Όταν η κίνηση του σώματος, δεν είναι αατ!

  

Ένα σώμα Α, μάζας Μ=3kg, ηρεμεί σε οριζόντιο επίπεδο, δεμένο στο άκρο ιδανικού οριζόντιου ελατηρίου σταθεράς k=240Ν/m, το οποίο έχει το φυσικό του μήκος. Ένα δεύτερο σώμα Β, μάζας m=1kg, κινείται κατά μήκος του άξονα του ελατηρίου προς το σώμα Α, με το οποίο συγκρούεται κεντρικά, έχοντας ταχύτητα μέτρου υ₂=2,5m/s, τη στιγμή ελάχιστα πριν την κρούση. Το αποτέλεσμα της κρούσης είναι το σώμα Β να προκαλέσει συσπείρωση του ελατηρίου ίση με 0,05m, μέχρι να μηδενιστεί η ταχύτητα του. Αν τα σώματα εμφανίζουν τους ίδιους συντελεστές τριβής μ=μ_s=0,8 με το οριζόντιο επίπεδο, ενώ g=10m/s², ζητούνται:

i)  Η ταχύτητα το σώματος Α αμέσως μετά την κρούση.

ii) Να εξετασθεί αν η κρούση μεταξύ των δύο σωμάτων είναι ή όχι ελαστική.

iii) Ποια η ελάχιστη και ποια η μέγιστη επιτάχυνση (κατά μέτρο) που αποκτά το σώμα Α, κατά την κίνησή του; Να υπολογιστεί το έργο της ασκούμενης τριβής στο σώμα Α, μέχρι τη θέση που θα αποκτήσει επιτάχυνση μέτρου α=g.

iv) Η τελική απόσταση μεταξύ των σωμάτων, όταν πάψουν να κινούνται.

Απάντηση:

ή

 Όταν η κίνηση του σώματος, δεν είναι αατ!

 Όταν η κίνηση του σώματος, δεν είναι αατ!

Ταχύτητες και επιταχύνσεις σε δοκό

 

Μια ομογενής δοκός ΑΒ μήκους l=2m, κινείται σε λείο οριζόντιο επίπεδο, με την επίδραση κατάλληλων μεταβλητών οριζοντίων δυνάμεων. Σε μια στιγμή t₁, η δοκός έχει την διεύθυνση του άξονα x, ενώ τα σημεία Α και Γ έχουν ταχύτητες στην διεύθυνση του άξονα y, όπως στο σχήμα (σε κάτοψη).  Το άκρο Α της δοκού, έχει ταχύτητα μέτρου υ_Α=3m/s, ενώ το σημείο Γ, όπου (ΒΓ)=0,4m, έχει ταχύτητα με την ίδια κατεύθυνση μέτρου υ_Γ=1,4m/s.

Την στιγμή αυτή στην διεύθυνση y, το σημείο Α, έχει επιτάχυνση μέτρου α_Α=6m/s², ίδιας κατεύθυνσης με την ταχύτητα υ_Α, ενώ το σημείου Γ έχει επιτάχυνση αντίθετης φοράς, μέτρου α_Σ=0,4m/s².

i)   Να υπολογιστεί η ταχύτητα του μέσου (και κέντρου μάζας) Ο της δοκού, καθώς και η γωνιακή ταχύτητα περιστροφής της, γύρω από νοητό κατακόρυφο άξονα, ο οποίος διέρχεται από το Ο.

ii) Έχουν μήπως τα σημεία Α και Γ επιτάχυνση και στην διεύθυνση x;  Αν ναι ποιο σημείο έχει μεγαλύτερη κατά μέτρο επιτάχυνση σε αυτήν την διεύθυνση;

iii) Να υπολογιστούν η επιτάχυνση του κέντρου Ο, καθώς και η γωνιακή επιτάχυνση της τροχαλίας.

Απάντηση:

ή

 Ταχύτητες και επιταχύνσεις σε δοκό

 Ταχύτητες και επιταχύνσεις σε δοκό

Οι ορμές σε δύο ελαστικές κρούσεις

  

Μια σφαίρα Α μάζας m₁=2m, κινείται ευθύγραμμα έχοντας ορμή, μέτρου p₁ και σε μια στιγμή, συγκρούεται κεντρικά και ελαστικά με ακίνητη σφαίρα Β, ίσης ακτίνας.

i) Αν η σφαίρα Β έχει μάζα m₂=m, τότε η ορμή που αποκτά μετά την κρούση, έχει μέτρο:

ii) Αν η σφαίρα Β έχει μάζα m₂=3m, τότε η αντίστοιχη ορμή που θα αποκτήσει, θα έχει μέτρο:

 

iii) Τι ποσοστό της αρχικής κινητικής ενέργειας της Α σφαίρας, μεταφέρεται στην σφαίρα Β, σε καθεμιά από τις παραπάνω περιπτώσεις;

Να δικαιολογήσετε τις απαντήσεις σας.

Απάντηση:

ή

 Οι ορμές σε δύο ελαστικές κρούσεις

 Οι ορμές σε δύο ελαστικές κρούσεις

Δύο ελαστικές κρούσεις και η μηδενική ταχύτητα

 

Μια σφαίρα Α μάζας m= 1kg κινείται (χωρίς να περιστρέφεται) με ταχύτητα υ₁=5m/s, σε λείο οριζόντιο επίπεδο και συγκρούεται κεντρικά και ελαστικά με δεύτερη σφαίρα Β, ίσης ακτίνας και μάζας Μ=4kg η οποία είναι ακίνητη.

i)  Να αποδείξετε ότι κάποια στιγμή t₁ στη διάρκεια της κρούσης μηδενίζεται η ταχύτητα της Α σφαίρας.

ii) Πόση είναι η μείωση ΔΚ της κινητικής ενέργειας του συστήματος, τη στιγμή t₁;

iii) Τι ποσοστό της κινητικής ενέργειας της Α σφαίρας, μεταφέρεται τελικά στην σφαίρα Β;

iv) Ποιες οι αντίστοιχες απαντήσεις στα παραπάνω ερωτήματα, αν η Β σφαίρα, πριν την κρούση κινείται στην ίδια ευθεία με αντίθετη φορά με ταχύτητα, μέτρου |υ₂|= 1,25m/s, όπως στο δεύτερο σχήμα;

Απάντηση:

ή

 Δύο ελαστικές κρούσεις και η μηδενική ταχύτητα

 Δύο ελαστικές κρούσεις και η μηδενική ταχύτητα

Μια ισορροπία ράβδου και μια ταλάντωση σφαίρας.

 

Μια ομογενής ράβδος ΑΒ βάρους w₁=40Ν, ισορροπεί, όπως στο σχήμα, σχηματίζοντας με την οριζόντια διεύθυνση γωνία θ, όπου ημθ=0,6 και συνθ=0,8, αρθρωμένη στο άκρο της Β σε κατακόρυφο τοίχο, ενώ έχει προσδεθεί στο άκρο της Α, μέσω οριζόντιου νήματος, με τον τοίχο. Στο άκρο της Α, έχει δεθεί και το πάνω άκρο ενός κατακόρυφου ιδανικού ελατηρίου, σταθεράς k=100Ν/m,  στο άλλο άκρο του οποίου ηρεμεί μια σφαίρα Σ μάζας m=4kg.

i) Να υπολογιστούν τα μέτρα της οριζόντιας και της κατακόρυφης συνιστώσας της δύναμης που δέχεται η ράβδος από την άρθρωση, στο άκρο της Β.

ii) Εκτρέπουμε τη σφαίρα κατακόρυφα προς τα κάτω κατά y₁=0,3m και τη στιγμή t₀=0, την αφήνουμε να κινηθεί, με αποτέλεσμα να εκτελέσει αατ.

α) Να βρεθεί η εξίσωση της απομάκρυνσης της σφαίρας σε συνάρτηση με το χρόνο, θεωρώντας την προς τα κάτω κατεύθυνση ως θετική.

β) Να βρεθεί η εξίσωση της τάσης του νήματος σε συνάρτηση με το χρόνο Τ=f(t)  και να παρασταθεί γραφικά.

iii) Σε μια στιγμή που η σφαίρα περνά από την θέση ισορροπίας της, συγκρούεται κεντρικά και ελαστικά με δεύτερη σφαίρα Σ₁, μάζας m₁=2kg, η οποία κινείται κατακόρυφα προς τα πάνω. Να υπολογιστεί η ελάχιστη ταχύτητα της σφαίρας Σ₁, για την οποία μηδενίζεται η τάση του νήματος, που συγκρατεί τη ράβδο.

Δίνεται g=10m/s² .

Απάντηση:

ή

 Μια ισορροπία ράβδου και μια ταλάντωση σφαίρας.

 Μια ισορροπία ράβδου και μια ταλάντωση σφαίρας.