Έχουμε διάδοση ενέργειας;

Κατά μήκος ενός γραμμικού ελαστικού μέσου κινούνται αντίθετα δύο όμοια κύματα, πλάτους Α, με ταχύτητες 1m/s και σε μια στιγμή t=0 έχουμε την εικόνα του παραπάνω σχήματος.

Α) Αν (ΑΜ)=(ΜΟ)=(ΟΝ)=(ΝΒ) να  εξετάσετε την ορθότητα των παρακάτω προτάσεων.

i)   Τη στιγμή t₁=1s η απομάκρυνση του σημείου Μ είναι ίση με Α.

ii)  Τη στιγμή t₂=1,5s η απομάκρυνση του σημείου Ο, είναι ίση με 2 Α.

iii) Μετά τη στιγμή t₂=1,5s το σημείο Ν παραμένει διαρκώς ακίνητο.

iv) Το κύμα που κινείται προς τα αριστερά μεταφέρει με σταθερό ρυθμό ενέργεια στο τμήμα ΟΝ του μέσου.

Β) Να σχεδιάστε τη μορφή του μέσου τη χρονική στιγμή t₃=2s. Πάνω στο σχήμα να σχεδιάστε τις ταχύτητες των σημείων του μέσου μεταξύ των θέσεων Α και Β.

Απάντηση:

ή

Έχουμε διάδοση ενέργειας;

Ένα normal!!! κύμα…

Κατά μήκος γραμμικού ομογενούς ελαστικού μέσου, το οποίο εκτείνεται στη διεύθυνση του άξονα x, διαδίδεται εγκάρσιο αρμονικό κύμα κατά τη θετική κατεύθυνση. Θεωρούμε αρχή του άξονα το σημείο Ο του ελαστικού μέσου το οποίο τη χρονική στιγμή t = 0 αρχίζει να εκτελεί αμείωτη αρμονική ταλάντωση με θετική ταχύτητα. Το πλάτος της ταλάντωσης είναι 0,1m, ενώ η μέγιστη επιτάχυνση των μορίων του μέσου είναι  0,25m/s². Ένα σημείο B του ελαστικού μέσου που βρίσκεται  στη θέση x = 0,3 m τη χρονική στιγμή t = 8 s βρίσκεται για 2η φορά στη μέγιστη θετική απομάκρυνση.

Να βρεθούν:

i)  Το μήκος κύματος και την ταχύτητα διάδοσης του κύματος.

ii)  Την εξίσωση του κύματος.

iii)  Την ταχύτητα ταλάντωσης του σημείου B τη χρονική στιγμή t₁ = 11/3 s.

iv)  Για πόσο χρόνο ταλαντώνεται μέχρι τη στιγμή t=8s, ένα σημείο Γ του θετικού ημιάξονα, που έχει απομάκρυνση από τη θέση ισορροπίας του -5 cm και ταχύτητα θετική για πρώτη φορά.

v)  Να παρασταθεί γραφικά η φάση του σημείου Δ για το χρονικό διάστημα 0 έως 12 s, αν γνωρίζουμε ότι το σημείο Δ έχει μικρότερη φάση από το σημείο Β κατά π/2 rad τη χρονική στιγμή t.

Δίνεται π²≈10.

Απάντηση:

ή

Ένα normal!!! κύμα…

Ταλάντωση ενός σημείου κατά την διάδοση κύματος.

.Στην άκρη Ο μιας ομογενούς χορδής βρίσκεται πηγή κύματος η οποία ταλαντώνεται σύμφωνα με την εξίσωση y= 0,1 ημ(4πt)  (μονάδες στο S.I.). Το εγκάρσιο κύμα που παράγεται διαδίδεται με ταχύτητα 2m/s. Ένα σημείο Σ απέχει 1,25m από το άκρο Ο.

i)  Να βρεθεί η φάση της απομάκρυνσης της ταλάντωσης που πραγματοποιεί το σημείο Σ, καθώς  και η ταχύτητά του τις χρονικές στιγμές:

   α) t₁=0,5s και  β) t₂= 1,5s

ii)  Βρείτε την κινητική ενέργεια και τη συνισταμένη δύναμη που ασκείται σε μια στοιχειώδη μάζα της χορδής 10^-6kg, η οποία βρίσκεται στο Σ τη χρονική στιγμή t₃=2s.

Απάντηση:

ή

Ταλάντωση ενός σημείου κατά την διάδοση κύματος.

Ένα κύμα οδεύει προς τ’ αριστερά.

Κατά μήκος ενός γραμμικού ελαστικού μέσου και από δεξιά προς τα αριστερά διαδίδεται ένα κύμα με ταχύτητα υ=2m/s. Το κύμα για t=0 φτάνει στο σημείο Ρ, στη θέση x_Ρ=2m, το οποίο ξεκινά την ταλάντωσή του κινούμενο προς την θετική κατεύθυνση (προς τα πάνω). Τη στιγμή t΄=0,375s το σημείο Ρ έχει μηδενική ταχύτητα, για δεύτερη φορά, ενώ έχει διανύσει απόσταση d=0,3m.

i)  Ποια η εξίσωση του κύματος;

ii) Να σχεδιάστε την μορφή του ελαστικού μέσου (στιγμιότυπο του κύματος), μέχρι τη θέση x₂=3m τη χρονική στιγμή t₂=1,5s.

Απάντηση:

ή

Ένα κύμα οδεύει προς τ’ αριστερά.

Και μια άλλη εξίσωση κύματος.

Ένα εγκάρσιο αρμονικό κύμα διαδίδεται κατά μήκος  ενός γραμμικού ελαστικού μέσου από αριστερά προς τα δεξιά, το οποίο περιγράφεται από τη μαθηματική εξίσωση:

y= 0,5∙ημ2π(t-x/2+7/4) με tϵR και  t ≥ 0,5x-1,25   μονάδες στο S.Ι.

i)   Να υπολογισθεί η ταχύτητα διάδοσης του κύματος.

ii)  Να βρεθεί  η φάση της απομάκρυνσης της ταλάντωσης του σημείου Ο, στη θέση x=0, σε συνάρτηση με το χρόνο και να γίνει η γραφική της παράσταση.

iii) Να βρεθεί η θέση μέχρι την οποία έχει διαδοθεί το κύμα στη στιγμή t₁=1s.

iv) Να γίνει η γραφική παράσταση της απομάκρυνσης ενός σημείου Μ, στη θέση x_Μ=1m, σε συνάρτηση με το χρόνο, μέχρι τη χρονική στιγμή t₂=3s.

v) Να σχεδιάστε το στιγμιότυπο του κύματος τη χρονική στιγμή t₁=1s.

Η κατεύθυνση προς τα δεξιά, αλλά και η απομάκρυνση προς τα πάνω, θεωρούνται θετικές.

Απάντηση:

ή

Και μια άλλη εξίσωση κύματος.

Αν δίνεται η εξίσωση ενός εγκάρσιου αρμονικού κύματος

Ένα εγκάρσιο αρμονικό κύμα διαδίδεται κατά μήκος  ενός γραμμικού ελαστικού μέσου από αριστερά προς τα δεξιά, το οποίο περιγράφεται από τη μαθηματική εξίσωση:

y= 0,2∙ημ2π(t-2,5x+4,5)  με tϵR και  t ≥ 2,5x-4,5   μονάδες στο S.Ι.

i)   Να υπολογισθεί η ταχύτητα διάδοσης του κύματος.

ii)  Να βρεθεί  η φάση της απομάκρυνσης της ταλάντωσης του σημείου Ο, στη θέση x=0, σε συνάρτηση με το χρόνο και να γίνει η γραφική της παράσταση.

iii) Να βρεθεί η θέση μέχρι την οποία έχει διαδοθεί το κύμα στη στιγμή t₁=1s.

iii) Να βρεθούν οι θέσεις των σημείων, τα οποία τη στιγμή t₂=0 έχουν μέγιστη κατά μέτρο ταχύτητα ταλάντωσης, στην περιοχή -0,5m ≤ x ≤ 0,5 m.

iv) Να σχεδιάστε το στιγμιότυπο του κύματος τη χρονική στιγμή t₁=1s.

Η κατεύθυνση προς τα δεξιά, αλλά και η απομάκρυνση προς τα πάνω, θεωρούνται θετικές.

Απάντηση:

ή

Αν δίνεται η εξίσωση ενός εγκάρσιου αρμονικού κύματος.

Ένα μονωμένο σύστημα και ολίγον από ΑΑΤ.

Σε λείο οριζόντιο επίπεδο (1) ηρεμούν δυο σώματα Σ₁ και Σ₂, με μάζες m₁=1kg και m₂=2kg αντίστοιχα, δεμένα στα άκρα ιδανικού ελατηρίου, σταθεράς k=50Ν/m και φυσικού μήκους ℓ₀=0,7m. Μετακινούμε το Σ₁, μέχρι το ελατήριο να αποκτήσει μήκος ℓ₁=0,3m και σε μια στιγμή αφήνουμε τα σώματα να κινηθούν. Στο σώμα Σ₂ έχει προσαρμοστεί ένα καρφάκι και μόλις περάσει στο οριζόντιο επίπεδο (2), όπου δεν είναι λείο, συγκρούεται με ένα ξύλινο σώμα Σ₃, μάζας m₃=4kg, το οποίο κινείται αντίθετα και το οποίο, τη στιγμή της κρούσης έχει ταχύτητα μέτρου υ₃=0,5m/s. Κατά τη διάρκεια της κρούσης το καρφάκι καρφώνεται στο ξύλο, οπότε δημιουργείται συσσωμάτωμα, το οποίο έχει μηδενική ταχύτητα, αμέσως μετά την κρούση.

Δίνονται οι συντελεστές τριβής μεταξύ του επιπέδου (2) και του συσσωματώματος μ=μ_s=0,2, τα σώματα θεωρούνται υλικά σημεία αμελητέων διαστάσεων και g=10m/s².

i)   Να υπολογιστούν τα μέτρα των ταχυτήτων των σωμάτων Σ₁ και Σ₂ ελάχιστα πριν την κρούση (να μην ληφθεί υπόψη η ανάπτυξη τριβής στο Σ₂ κατά την είσοδό του στο (2) επίπεδο).

ii)  Ποια η απόσταση των σωμάτων Σ₁-Σ₂ τη στιγμή της κρούσης;

iii)  Να υπολογιστεί η τριβή που θα ασκηθεί στο συσσωμάτωμα, αμέσως μετά την κρούση.

iii)  Να υπολογιστεί η ταχύτητα του Σ₁, τη στιγμή που θα αρχίσει η ολίσθηση του συσσωματώματος.

Απάντηση:

ή

Ένα μονωμένο σύστημα και ολίγον από ΑΑΤ.

Από ένα στιγμιότυπο φάσεις και εξισώσεις κύματος.

Κατά μήκος ενός γραμμικού ελαστικού μέσου διαδίδεται ένα αρμονικό κύμα, από τα αριστερά προς τα δεξιά, με συχνότητα 0,5 Ηz και στο σχήμα βλέπετε ένα στιγμιότυπο  του κύματος, κάποια στιγμή t₀. Δίνονται οι αποστάσεις (ΑΒ)=(ΒΓ)=(ΓΔ)=(ΔΕ)= d=1 m, ενώ η απόσταση μεταξύ των δύο ακραίων θέσεων της ταλάντωσης του σημείου Α είναι 0,4 m.

i) Να σχεδιάστε το στιγμιότυπο του κύματος μετά από χρονικό διάστημα 2,5 s.

ii) Να βρεθεί η φάση των σημείων Α, Β, Γ, Δ και Ε τη στιγμή t₀, καθώς και τη χρονική στιγμή t₀+2,5 s.

iii) Αν το παραπάνω στιγμιότυπο δείχνει την εικόνα του μέσου τη χρονική στιγμή t₀=0, ενώ για να γράψουμε την εξίσωση του κύματος, ορίζουμε ως αρχή του άξονα (x=0) το σημείο Α, να βρεθεί η εξίσωση του κύματος.

iv) Ποια θα ήταν αντίστοιχα η εξίσωση του κύματος, αν αλλάζαμε την αρχή του άξονα και παίρναμε x=0, το σημείο Γ;

Απάντηση:

ή

Από ένα στιγμιότυπο φάσεις και εξισώσεις κύματος.