Όταν φορτώνουμε μια σανίδα

 

Μια λεπτή ομογενής σανίδα ΑΒ, ισορροπεί όπως στο σχήμα, αρθρωμένη στο άκρο της Α, ενώ το άκρο της Β είναι δεμένο στο κάτω άκρο κατακόρυφου νήματος. Η σανίδα έχει βάρος w=100N και σχηματίζει με την οριζόντια διεύθυνση γωνία φ, όπου ημφ=0,6 και συνφ=0,8.

i) Να υπολογισθεί η τάση του νήματος και η δύναμη που δέχεται η σανίδα από την άρθρωση.

ii) Τοποθετούμε πάνω στη σανίδα, πολύ κοντά στο άκρο της Α, ένα σώμα Σ, βάρους w1=50Ν,  το οποίο θεωρούμε υλικό σημείο αμελητέων διαστάσεων και βλέπουμε να ισορροπεί. Να υπολογισθεί η οριζόντια και κατακόρυφη συνιστώσα της δύναμης που ασκεί η άρθρωση στη σανίδα.

iii) Αν μεταξύ σώματος Σ και σανίδας δεν αναπτύσσονται τριβές, να υπολογιστούν η οριζόντια και κατακόρυφη συνιστώσα της δύναμης που ασκεί η άρθρωση στη σανίδα, μόλις το σώμα Α αφεθεί να κινηθεί στο μέσον Μ της σανίδας.

Απάντηση:

ή

 Όταν φορτώνουμε μια σανίδα

Όταν φορτώνουμε μια σανίδα

Η ισορροπία ή μη, μιας ράβδου

Μια ομογενής ράβδος ΑΒ, μήκους L, αφήνεται σε ισορροπήσει σε λείο οριζόντιο επίπεδο, σχηματίζοντας με το επίπεδο γωνία φ, όπου ημφ=0,6 και συνφ=0,8, ενώ στηρίζεται σε ένα βαρύ κιβώτιο ύψους h, το οποίο είναι προσκολλημένο στο επίπεδο.

i)  Αν το ύψος του κιβωτίου είναι h1 = 0,2L όπως στο σχήμα (α), να αποδείξετε ότι η ράβδος δεν θα ισορροπήσει.

ii) Αν το ύψος του κιβωτίου είναι h2=0,3L, όπως στο σχήμα (β), να δείξετε ότι μπορεί να υπάρξει ισορροπία, αρκεί να αναπτυχθεί τριβή στο σημείο στήριξης Μ. Αν ο συντελεστής οριακής στατικής τριβής μεταξύ ράβδου και κιβωτίου είναι ίσος με μs=μ=0,6  θα εξασφαλιστεί η ισορροπία;

iii) Αν στο σχήμα (γ) h3= 0,5L, να υπολογιστεί ο ελάχιστος συντελεστής οριακής στατικής τριβής μεταξύ ράβδου-κιβωτίου, ώστε η ράβδος να ισορροπεί.

Απάντηση:

ή

Η ισορροπία ή μη, μιας ράβδου

Η ισορροπία ή μη, μιας ράβδου

Μια σύνθετη κίνηση ράβδου

 

Μια ομογενής ράβδος μήκους 2m κινείται οριζόντια, σε λείο οριζόντιο επίπεδο και στο σχήμα φαίνεται η θέση της ράβδου, τη στιγμή t0=0, όπου το μέσον της Ο περνά από την αρχή ενός οριζόντιου συστήματος ορθογωνίων αξόνων x,y, ενώ η ράβδος ταυτίζεται κατά μήκος της, με τον άξονα x. Τη στιγμή αυτή το Ο έχει ταχύτητα υ0=2,5m/s στη διεύθυνση y και επιτάχυνση α1 στη διεύθυνση x, ενώ την ίδια στιγμή το άκρο Α της ράβδου, έχει επιτάχυνση α2, μέτρου α2=(π/4) m/s2, όπως στο σχήμα, κάθετη στην ράβδο. Ταυτόχρονα η ράβδος έχει γωνιακή ταχύτητα περιστροφής μέτρου ω= (π/4) rad/s, κάθετη στο επίπεδο του σχήματος με φορά προς τα μέσα.

i) Να υπολογιστεί το μέτρο της επιτάχυνσης α1 του μέσου Ο της ράβδου καθώς και η γωνιακή επιτάχυνση της ράβδου.

Αν η επιτάχυνση το κέντρου Ο, καθώς και η γωνιακή επιτάχυνση της ράβδου παραμένουν σταθερές, ζητούνται, για τη χρονική στιγμή t1=2s:

ii)  Η θέση του μέσου Ο της ράβδου, καθώς το μέτρο της ταχύτητάς του.

iii) Ποιος ο προσανατολισμός της ράβδου και ποιο το μέτρο της γωνιακής της ταχύτητας;

iv) Να βρεθούν οι ταχύτητες υAx και υAy, καθώς και οι αντίστοιχες επιταχύνσεις στους δυο άξονες, του άκρου Α της ράβδου.

Δίνεται π2=10.

Απάντηση:

ή

Μια σύνθετη κίνηση ράβδου

Μια σύνθετη κίνηση ράβδου

Η ράβδος, οι επιταχύνσεις και οι ταχύτητες

 

Μια ομογενής ράβδος ΑΒ μήκους l=1m κινείται σε οριζόντιο επίπεδο και μια στιγμή t1, βρίσκεται στη θέση του σχήματος (σε κάτοψη), όπου το κέντρο μάζας Μ και το άκρο Α, έχουν επιταχύνσεις, όπως στο σχήμα με μέτρα α1=2m/s2 και α2=1m/s2, όπου η α1 κατευθύνεται προς το Α, ενώ η α2 είναι κάθετη στη ράβδο.

i) Να εξηγήσετε γιατί η κίνηση της ράβδου δεν μπορεί να είναι μεταφορική.

ii) Θεωρώντας την κίνηση της ράβδου ως σύνθετη, να υπολογίσετε την γωνιακή ταχύτητα και την γωνιακή επιτάχυνση της ράβδου τη στιγμή t1.

iii) Αν την ίδια στιγμή το σημείο Μ έχει ταχύτητα, κάθετη στην ΑΒ, μέτρου υ1=2m/s, όπως στο σχήμα, να υπολογίστε την ταχύτητα του άκρου Β της ράβδου.

Απάντηση:

ή

Η ράβδος, οι επιταχύνσεις και οι ταχύτητες

Η ράβδος, οι επιταχύνσεις και οι ταχύτητες

Δύο διαφορετικές οπτικές

 

Σε λείο οριζόντιο επίπεδο κινείται οριζόντια μια ομογενής δοκός ΑΒ, μήκους l=1m  και σε μια στιγμή t το μέσον της Μ και το άκρο της Β έχουν ταχύτητες κάθετες στην ΑΒ με μέτρα υ1=1m/s και υ2=3m/s αντίστοιχα.

i)   Ο μαθητής Α υποστηρίζει ότι η δοκός εκτελεί στροφική κίνηση γύρω από σταθερό κατακόρυφο άξονα z1. Με βάση αυτή την υπόθεση, καλείται να απαντήσει στα παρακάτω ερωτήματα, δίνοντας και σύντομες δικαιολογήσεις:

α)  Ο άξονας z1 περνά από κάποιο σημείο της δοκού ή μπορεί να περνά από σημείο, έξω από την δοκό;

β) Ο άξονας z1 περνά από ένα σημείο Ρ, μεταξύ των Μ και Β ή όχι;

γ) Ποια η γωνιακή ταχύτητα περιστροφής της δοκού

δ) Ποια η ταχύτητα του άκρου Α της δοκού τη στιγμή t;

ii)  Ο μαθητής Β, υποστηρίζει ότι η ράβδος εκτελεί σύνθετη κίνηση, μια μεταφορική με ταχύτητα υ1, την ταχύτητα του κέντρου μάζας Μ και μια στροφική γύρω από κατακόρυφο άξονα z2, ο οποίος περνά από το κέντρο μάζας Μ. Με βάση την υπόθεση αυτή, καλείται να απαντήσει στα ερωτήματα για τη στιγμή t:

α) Ποια η γωνιακή ταχύτητα της δοκού;

β) Ποια η ταχύτητα του άκρου Α της δοκού;

iii) Ποιος μαθητής έχει δίκιο στην θέση που υποστηρίζει;

Απάντηση:

ή

Δύο διαφορετικές οπτικές

Δύο διαφορετικές οπτικές

Μια ελαστική κρούση και τα ύψη πριν και μετά

 

Μια σφαίρα μάζας m αφήνεται από ύψος h1 να πέσει και να συγκρουσθεί κεντρικά και ελαστικά, με μια πλάκα μάζας Μ η οποία ηρεμεί στο πάνω άκρο ενός κατακόρυφου ελατηρίου, το οποίο έχει συμπιέσει, όπως φαίνεται στο σχήμα, χωρίς να είναι δεμένη με αυτό. Μετά την κρούση η σφαίρα κινείται κατακόρυφα προς τα πάνω και φτάνει σε μέγιστο ύψος h2. Η πλάκα ενώ κινείται αρχικά προς τα κάτω, τελικά κινείται προς τα πάνω και αφού εγκαταλείψει το ελατήριο φτάνει σε μέγιστο ύψος Η, όπου όλα τα ύψη μετρούνται από την αρχική θέση ισορροπίας της πλάκας.

i)  Να αποδείξετε ότι η πλάκα έχει μεγαλύτερη μάζα από την σφαίρα (Μ>m).

ii)  Αν p1 το μέγιστο μέτρο της ορμής της σφαίρας κατά την παραπάνω κίνηση, ενώ το αντίστοιχο μέτρο της ορμής της πλάκας, αμέσως μετά την κρούση, είναι p2 θα ισχύει:

α) p2=p1,      β) p₁<p₂ <2 p₁,    γ) p2=2p1.

i)  Αν Μ=2m, τότε για τα προαναφερόμενα ύψη ισχύει:

α) h1-h2 > 2Η,       β) h1-h2 = 2Η,        γ) h1-h2 < 2Η

Να δικαιολογήσετε τις απαντήσεις σας.

Απάντηση:

ή

Μια ελαστική κρούση και τα ύψη πριν και μετά

Μια ελαστική κρούση και τα ύψη πριν και μετά

Μια σύνθετη κίνηση δίσκου

Ένας δίσκος ακτίνας R=0,5m κινείται με σταθερή ταχύτητα υcm=2m/s, κέντρου μάζας Κ, σε οριζόντιο επίπεδο, χωρίς να περιστρέφεται. Σε μια στιγμή t0=0, στον δίσκο ασκείται κατάλληλη ροπή ενός ζεύγους, με αποτέλεσμα ο δίσκος να αρχίσει να στρέφεται, χωρίς να μεταβάλλεται η υcm. Στο διάγραμμα δίνεται το μέτρο της γωνιακής ταχύτητας του δίσκου σε συνάρτηση με το χρόνο, ενώ η κατεύθυνσή της είναι κάθετη στο επίπεδο της σελίδας, με φορά προς τα μέσα, όπως στο σχήμα.

i) Να υπολογισθεί η γωνιακή επιτάχυνση του δίσκου και η γωνία στροφής του μέχρι τη χρονική στιγμή t1=2s.

ii) Να υπολογιστούν οι ταχύτητες τριών σημείων Α, Β και Γ, όπου τα ΑΓ είναι τα άκρα της κατακόρυφης διαμέτρου και το Β στο άκρο μιας οριζόντιας ακτίνας ΚΒ, τη χρονική στιγμή t1.

iii) Ποιες οι οριζόντιες επιταχύνσεις των τριών παραπάνω σημείων την ίδια στιγμή t1;

iv) Να υπολογιστούν επίσης οι ταχύτητες των αντίστοιχων σημείων που βρίσκονται στις ίδιες θέσεις, (άκρα διαμέτρου και άκρο οριζόντιας ακτίνας) τη χρονική στιγμή t2=5s.

Απάντηση:

ή

Μια σύνθετη κίνηση δίσκου

Μια σύνθετη κίνηση δίσκου

Μια πλάγια ελαστική κρούση δύο σφαιρών

 

Μια σφαίρα Α ακτίνας 2cm, κινείται στο χώρο, εκτός πεδίου βαρύτητας, με το κέντρο της Κ να έχει σταθερή ταχύτητα υ1 κατά μήκος μιας ευθείας (ε), χωρίς να περιστρέφεται. Μια δεύτερη σφαίρα Β, κέντρου Ο και ακτίνας 3cm, είναι ακίνητη. Σχεδιάζοντας ένα σχήμα, στο επίπεδο της σελίδας (το οποίο ταυτίζεται με το επίπεδο που ορίζει η διάκεντρος ΚΟ και η ταχύτητα υ1), η ευθεία (ε) εφάπτεται στη σφαίρα Β. Αν η κρούση  που θα ακολουθήσει είναι ελαστική, ενώ οι σφαίρες έχουν ίσες μάζες και οι επιφάνειές τους είναι λείες:

i)Σε ποιες διευθύνσεις θα κινηθούν οι δυο σφαίρες μετά την κρούση;

ii) Αν λ ο λόγος των κινητικών ενεργειών των δύο σφαιρών, μετά την κρούση (Κ1/Κ2=λ), τότε:

α) λ < 0,5,    β) λ = 0,5,   γ) λ > 0,5.

Να δικαιολογήσετε τις απαντήσεις σας.

Απάντηση:

ή

Μια πλάγια ελαστική κρούση δύο σφαιρών

Μια πλάγια ελαστική κρούση δύο σφαιρών

Μιλώντας με όρους ‎συστήματος.‎

 

Δυο σώματα Α και Β με μάζας m1=2kg και m2=1kg αντίστοιχα ηρεμούν σε οριζόντιο επίπεδο, με το οποίο παρουσιάζουν τον ίδιο συντελεστή τριβής ολίσθησης μ=0,2. Το σώμα Α βρίσκεται επίσης σε επαφή (χωρίς να είναι δεμένο) με οριζόντιο ιδανικό ελατήριο σταθεράς k=88Ν/m, το οποίο έχει το φυσικό μήκος του, όπως στο σχήμα. Μετακινούμε το Α σώμα προς τα αριστερά κατά d=0,5m, συμπιέζοντας το ελατήριο και το αφήνουμε να κινηθεί, οπότε μετά από λίγο, τη στιγμή t0=0, συγκρούεται κεντρικά και ελαστικά με το σώμα Β, όπου η κρούση είναι ακαριαία.

i) Να υπολογισθεί η αρχική επιτάχυνση του σώματος Α, μόλις αφεθεί να κινηθεί.

ii) Να υπολογισθεί η ορμή και ο ρυθμός μεταβολής της ορμής του σώματος Α, ελάχιστα πριν την κρούση.

iii) Ποια η ορμή και ποιος ο ρυθμός μεταβολής της ορμής του συστήματος των δύο σωμάτων:

α)  αμέσως μετά την κρούση τη στιγμή t0+.

β) τη χρονική στιγμή t1=1s.

Δίνεται g=10m/s2.

Απάντηση:

ή

Μιλώντας με όρους ‎συστήματος.‎

Μιλώντας με όρους ‎συστήματος.‎

Η ελάχιστη κινητική ενέργεια

 

Σε λείο οριζόντιο επίπεδο, κινούνται στην ίδια ευθεία, χωρίς να περιστρέφονται, δύο  σφαίρες Α και Β με ίσες ακτίνες και μάζες m και 3m, αντίστοιχα, οι οποίες κάποια στιγμή συγκρούονται κεντρικά και ελαστικά. Αν πριν την κρούση η Α σφαίρα έχει ταχύτητα μέτρου υ1 με φορά προς τα δεξιά.

i)   Υποστηρίζεται η άποψη ότι η σφαίρα Α θα επιβραδυνθεί, εξαιτίας της δύναμης που θα δεχτεί από την σφαίρα Β, με αποτέλεσμα μετά την κρούση να έχει ταχύτητα με μέτρο μικρότερο από υ1. Να εξετάσετε αν αυτό είναι σωστό ή όχι.

ii)  Αν μετά την κρούση η σφαίρα Α έχει την ελάχιστη δυνατή κινητική ενέργεια, να βρεθεί η ταχύτητα της Β σφαίρας πριν την κρούση.

iii) Να υπολογιστεί το ποσοστό μεταβολής της κινητικής ενέργειας και της ορμής της σφαίρας Β, που οφείλεται στη κρούση.

Απάντηση:

ή

Η ελάχιστη κινητική ενέργεια

Η ελάχιστη κινητική ενέργεια

ια

 Κάτι σαν φύλλο εργασίας

Ένα σώμα Σ₁ είναι δεμένο στο άκρο ενός ιδανικού ελατηρίου σταθεράς k και συγκρατείται σε λείο οριζόντιο επίπεδο, έχοντας συμπιέσει το ελατήριο κατά α. Ένα δεύτερο σώμα Σ₂ κινείται στο ίδιο οριζόντιο επίπεδο, κατά μήκος του άξονα του ελατηρίου πλησιάζοντας το σώμα Σ₁. Σε μια στιγμή t₀=0, αφήνουμε το Σ₁ να ταλαντωθεί και στο διπλανό σχήμα βλέπετε τη γραφική παράσταση της απομάκρυνσής του από τη θέση ισορροπίας, σε συνάρτηση με το χρόνο, όπου κάποια στιγμή τα δυο σώματα συγκρούονται μετωπικά.

Αντλώντας πληροφορίες από το παραπάνω διάγραμμα x=f(t), να απαντήσετε στις παρακάτω ερωτήσεις, δίνοντας και σύντομες δικαιολογήσεις:

i) Να εξηγήσετε γιατί έχουμε κρούση των δύο σωμάτων τη στιγμή t₁. Σε ποια θέση έγινε η κρούση αυτή; 

ii) Να εξηγήσετε γιατί η παραπάνω κρούση των δύο σωμάτων δεν μπορεί να είναι πλαστική. 

iii) Πόσες κρούσεις μεταξύ των δύο σωμάτων έχουμε, μέχρι τη στιγμή 4t₁;

Αν οι κρούσεις μεταξύ των σωμάτων είναι ελαστικές:

iv) Σε τι ποσοστό αυξήθηκε η ενέργεια ταλάντωσης του σώματος Σ₁, λόγω της πρώτης κρούσης; 

v) Να υπολογιστεί το ποσοστό της αρχικής κινητικής ενέργειας του σώματος Σ₂ το οποίο μεταφέρεται στο Σ₁, κατά την κρούση αυτή. 

vi) Να υπολογιστεί συναρτήσει της σταθεράς του ελατηρίου k και της αρχικής του συσπείρωσης  α, η κινητική ενέργεια του σώματος Σ₂, τις χρονικές στιγμές t=0 και t΄=4t₁. 

vii) Να αποδειχτεί ότι το σώμα Σ₂ έχει τριπλάσια μάζα από το σώμα Σ₁. 

viii) Ποιο από τα δύο σώματα έχει μεγαλύτερη κατά μέτρο ταχύτητα, ελάχιστα πριν την πρώτη κρούση;

Απάντηση:

ή

Κρούσεις και ταλαντώσεις

Κρούσεις και ταλαντώσεις

Δύο ελαστικές κρούσεις μιας σφαίρας

 

Μια σφαίρα μάζας m=1kg, είναι δεμένη στο κάτω άκρο αβαρούς και μη ελαστικού νήματος, μήκους l=1,25m, το άλλο άκρο του οποίου είναι δεμένο σε σταθερό σημείο Ο. Η σφαίρα ηρεμεί στη θέση Α, με το νήμα κατακόρυφο, σε επαφή με ένα σώμα Σ1, όπως στο σχήμα. Εκτρέπουμε τη σφαίρα φέρνοντάς την στη θέση Β, με το νήμα οριζόντιο και την αφήνουμε να κινηθεί. Φτάνοντας στη θέση Α συγκρούεται κεντρικά και ελαστικά με το σώμα Σ1 και στη συνέχεια επιστρέφει φτάνοντας μέχρι τη θέση Γ, όπου το νήμα σχηματίζει με την κατακόρυφο γωνία φ, όπου συνφ=0,64, ενώ το Σ1 μετακινείται κατά x1=1m, στο οριζόντιο επίπεδο, όπου και σταματά.

i) Να βρεθεί η ταχύτητα της σφαίρας στη θέση Α, ελάχιστα πριν και ελάχιστα μετά την κρούση. 

ii) Να υπολογιστεί η μεταβολή της ορμής της σφαίρας στη διάρκεια της κρούσης. 

iii) Να βρεθεί η ταχύτητα του σώματος Σ1 μετά την κρούση καθώς και ο συντελεστής τριβής ολίσθησης που παρουσιάζει με το επίπεδο. 

iv) Επαναλαμβάνουμε τη διαδικασία, αντικαθιστώντας το σώμα Σ1, με ένα άλλο σώμα Σ2, το οποίο παρουσιάζει τον ίδιο συντελεστή τριβής ολίσθησης με το επίπεδο, ενώ η σφαίρα αφήνεται να κινηθεί τώρα από την θέση Γ. Αν μετά την κεντρική ελαστική κρούση το σώμα Σ2 διανύει απόσταση x2=2,25m στο οριζόντιο επίπεδο και σταματά, να βρείτε την μάζα του m2.

Δίνεται g=10m/s2.

Απάντηση:

ή

Δύο ελαστικές κρούσεις μιας σφαίρας

Δύο ελαστικές κρούσεις μιας σφαίρας

Μια ελαστική κρούση και οι μετέπειτα κινήσεις

 

Πάνω σε ένα μη λείο οριζόντιο επίπεδο, ηρεμεί ένα σώμα Σ1 μάζας m1=2kg, στη θέση Ο, δεμένο στο άκρο οριζόντιου ιδανικού ελατηρίου σταθεράς k, το οποίο έχει το φυσικό του μήκος. Ένα δεύτερο σώμα Σ2 μάζας m2=1kg κινείται κατά μήκος του άξονα του ελατηρίου με κατεύθυνση προς το σώμα Σ1, με το οποίο μετά από λίγο συγκρούεται μετωπικά και ελαστικά. Τα δυο σώματα παρουσιάζουν τον ίδιο συντελεστή τριβής ολίσθησης με το επίπεδο μ=0,45. Μετά την κρούση το Σ1 αφού συμπιέσει το ελατήριο κατά Δl=0,4m όταν μηδενίζεται η ταχύτητά του στη θέση Β, επιστρέφει και σταματά στην αρχική του θέση Ο.

i) Να υπολογιστεί η ταχύτητα του σώματος Σ1 καθώς και η επιτάχυνσή του, αμέσως μετά την κρούση.

ii) Να βρεθεί η επιτάχυνση του σώματος στη θέση της μέγιστης συσπείρωσης του ελατηρίου Β, ελάχιστα πριν τον μηδενισμό της ταχύτητάς του και ελάχιστα μετά όταν αρχίσει να κινείται προς τα αριστερά.

iii) Τι ποσοστό της κινητικής ενέργειας  του σώματος Σ2 μεταφέρθηκε στο σώμα Σ1 κατά την κρούση;

iv) Να βρεθεί η τελική απόσταση μεταξύ των δύο σωμάτων, όταν πάψει η κίνησή τους.

Δίνεται g=10m/s2.

Απάντηση:

ή

Μια ελαστική κρούση και οι μετέπειτα κινήσεις

Μια ελαστική κρούση και οι μετέπειτα κινήσεις