροφής.

iii) μεταφορική κίνηση προς τη θετική κατεύθυνση του άξονα y.

iv) μεταφορική κίνηση σε  διαφορετική διεύθυνση από αυτές των δύο αξόνων.

Απάντηση:

ή

Τι κίνηση θα κάνει ο δίσκος;

Τρία βαρέλια ισορροπούν

Τρία κυλινδρικά δοχεία ισορροπούν όπως στο σχήμα, όπου δυο εμπόδια (τάκοι…) εμποδίζουν τα κάτω να κινηθούν. Στο σχήμα βλέπετε τις τρεις βάσεις των δοχείων, όπου τα δυο κάτω έχουν ίσες ακτίνες R₂=R₃=1,6m, ενώ το πάνω ακτίνα R=0,4m. Η επιφάνεια του Β δοχείου είναι λεία, ενώ μεταξύ Α και Γ ο συντελεστής οριακής  στατικής τριβής έχει τιμή μ_s=0,8. Το δοχείο Α έχει μάζα m=160kg, ενώ g=10m/s².

i)  Να βρείτε τις δυνάμεις που ασκούνται στο πάνω δοχείο Α.

ii)  Γύρω από το Α έχουμε τυλίξει έναν αβαρή ιμάντα, μέσω του οποίου ασκούμε πάνω του  μια οριζόντια δύναμη F=40Ν. Να βρείτε την τριβή που εμφανίζεται μεταξύ των δοχείων Α και Γ.

iii) Να εξετάσετε αν μπορούμε, αυξάνοντας το μέτρο της ασκούμενης δύναμης F, να μηδενίσουμε τη δύναμη που ασκείται στο δοχείο Α από το Β, χωρίς να έχουμε περιστροφή.

iv) Αν η δύναμη πάρει την τιμή F₃=1.000Ν, να εξετάσετε αν ο κύλινδρος θα γλιστρήσει ή όχι, αμέσως μετά.

Απάντηση:

ή

Τρία βαρέλια ισορροπούν

Ισορροπίες και μια αντίστροφη κύλιση.

Πάνω σε μια μισοβυθισμένη στο έδαφος  σφαίρα, ακτίνας R=(3/π)m, στηρίζεται μια ομογενής δοκός ΑΒ μήκους 6m και βάρους 300Ν, η οποία ισορροπεί οριζόντια με την επίδραση μιας κατακόρυφης δύναμης F, η οποία ασκείται στο άκρο της Β, όπως στο σχήμα.

i) Αν (ΑΓ)=2m, όπου Γ το σημείο της ράβδου το οποίο εφάπτεται της σφαίρας, να υπολογιστεί η δύναμη F, για την παραπάνω ισορροπία.

ii)Αυξάνουμε το μέτρο της ασκούμενης  δύναμης F, διατηρώντας την κατακόρυφη, με αποτέλεσμα το άκρο Β της ράβδου να αρχίσει να ανέρχεται, χωρίς η δοκός να γλιστράει πάνω στη σφαίρα. Με τον τρόπο αυτό, φέρνουμε τη δοκό να ισορροπεί όπως στο σχήμα, ενώ F₁=100Ν.

α) Πόσο απέχει το σημείο Δ, σημείο επαφής της δοκού με τη σφαίρα, από το άκρο Α;

β) Ποια γωνία σχηματίζει η δοκός με την οριζόντια διεύθυνση;

γ) Να υπολογιστεί το μέτρο της τριβής που ασκείται στη δοκό.

δ) Ποιος ο ελάχιστος συντελεστής οριακής στατικής τριβής μεταξύ δοκού και σφαίρας για την παραπάνω ισορροπία;

Απάντηση:

ή

Ισορροπίες και αντίστροφη κύλιση.

Μια οριζόντια ράβδος.

Μια λεπτή ομογενής ράβδος ΑΒ μήκους 4m, ισορροπεί οριζόντια με την επίδραση μιας κατακόρυφης δύναμης F, μέτρου F=40Ν, η οποία ασκείται στο άκρο της Β, ενώ στηρίζεται σε τρίποδο σε σημείο Σ, όπου (ΑΣ)=1m, όπως στο σχήμα. Ο συντελεστής οριακής τριβής μεταξύ ράβδου και τρίποδου είναι μ_ορ=0,5.

i)  Να βρεθεί το βάρος της ράβδου καθώς και η δύναμη που ασκείται στη ράβδο από το τρίποδο;

ii) Αυξάνουμε το μέτρο της δύναμης στην τιμή F₁=50Ν, μεταβάλλοντας και την κατεύθυνσή της, ώστε η ράβδος να ισορροπεί οριζόντια. Να υπολογίσετε τη δύναμη που δέχεται η ράβδος από το τρίποδο.

iii) Να βρεθεί η μέγιστη πλάγια δύναμη F₂, την οποία μπορούμε να ασκήσουμε στη ράβδο, χωρίς αυτή να γλιστρήσει, παραμένοντας οριζόντια.

Απάντηση:

ή

Μια οριζόντια ράβδος.

Ποιες οι ταχύτητες των σημείων της πλάκας;

  

Μια ορθογώνια ομογενής πλάκα με πλευρές α=0,8m και β=0,6m, μπορεί να στρέφεται σε κατακόρυφο επίπεδο, γύρω από οριζόντιο άξονα ο οποίος περνά από την κορυφή Α. Σε μια στιγμή η πλάκα βρίσκεται στη θέση του διπλανού σχήματος, έχοντας γωνιακή ταχύτητα ω=2rαd/s. Για τη θέση αυτή ζητάμε να βρεθούν οι ταχύτητες των κορυφών Β και Γ, καθώς και του κέντρου μάζας Κ της πλάκας.

Δυο μαθητές ακολουθούν διαφορετικούς δρόμους επίλυσης.

Ο μαθητής Α θεωρεί ότι η πλάκα εκτελεί στροφική κίνηση γύρω από σταθερό άξονα.

Ο μαθητής Β θεωρεί την κίνηση σύνθετη. Μια μεταφορική και μια στροφική γύρω από οριζόντιο άξονα που περνά από το κέντρο μάζας Κ.

 Να εξετασθεί αν αυτές οι δύο θεωρήσεις είναι σωστές ή όχι.

Απάντηση:

ή

 Ποιες οι ταχύτητες των σημείων της πλάκας; 

Ανακαλύπτοντας ξανά …τον τροχό.

Ένα φορτηγό κινείται ευθύγραμμα σε οριζόντιο δρόμο, με σταθερή ταχύτητα υ_φ, ενώ στο σχήμα βλέπετε έναν τροχό του ακτίνας R=0,5m. Το σημείο επαφής του τροχού με το έδαφος, σημείο Α, έχει μηδενική ταχύτητα, ενώ το σημείο Μ, στο μέσον της ακτίνας ΚΑ, έχει ταχύτητα μέτρου υ_Μ=1m/s.

i) Το φορτηγό κινείται προς τα δεξιά ή προς τα αριστερά; Να δικαιολογήσετε αναλυτικά την απάντησή σας.

ii) Να υπολογίσετε την ταχύτητα του φορτηγού και τη συχνότητα περιστροφής των τροχών.

iii) Να βρεθεί η επιτάχυνση του σημείου Μ στην θέση που δείχνει το σχήμα.

iv) Κάποια στιγμή το φορτηγό αποκτά επιτάχυνση α_φ=1m/s², χωρίς να ολισθήσουν οι τροχοί του. Να βρεθεί η ταχύτητα και η επιτάχυνση του ανώτερου σημείου του τροχού, τη στιγμή που το φορτηγό έχει αποκτήσει ταχύτητα υ_φ1=3m/s. Ποιος ο ρυθμός μεταβολής του μέτρου της ταχύτητας του παραπάνω σημείου, στη θέση αυτή;

Απάντηση:

ή

Ανακαλύπτοντας ξανά …τον τροχό.

Η κίνηση μιας τετράγωνης πλάκας

Στην επιφάνεια μια παγωμένης λίμνης κινείται μια οριζόντια ομογενής τετράγωνη πλάκα ΑΒΓΔ πλευράς α=0,4m. Μας δίνουν μια φωτογραφία της πλάκας και μας λένε ότι τη στιγμή της λήψης τα σημεία Α και Μ (ΑΜ=ΜΒ), έχουν παράλληλες ταχύτητες, κάθετες στην πλευρά ΑΒ με μέτρα υ_Α=0,8m/s και υ_Μ=0,4m/s.

i) Η κίνηση της πλάκας είναι μεταφορική ή όχι και γιατί;

ii) Να υπολογίσετε της ταχύτητα του κέντρου Κ του τετραγώνου.

iii) Αν η πλάκα περιστρέφεται, να υπολογιστεί η γωνιακή της ταχύτητα.

iv) Να βρεθεί την παραπάνω στιγμή η ταχύτητα της κορυφής Β.

Απάντηση:

ή

Η κίνηση μιας τετράγωνης πλάκας

Η κίνηση του δίσκου

Σε λείο οριζόντιο επίπεδο ηρεμεί ένας λεπτός ομογενής κυκλικός δίσκος, μάζας m=6kg με το επίπεδό του οριζόντιο. Σε μια στιγμή (t=0) στο σημείο Α της περιφέρειας του, ασκούνται δύο σταθερές οριζόντιες δυνάμεις, όπως στο σχήμα, όπου η πρώτη έχει μέτρο F₁=5Ν, ενώ ημθ=0,6. Ο δίσκος κινείται χωρίς να στρέφεται και τη στιγμή t₁=2s το σημείο Α έχει μετατοπισθεί κατά 2m. Τη στιγμή αυτή η δύναμη F₂ παύει να ασκείται στο δίσκο.

i)  Σε ποια κατεύθυνση έχει κινηθεί το κέντρο Κ του δίσκου; Να δικαιολογήσετε αναλυτικά την απάντησή σας.

ii) Να βρεθεί το μέτρο και η κατεύθυνση της δύναμης F₂.

iii) Να υπολογιστούν αμέσως μετά την κατάργηση της δύναμης F₂ (τη στιγμή t₁⁺):

 α) Η επιτάχυνση του κέντρου Κ του δίσκου.

  β) Η επιτάχυνση του σημείου Α

  γ) Ο ρυθμός μεταβολής του μέτρου της ταχύτητας του σημείου Α.

Δίνεται η ροπή αδράνειας του δίσκου ως προς κατακόρυφο άξονα που περνά από το κέντρο του Ι= ½ mR².

Απάντηση:

ή

Η κίνηση του δίσκου

Η επιτάχυνση του σημείου εφαρμογής

Σε λείο οριζόντιο επίπεδο ηρεμεί ένας λεπτός κυκλικός δίσκος, μάζας m, με το επίπεδό του οριζόντιο. Σε μια στιγμή ασκείται σε σημείο Α της περιφέρειάς του, μια δύναμη F, όπως στο σχήμα.

i) Το σημείο Α θα αποκτήσει επιτάχυνση, αμέσως μετά την άσκηση της δύναμης:

α) μέτρου F/m με διεύθυνση ίδια με τη δύναμη.

β) μέτρου μεγαλύτερου από F/m και διεύθυνση ίδια με τη διεύθυνση της δύναμης F.

γ) Τίποτα από τα παραπάνω.

ii) Η παραπάνω επιτάχυνση:

α) Είναι μόνο επιτρόχια (μεταβάλει το μέτρο της ταχύτητας)

β) Είναι μόνο κεντρομόλος (μεταβάλλει τη διεύθυνση της ταχύτητας)

γ) Έχει μια κεντρομόλο και μια επιτρόχια συνιστώσα.

Απάντηση

ή

Η επιτάχυνση του σημείου εφαρμογής

Άντληση νερού με λάστιχο

Διαθέτουμε μια πολύ μεγάλη δεξαμενή με νερό, από την οποία θα αντλήσουμε νερό, με χρήση ενός λάστιχου (σωλήνα) ΑΒ, το οποίο χρησιμοποιείται όπως στο σχήμα.

i) Η ταχύτητα εκροής στο άκρο Β του λάστιχου, εξαρτάται:

α) Από το ύψος Η=h₁.

β) Από το ύψος Η=h₁+h₂.

γ) Από το ύψος Η= h₁+h₂+h₃.

δ) Από το ύψος h₃, αρκεί να έχουμε εκροή.

ii) Η πίεση στον άξονα του λάστιχου έχει ελάχιστη τιμή:

α) p_min=p_ατμ,  β) p_min=p_ατμ+ρgh₂,  γ) p_min=p_ατμ-ρgh₁, δ) p_min=p_ατμ-ρg(h₁+h₂+h₃)

Να δικαιολογήσετε τις απαντήσεις σας.

Το νερό να θεωρηθεί ιδανικό ρευστό και το ύψος του νερού στη δεξαμενή σταθερό.

Απάντηση:

ή

Άντληση νερού με λάστιχο