Τρεις ισορροπίες μιας δοκού

 

Σε λείο οριζόντιο επίπεδο ηρεμεί μια ομογενής δοκός ΑΒ μήκους 4m και βάρους 400Ν. Σε μια στιγμή στο άκρο Α τη δοκού, ασκούμε μια κατακόρυφη δύναμη, με φορά προς τα πάνω, μέτρου F=80Ν και παρατηρούμε ότι η σανίδα συνεχίζει να ηρεμεί. 

i)  Να βρεθεί η δύναμη που ασκεί το επίπεδο στη δοκό, καθώς και η ροπή της ως προς το κέντρο μάζας Κ της δοκού. 

ii) Ποια η μέγιστη τιμή F1 που μπορεί να πάρει το μέτρο της δύνα-μης αυτής, χωρίς να πάψει η δοκός να ισορροπεί;  

iii) Μεταβάλλοντας το μέτρο της κατακόρυφης αυτής δύναμης, ανασηκώνουμε τη δοκό, φέρνοντάς την να ισορροπεί σε μια νέα θέση, όπου σχηματίζει με το οριζόντιο επίπεδο γωνία θ, όπως στο κάτω σχήμα. Να υπολογίστε το μέτρο της δύναμης F2, σε συνάρτηση με την γωνία θ. 

Απάντηση:

ή

 Τρεις ισορροπίες μιας δοκού

Τρεις ισορροπίες μιας δοκού

  

Μια ομογενής ράβδος ΑΒ μήκους l=2m, ηρεμεί σε λείο οριζόντιο επίπεδο, με το κέντρο της Κ να συμπίπτει με την αρχή Ο, ενός ορθογωνίου συστήματος αξόνων, όπως στο σχήμα (σε κάτοψη). Σε μια στιγμή t₀=0, στην ράβδο ασκείται μια κατάλληλη οριζόντια  δύναμη F, η ροπή της οποίας την θέτει σε οριζόντια περιστροφή, γύρω από σταθερό κατακόρυφο άξονα z, ο οποίος διέρχεται από το άκρο της Β, με σταθερή γωνιακή επιτάχυνση α_γ=4/π rad/s². Η ράβδος στρέφεται αντίθετα από τους δείκτες του ρολογιού, μέχρι τη στιγμή t₁=3,14s, όπου ο άξονας σπάει, χωρίς να ασκήσει κάποια επιπλέον δύναμη στη ράβδο, ενώ ταυτόχρονα παύει να ασκείται πάνω της η δύναμη F.

i) Ελάχιστα πριν σπάσει ο άξονας z, να βρεθούν:

α)  Η θέση της ράβδου και

β) Οι ταχύτητες του κέντρου μάζας Κ και του άκρου Α της ράβδου.

ii) Αφού περιγράψετε πλήρως την κίνηση της ράβδου μετά το σπάσιμο του άξονα, να βρείτε την χρονική στιγμή t₂=13π/8 s:

α) Τη θέση της ράβδου,

β) Τις ταχύτητες των δύο άκρων Α και Β της ράβδου.

Απάντηση:

ή

 Όταν σπάει ο άξονας…

 Όταν σπάει ο άξονας…

Μια ακόμη κύλιση τροχού

 

Ένας τροχός κέντρου Ο και ακτίνας R=0,5m κυλίεται προς τα δεξιά σε οριζόντιο δρόμο, όπως στο σχήμα και σε μια στιγμή t=0, ένα  σημείο του Α βρίσκεται πάνω σε μια κατακόρυφη διάμετρό του,  απέχοντας 0,8m, από το έδαφος. Στο διάγραμμα του σχήματος,  δίνεται η μεταβολή της  γωνιακής ταχύτητας του τροχού σε συνάρτηση με το χρόνο.

i)  Να σημειώστε στο σχήμα την γωνιακή ταχύτητα του τροχού τη στιγμή t_0­=0  και την ταχύτητα του σημείου Α. Ποιο το μέτρο της ταχύτητας  αυτής.

ii) Να υπολογίστε τον αριθμό των περιστροφών του τροχού, μέχρι τη στιγμή που αρχίζει να μειώνεται η γωνιακή του ταχύτητα.

iii) Να υπολογιστούν η γωνιακή επιτάχυνση, καθώς και η επιτάχυνση του κέντρου Ο του τροχού, στο χρονικό διάστημα που ο τροχός επιβραδύνεται.

iv) Ποιο το μέτρο της συνολικής μετατόπισης του σημείου Α, μέχρι τη στιγμή που ο τροχός  σταματά.

Απάντηση:

ή

 Μια ακόμη κύλιση τροχού

 Μια ακόμη κύλιση τροχού