Δυο πηγές στην επιφάνεια υγρού

 

Στην επιφάνεια μιας δεξαμενής με νερό, βρίσκονται δύο σύγχρονες πηγές κυμάτων Ο1 και Ο2 οι οποίες αρχίζουν να ταλαντώνονται τη στιγμή t0=0, παράγοντας εγκάρσια κύματα με πλάτος Α, μήκος κύματος λ=0,8m και περίοδο Τ=2s. Λαμβάνοντας ένα σύστημα ορθογωνίων αξόνων x,y, όπως στο σχήμα, η Ο1 βρίσκεται στην αρχή των αξόνων, ενώ η Ο2 στη θέση x2=0,8m.

i) Να βρείτε τις θέσεις των σημείων του άξονα x, τα οποία παραμένουν ακίνητα, μετά τη συμβολή των δύο κυμάτων.

ii) Έστω Ρ ένα τέτοιο σημείο του άξονα x, το κοντινότερο στην αρχή των αξόνων. Να βρείτε το πλάτος ταλάντωσης του Ρ, τις χρονικές στιγμές t1=0,4s, t2=0,8s και t3=1,6s.

iii) Να βρείτε επίσης τις θέσεις των σημείων του άξονα y, τα οποία παραμένουν ακίνητα, μετά την συμβολή των δύο κυμάτων.

iv) Αν Σ ένα τέτοιο σημείο του άξονα y, το κοντινότερο στην αρχή των αξόνων, να βρείτε το πλάτος ταλάντωσής του τις χρονικές στιγμές t4=1,2s, t5=1,8s και t6=2,2s.

Θεωρούμε ότι τα κύματα διαδίδονται με σταθερό πλάτος στην επιφάνεια του νερού.

Απάντηση:

ή

Δυο πηγές στην επιφάνεια υγρού

 Δυο πηγές στην επιφάνεια υγρού

 Δυο πηγές στην επιφάνεια υγρού

Η συμβολή δύο αντίθετων παλμών

 Κατά μήκος ενός γραμμικού ελαστικού μέσου, διαδίδονται αντίθετα δύο κυματομορφές με το ίδιο μήκος κύματος λ και το ίδιο πλάτος Α και σε μια στιγμή tο=0, φτάνουν στα σημεία Α και Β, όπως στο σχήμα.

Δίνεται ότι η απόσταση (ΑΒ) είναι ίση με το μισό μήκος κύματος των δύο κυματομορφών.

i)  Να σημειώσετε στο σχήμα τις ταχύτητες των σημείων Α και Β του μέσου τη στιγμή t0.

ii)  Ποια χρονική στιγμή οι δύο παλμοί συναντώνται στο μέσον Μ του τμήματος ΑΒ; Ποια η ταχύτητα του σημείου Μ τη στιγμή αυτή;

iii) Να σχεδιάσετε τη μορφή του ελαστικού μέσου:

α) Τη χρονική στιγμή t1= ½ Τ, όπου Τ η περίοδος ταλάντωσης ενός σημείου του μέσου, όταν σε αυτό φτάσει μια κυματομορφή.

β) Τη χρονική στιγμή t2=Τ.

γ) τη χρονική στιγμή t3= 2Τ.

iv) Να σημειώστε πάνω στο στιγμιότυπο της ερώτησης α), τις ταχύτητες ταλάντωσης των σημείων του μέσου, μεταξύ των σημείων Α και Β, τη στιγμή t1.

Απάντηση:

ή

Η συμβολή δύο αντίθετων παλμών

Η συμβολή δύο αντίθετων παλμών

Η συμβολή δύο αντίθετων παλμών

Ένα κύμα προς τα αριστερά και οι εξισώσεις του

  

Κατά μήκος ενός γραμμικού ελαστικού μέσου και προς την αρνητική κατεύθυνση (προς τα αριστερά στο σχήμα) διαδίδεται, χωρίς απώλειες, ένα αρμονικό κύμα (Ι), με μήκος κύματος λ=2m και τη στιγμή t0=0, φτάνει στο σημείο Ο στη θέση x=0, όπως στο πάνω σχήμα. Εξαιτίας του κύματος αυτού, το σημείο Ο αρχίζει να ταλαντώνεται με εξίσωση y=0,2∙ημ(πt)  (S.Ι.).

i)   Να αποδείξετε ότι η εξίσωση του κύματος (Ι) έχει τη μορφή:

ii) Να σχεδιάσετε ένα στιγμιότυπο του κύματος τη χρονική στιγμή t1=1,5s και στην περιοχή x ≤ 2m.

iii) Ένα πανομοιότυπο κύμα (ΙΙ), διαδίδεται επίσης κατά μήκος του ίδιου ελαστικού μέσου, όπως στο κάτω σχήμα, αλλά τη στιγμή t0=0, φτάνει στη θέση Β με xΒ=1m.

α) Να βρείτε την εξίσωση του κύματος (ΙΙ).

β) Να σχεδιάσετε ένα στιγμιότυπο του κύματος αυτού, τη στιγμή t1=1,5s και στην περιοχή x ≤ 3m. Πάνω στο σχήμα να σημειώσετε τις θέσεις δύο σημείων Γ και Δ, όπου τη στιγμή αυτή έχουν ταχύτητες προς την αρνητική κατεύθυνση με μέγιστο μέτρο.

γ) Να κάνετε στους ίδιους άξονες y-t, τις γραφικές παραστάσεις της απομάκρυνσης σε συνάρτηση με το χρόνο, y=f(t), για τα σημεία Β, Γ και Δ.

Απάντηση:

ή

Ένα κύμα προς τα αριστερά και οι εξισώσεις του

Ένα κύμα προς τα αριστερά και οι εξισώσεις του

Ένα κύμα προς τα αριστερά και οι εξισώσεις του

Κύματα προς τα δεξιά και προς τα αριστερά

 

1)  Κατά μήκος ενός γραμμικού ελαστικού μέσου διαδίδεται ένα εγκάρσιο αρμονικό κύμα και βγάζοντας μια φωτογραφία μιας ορισμένης περιοχής τη στιγμή t=0, πήραμε την διπλανή εικόνα. Στο σχήμα βλέπετε και τη θέση ενός υλικού σημείου Σ.

i)  Αν το κύμα διαδίδεται προς τα δεξιά, ποιο από τα παρακάτω σχήματα δίνει την μορφή του μέσου και την θέση του υλικού σημείου Σ, τη χρονική στιγμή t1= ¼ Τ, όπου Τ η περίοδος ταλάντωσης των σημείων του μέσου;

ii)  Αν το κύμα  διαδίδεται προς τα αριστερά, ποια η απάντηση στην προηγούμενη ερώτηση;

2) Δίνεται το παρακάτω στιγμιότυπο ενός εγκάρσιου αρμονικού κύματος, τη στιγμή t0=0 και  ένα υλικό σημείο του μέσου Ρ.

i)  Αν το κύμα διαδίδεται προς τα δεξιά, τότε τη στιγμή t1= Τ/3:

α) Η ταχύτητα του σημείου Ρ, είναι θετική αρνητική ή μηδέν;

β) Η επιτάχυνση του σημείου Ρ  είναι θετική, αρνητική ή μηδέν;

ii)  Ποιες οι αντίστοιχες απαντήσεις στα παραπάνω υποερωτήματα αν το κύμα διαδίδεται προς τα αριστερά;

Να δικαιολογήσετε τις απαντήσεις σας.

Απαντήσεις:

ή

Κύματα προς τα δεξιά και προς τα αριστερά

Κύματα προς τα δεξιά και προς τα αριστερά

Κύματα προς τα δεξιά και προς τα αριστερά

Το κύμα καθυστέρησε να φτάσει.

 

Κατά μήκος ενός γραμμικού ελαστικού μέσου και προς την θετική κατεύθυνση, διαδίδεται ένα αρμονικό κύμα πλάτους Α=0,2m, μήκους κύματος λ=0,8m, με ταχύτητα υ=0,4m/s και τη στιγμή t1=1s φτάνει στο σημείο Ο, στη θέση x=0. Εξαιτίας του κύματος αυτού το σημείο Ο αρχίζει να κινείται προς τα πάνω (θετική κατεύθυνση).

i)   Να γραφεί η εξίσωση της απομάκρυνσης του σημείου Ο σε συνάρτηση με το χρόνο, για την ταλάντωση που θα πραγματοποιήσει.

ii) Να γίνουν οι γραφικές παραστάσεις σε συνάρτηση με το χρόνο και στο διάστημα 0 ≤ t ≤ 3,5s:

α)  της φάσης της απομάκρυνσης του Ο,

β) της απομάκρυνσης του σημείου Ο.

iii) Να βρεθεί η εξίσωση του κύματος.

iv) Αφού βρείτε τη συνάρτηση y=f(x) για τα διάφορα σημεία του ελαστικού μέσου τη στιγμή t2=3,5s, να κάνετε την γραφική της παράσταση, για την θετική περιοχή του άξονα x, τη στιγμή αυτή.

Απάντηση:

ή

Το κύμα καθυστέρησε να φτάσει.

Το κύμα καθυστέρησε να φτάσει.

Το κύμα καθυστέρησε να φτάσει.

Εξισώσεις πάνω σε ένα κύμα

 

Ένα αρμονικό κύμα διαδίδεται χωρίς απώλειες κατά μήκος ενός γραμμικού ελαστικού μέσου και τη στιγμή t0=0 φτάνει στην αρχή του άξονα Ο. Το σημείο Ο φτάνει σε θέση πλάτους, για πρώτη φορά, με απομάκρυνση y=+0,2m τη στιγμή t1=0,25s, ενώ τη στιγμή αυτή, το κύμα φτάνει σε σημείο Β στη θέση x1=0,5m.

i)  Να υπολογιστούν η περίοδος, το πλάτος και το μήκος του κύματος, καθώς και η ταχύτητα του κύματος.

ii) Να γραφεί η εξίσωση του κύματος.

iii) Να υπολογιστούν η ταχύτητα και η επιτάχυνση του σημείου Β τη χρονική στιγμή t2=2,75s.

iv) Να παρασταθεί γραφικά η ταχύτητα του σημείου Β, σε συνάρτηση με το χρόνο από 0-t2.

v) Να δοθεί το στιγμιότυπο του κύματος  για μια περιοχή του μέσου με  0 ≤ x ≤ 4m, τη στιγμή t2.

Απάντηση:

ή

Εξισώσεις πάνω σε ένα κύμα

Εξισώσεις πάνω σε ένα κύμα

Εξισώσεις πάνω σε ένα κύμα

Μια μόνο στιγμή σε μια εξαναγκασμένη ταλάντωση

 

Ένα σώμα μάζας 2kg ταλαντώνεται στο άκρο οριζόντιου ιδανικού ελατηρίου, σταθεράς k=100Ν/m, σε λείο οριζόντιο επίπεδο με εξίσωση απομάκρυνσης x=0,5∙ημ(4t)  (μονάδες στο S.Ι.) με την επίδραση μιας περιοδικής δύναμης F, ενώ δέχεται και δύναμη απόσβεσης της μορφής Fα=-0,5υ (S.Ι.).  Σε μια στιγμή t1, το σώμα έχει ταχύτητα υ1=-1,2m/s, με την προς τα δεξιά κατεύθυνση θετική. Για τη στιγμή αυτή t1, ζητούνται:

i)  Η απομάκρυνση και η επιτάχυνση του σώματος.

ii)  Οι (αλγεβρικές) τιμές των οριζοντίων δυνάμεων που ασκούνται σώμα (δεν μας απασχολούν για την κίνηση αυτή, βάρος και κάθετη αντίδραση του επιπέδου).

iii) Οι ρυθμοί μεταβολής κινητικής και δυναμικής ενέργειας του σώματος.

iv) Η ισχύς κάθε δύναμης που ασκείται στο σώμα.

Απάντηση:

ή

Μια μόνο στιγμή σε μια εξαναγκασμένη ταλάντωση

Μια μόνο στιγμή σε μια εξαναγκασμένη ταλάντωση

Μια μόνο στιγμή σε μια εξαναγκασμένη ταλάντωση

Δυο σώματα στο άκρο νήματος ταλαντώνονται.

 

Δύο σώματα Α και Β με μάζες m1=1kg και m2=3kg ηρεμούν σε λείο οριζόντιο επίπεδο, δεμένα στο άκρο μη εκτατού νήματος μήκους l1, ενώ το σώμα Α είναι δεμένο και στο άκρο ιδανικού ελατηρίου σταθεράς k=40Ν/m. Ασκώντας κατάλληλη οριζόντια δύναμη στο σώμα Β, επιμηκύνουμε το ελατήριο κατά d=(2/π) m, όπως στο δεύτερο σχήμα και τη στιγμή t=0 το αφήνουμε να κινηθεί, οπότε το σύστημα των  δύο σωμάτων, κινούμενο σαν ένα σώμα, εκτελεί αατ με σταθερά επαναφοράς D=k.

i)  Να υπολογιστεί το αρχικό μέτρο της τάσης  του νήματος, μόλις αφεθεί το σώμα Β να κινηθεί.

ii) Να βρεθεί η τάση του νήματος και η ταχύτητα των δύο σωμάτων τη χρονική στιγμή t1=0,5s.

iii) Αν τα δύο σώματα συγκρούονται κεντρικά και ελαστικά τη χρονική στιγμή t2=0,75s, να βρεθούν:

α)  το μήκος του νήματος που συνδέει τα δύο σώματα.

β) Οι ταχύτητες των δύο σωμάτων, αμέσως μετά την κρούση.

Δίνεται (1/π)=0,3 και π2=10.

Απάντηση:

ή

Δυο σώματα στο άκρο νήματος ταλαντώνονται.

Δυο σώματα στο άκρο νήματος ταλαντώνονται.

Μια Κρούση και δύο Ταλαντώσεις

 

Ένα σώμα Σ μάζας Μ=1kg ηρεμεί στο κάτω άκρο ενός ιδανικού κατακόρυφου ελατηρίου, το οποίο έχει επιμηκύνει κατά 0,1m, όπως στο πρώτο σχήμα. Μετακινούμε το σώμα κατακόρυφα προς τα πάνω, μέχρι να προκαλέσουμε συσπείρωση (από το φυσικό μήκος του) του ελατηρίου κατά 0,3m και τη στιγμή t=0, το αφήνουμε να εκτελέσει αατ με D=k.

Θεωρούμε την προς τα πάνω κατεύθυνση ως θετική και την επιτάχυνση της βαρύτητας g=10m/s2:

i)  Να υπολογισθεί η αρχική επιτάχυνση του σώματος Σ, μόλις αφεθεί να ταλαντωθεί.

ii) Να βρεθούν οι εξισώσεις της απομάκρυνσης  y=y(t) και της ταχύτητας υ=υ(t) του σώματος σε συνάρτηση με το χρόνο.

iii) Πόση είναι η μέγιστη επιμήκυνση του ελατηρίου και ποια χρονική στιγμή t1 η επιμήκυνση γίνεται μέγιστη  για πρώτη φορά;

iv)Τη χρονική στιγμή t2=(13π/60)s    το σώμα Σ συγκρούεται κεντρικά και ελαστικά με μια σφαίρα μάζας m=0,4kg η οποία κινείται κατακόρυφα προς τα πάνω και η οποία ελάχιστα πριν την κρούση έχει ταχύτητα υ2=1,5m/s.

α) Να βρεθεί η εξίσωση y΄=y΄(t) για την απομάκρυνση του σώματος Σ από την θέση ισορροπίας του για την νέα ταλάντωση που θα ακολουθήσει, σε συνάρτηση με το χρόνο.

β) Ποια η μεταβολή της ορμής της σφαίρας, η οποία οφείλεται στην κρούση.

Απάντηση:

ή

Μια Κρούση και δύο Ταλαντώσεις

Μια Κρούση και δύο Ταλαντώσεις

Μια Κρούση και δύο Ταλαντώσεις

  

Δύο σώματα Α και Β με μάζες m1=1kg και m2=4kg αντίστοιχα, τα οποία θεωρούμε υλικά σημεία αμελητέων διαστάσεων, ηρεμούν σε λείο οριζόντιο επίπεδο, δεμένα στα άκρα δύο όμοιων ιδανικών ελατηρίων, όπως στο σχήμα, όπου το φυσικό μήκος κάθε ελατηρίου είναι 1m, ενώ το μήκος του νήματος που συνδέει τα δύο σώματα είναι z=0,4m. Σε μια στιγμή t=0 κόβουμε το νήμα που συνδέει τα δύο σώματα, οπότε κάθε σώμα εκτελεί μια αατ και στο διπλανό διάγραμμα δίνεται η απομάκρυνση του σώματος Α, από την θέση ισορροπίας  του, σε συνάρτηση με το χρόνο.

i)  Να υπολογιστεί η σταθερά των ελατηρίων, καθώς και η τάση του νήματος, πριν κοπεί το νήμα.

ii) Να κάνετε το αντίστοιχο διάγραμμα x2=f(t) της απομάκρυνσης του σώματος Β, από την δική του θέση ισορροπίας, σε συνάρτηση με το χρόνο.

iii) Να υπολογιστεί η απόσταση μεταξύ των δύο σωμάτων, τη στιγμή που το αριστερό ελατήριο έχει το ελάχιστο μήκος του, για πρώτη φορά.

iv) Παίρνουμε έναν  οριζόντιο προσανατολισμένο άξονα x΄x με αρχή το σημείο Ο του σχήματος (το σημείο πρόσδεσης του αριστερού ελατηρίου). Να βρεθεί η θέση x΄=f(t) κάθε σώματος, στον άξονα αυτό, σε συνάρτηση με το χρόνο και να γίνουν, σε κοινούς άξονες, οι γραφικές παραστάσεις των δύο θέσεων.

Απάντηση:

ή

Ας μελετήσουμε τις ταλαντώσεις δύο σωμάτων

Ας μελετήσουμε τις ταλαντώσεις δύο σωμάτων

Ας μελετήσουμε τις ταλαντώσεις δύο σωμάτων

Οι επιταχύνσεις με ή χωρίς ολίσθηση.

 

Ένα σώμα Σ1 ηρεμεί σε λείο οριζόντιο επίπεδο δεμένο στο άκρο ιδανικού ελατηρίου σταθεράς k, με  φυσικό μήκος l0. Εκτρέπουμε το σώμα προς τα δεξιά κατά d και αφήνοντάς το να κινηθεί, παρατηρούμε ότι η μέγιστη επιτάχυνση που αποκτά, έχει μέτρο α0.

i)   Επαναλαμβάνουμε την ίδια διαδικασία, αλλά τώρα τοποθετούμε πάνω στο σώμα Σ1, ένα δεύτερο σώμα Σ2, όπως στο μεσαίο σχήμα και παρατηρούμε ότι για την ίδια αρχική απομάκρυνση d, οριακά δεν υπάρχει ολίσθηση και τα δυο σώματα κινούνται μαζί. Η μέγιστη επιτάχυνση που αποκτά τώρα το σώμα Σ1 έχει μέτρο:

α) α1 < α0,     β) α1 = α0,    γ) α1 > α0.

ii) Αυξάνουμε την αρχική απομάκρυνση σε d1= 4d/3 και αφήνουμε το σύστημα των σωμάτων να κινηθεί. Αν ο συντελεστής οριακής στατικής τριβής μεταξύ των δύο σωμάτων είναι ίσος με τον συντελεστή τριβής ολίσθησης, ενώ m1=2m2, τότε:

a) Η αρχική επιτάχυνση του σώματος Σ2 έχει μέτρο:

α) α2 < α0,  β) α2 = α0,    γ) α2  > α0.

b)  Η αρχική επιτάχυνση που αποκτά το σώμα Σ1 έχει μέτρο:

α) α΄1 < α0,   β) α΄1  = α0,    γ) α΄1  > α0.

iii) Να εξηγήσετε γιατί στην τελευταία περίπτωση, τελικά το σύστημα θα εκτελέσει μια ΑΑΤ με ενέργεια ταλάντωσης μικρότερη από 

Απάντηση:

ή

Οι επιταχύνσεις με ή χωρίς ολίσθηση.

Οι επιταχύνσεις με ή χωρίς ολίσθηση.

Δύο σώματα και ένα σύστημα ταλαντώνονται

  

Τα δύο σώματα Σ1 και Σ2 με μάζες m1=1kg και m2=3kg αντίστοιχα, ηρεμούν σε λείο οριζόντιο επίπεδο, δεμένα στα άκρα δύο ιδανικών οριζοντίων ελατηρίων με σταθερές k1=150Ν/m και k2=250Ν/m, ενώ συνδέονται με αβαρές μη ελαστικό νήμα, όπως στο σχήμα. Στη θέση αυτή το ελατήριο σταθεράς k1  έχει επιμήκυνση Δl1=0,4m.

i)  Να υπολογισθεί η τάση  του νήματος που συνδέει τα δύο σώματα, καθώς και η παραμόρφωση του δεύτερου ελατηρίου σταθεράς k2.

ii) Εκτρέπουμε το σύστημα προς τα δεξιά κατά d=0,2m και το αφήνουμε να κινηθεί, τη χρονική στιγμή t=0. Θεωρώντας ότι τα δυο σώματα κινούνται μαζί, σαν ήταν ένα σώμα Σ μάζας Μ=4kg, να αποδείξετε ότι το σώμα Σ θα εκτελέσει αατ, για την οποία να βρείτε πλάτος και περίοδο ταλάντωσης.

iii) Θεωρώντας την προς τα δεξιά κατεύθυνση ως θετική, να δώσετε τις εξισώσεις της απομάκρυνσης και της ταχύτητας σε συνάρτηση με το χρόνο, για το σώμα Σ.

iv) Να βρεθεί η αλγεβρική τιμή της δύναμης Τ1 που το νήμα ασκεί στο σώμα Σ1 σε συνάρτηση με την απομάκρυνση του σώματος Σ1 από την θέση ισορροπίας του και σε συνάρτηση με το χρόνο. Στη συνέχεια να παρασταθούν γραφικά οι παραπάνω δύο συναρτήσεις.

Απάντηση:

ή

Δύο σώματα και ένα σύστημα ταλαντώνονται

Δύο σώματα και ένα σύστημα ταλαντώνονται