Ταχύτητες σημείων σε δυο κύματα.

Κατά μήκος ενός γραμμικού ελαστικού μέσου το οποίο ταυτίζεται με τον άξονα x διαδίδονται αντίθετα δύο αρμονικά  κύματα α και β, του ίδιου πλάτους και σε μια στιγμή t₀=0 η μορφή του μέσου είναι όπως στο σχήμα:

Τη στιγμή αυτή (t₀=0) η ταχύτητα ταλάντωσης του σημείου στη θέση x=0, έχει μέτρο υ₀=2m/s.

i)  Η ταχύτητα ταλάντωσης του σημείου στη θέση x₄=4m, τη στιγμή t₀, είναι ίση με:

α) υ₄=-2m/s,    β) υ₄=+2m/s,  γ) υ₄=-4m/s,    δ) υ₄=+4m/s.

ii)  Τη χρονική στιγμή t₁ που το κύμα α φτάνει στη θέση x΄=3,5m, η ταχύτητα ταλάντωσης του σημείου Μ στη θέση  x_Μ=2,5m είναι ίση με:

α) υ_Μ=-2m/s,    β) υ_Μ=+2m/s,  γ) υ_Μ=-4m/s,    δ) υ_Μ=+4m/s.

Να δικαιολογήσετε τις απαντήσεις σας.

Απάντηση:

ή

	Ταχύτητες σημείων σε δυο κύματα.

Ενέργεια και επιτάχυνση σε μια σύνθετη ταλάντωση.

Ένα σώμα μάζας Μ κινείται ευθύγραμμα γύρω από μια θέση y=0 με εξίσωση κίνησης:

  y=Α∙ημ(ωt+2π/3)+Α∙ημ(ωt)  

i) Η μέγιστη κινητική ενέργεια του σώματος είναι ίση:

α) Κ= ¼ Μω²Α²,    β) Κ= ½ Μω²Α²,    γ) Κ=2Μω²Α²,    δ) Κ= 9/2∙Μω²Α².

ii) Τη χρονική στιγμή t₁=π/2ω, η επιτάχυνση του σώματος έχει τιμή:

α) α₁= - ¼ ω²Α,    β) α₁= ¼ ω²Α,  γ) α₁= - ½ ω²Α,   δ) α₁= ½ ω²Α.

Να δικαιολογήσετε τις απαντήσεις σας.

Υπενθυμίζεται ότι ημ(π-θ)=ημθ, συν(π-θ)=-συνθ, ημ30°=συν60°= ½ και συν30°=ημ60°=√3/2

Απάντηση:

ή

	Ενέργεια και επιτάχυνση σε μια σύνθετη ταλάντωση.

Η κινητική ενέργεια σε ένα σύστημα.

Τρεις …παρόμοιες ερωτήσεις.

1) Το άκρο Κ μιας ομογενούς ράβδου, μήκους ℓ=4R και μάζας M=3m, έχει καρφωθεί στο κέντρο ενός δίσκου, μάζας m και ακτίνας R, δημιουργώντας ένα στερεό s, το οποίο μπορεί να στρέφεται σε κατακόρυφο επίπεδο γύρω από οριζόντιο άξονα ο οποίος περνάει από το άκρο Ο της ράβδου. Αφήνουμε το στερεό να περιστραφεί από μια θέση που η ράβδος είναι οριζόντια και μετά από λίγο έχει αποκτήσει γωνιακή ταχύτητα ω. Για τη θέση αυτή:

i) Ποιες από τις παρακάτω σχέσεις που δίνουν κινητική ενέργεια είναι σωστές και ποιες λάθος:

α) Κ_ρ= ½ Mυ²_cm ,     β) Κ_ρ=  ½ Ι_1,Ο∙ω²,     γ) Κ_ρ= ½ Mυ²_cm + ½ Ι_1cm∙ω².

δ)  Κ_δ=½ mυ_Κ² ,     ε) Κ_δ= ½ mυ_Κ² + ½ Ι_2cm∙ω²,     στ) Κ_δ=  ½ Ι_2,Ο∙ω².

ii) Ο λόγος της κινητικής ενέργειας του δίσκου προς την κινητική ενέργεια του στερεού Κ_δ/Κ_s είναι ίσος με:

α) 16/35,   β) 27/55,   γ) 33/65.

Δίνονται οι ροπές αδράνειας των στερεών ως προς κάθετους άξονες που διέρχονται από τα κέντρα μάζας, για τη ράβδο Ι₁= mℓ²/12 και για το δίσκο Ι₂= ½ ΜR².

Συνέχεια:

ή

	Η κινητική ενέργεια σε ένα σύστημα.

Παίζοντας με ένα γιο-γιο, μετράμε ταχύτητες.

Γύρω από ένα μικρό ομογενή κύλινδρο έχουμε τυλίξει ένα μακρύ νήμα. Δένουμε το άκρο Α του νήματος στο δάκτυλό μας, το οποίο κινούμε κατακόρυφα, έχοντας αφήσει ελεύθερο τον κύλινδρο. Έτσι επιτυγχάνουμε ο κύλινδρος να κινείται κατακόρυφα, με τον άξονά του Ο οριζόντιο (έχουμε δημιουργήσει ένα μικρό γιο-γιο…).

i)  Κάποια στιγμή ο άξονας κινείται προς τα κάτω με ταχύτητα υ_ο, ενώ το σημείο Β, στο άκρο μιας οριζόντιας διαμέτρου, έχει κατακόρυφη ταχύτητα υ_Β=3υ_ο. Τη στιγμή αυτή το άκρο Α του νήματος:

α) κινείται προς τα κάτω με ταχύτητα μέτρου υ_Α=υ_ο.

β) παραμένει ακίνητο.

γ) κινείται προς τα πάνω με ταχύτητα μέτρου υ_Α=υ_ο.

ii)  Επαναλαμβάνουμε το παιχνίδι και κάποια στιγμή ο άξονας έχει ταχύτητα υ_ο, ενώ το σημείο Γ, στο άκρο μιας κατακόρυφης διαμέτρου έχει ταχύτητα μέτρου υ_Γ=1,2υ_ο, όπως στο δεύτερο σχήμα . Τη στιγμή αυτή το άκρο Α του νήματος:

α) κινείται προς τα κάτω.

β) παραμένει ακίνητο.

γ) κινείται προς τα πάνω

Απάντηση:

ή

	Παίζοντας με ένα γιο-γιο, μετράμε ταχύτητες.

Οι πιέσεις σε σημεία κατά την εκροή.

Στον πυθμένα μιας μεγάλης δεξαμενής νερού με βάθος Η, έχει προσαρμοστεί ένας κατακόρυφος λεπτός σωλήνας σταθερής διατομής και μήκους h, από τον οποίο εκρέει το νερό με σταθερή παροχή.

Θεωρώντας το νερό ιδανικό ασυμπίεστο υγρό:

i) Η ταχύτητα του νερού στο σημείο Β, στην αρχή του λεπτού σωλήνα, είναι ίση:

    α) υ=√(2gΗ),                     β)  υ=√(2gh),

    γ)  υ=√[2g(Η-h)],              δ)  υ=√[2g(Η+h)].

ii) Η σχέση που συνδέει την πίεση στο σημείο Α, της ελεύθερης επιφάνειας του νερού και την πίεση στο σημείο Β, είναι:

  α) p_Α-p_Β=ρgΗ,           β) p_Β-p_Α=ρgΗ,   

  γ) p_Α-p_Β=ρgh,            δ) p_Β-p_Α=ρgh.

Να δικαιολογήσετε τις απαντήσεις σας.

Απάντηση:

ή

	Οι πιέσεις σε σημεία κατά την εκροή.

Λυγίζοντας τα γόνατα…

Δυο όμοιες λεπτές ομογενείς ράβδοι Α και Β, μάζας m και μήκους l, συνδέονται με τους δυο τρόπους που φαίνονται στο σχήμα σχηματίζοντας τα στερεά Σ₁ και Σ₂.

Τα δυο στερεά μπορούν να περιστρέφονται σε κατακόρυφο επίπεδο, γύρω από σταθερό οριζόντιο άξονα, ο οποίος περνά από το άκρο Ο της Α ράβδου. Εκτρέπουμε τα στερεά, ώστε η ράβδος Α να γίνει οριζόντια και τα αφήνουμε να περιστραφούν.

i)  Για τις ροπές αδράνειας  Ι₁ και Ι₂ των στερεών Σ₁ και Σ₂ αντίστοιχα, ισχύει:

α) Ι₁ < Ι₂,     β) Ι₁ = Ι₂,     γ) Ι₁ > Ι₂.

ii)  Για τα μέτρα των ροπών που δέχονται τα δύο στερεά, αμέσως μόλις αφεθούν ελεύθερα να περιστραφούν, ισχύει:

α) τ₁ < τ₂,     β)  τ₁ = τ₂,     γ) τ₁ > τ_2.

iii) Αν η ροπή αδράνειας της ράβδου Α ως προς κάθετο άξονα που περνά από το μέσον της, δίνεται από την εξίσωση Ι_cm=ml²/12, για τα αντίστοιχα μέτρα των αρχικών γωνιακών επιταχύνσεων των δύο στερεών, αμέσως μόλις αφεθούν ελεύθερα να περιστραφούν, ισχύει:

α) α_γων1 < α_γων2,    β) α_γων1 = α_γων2,    γ) α_γων1 > α_γων2.

Απάντηση:

ή

	Λυγίζοντας τα γόνατα…

Μεταβολή Ορμής και Κινητικής ενέργειας.

Σε λείο οριζόντιο επίπεδο κινούνται μεταφορικά, χωρίς τριβές, δύο μικρές σφαίρες Α και Β με μάζες m και 3m και  κινητικές ενέργειες Κ_Α=4Κ και Κ_Β=3Κ αντίστοιχα. Η κρούση των δύο σφαιρών είναι κεντρική και ελαστική.

i)  Η μεταβολή της κινητικής ενέργειας της Α σφαίρας που οφείλεται στην κρούση είναι ίση:

α) ΔΚ_Α=(7/4)Κ,   β) ΔΚ_Α=(9/4)Κ,   γ) ΔΚ_Α=(11/4)Κ,   δ) ΔΚ_Α=(21/4)Κ.

ii)  Θεωρώντας την προς τα δεξιά κατεύθυνση θετική, η αντίστοιχη μεταβολή της ορμής της Α σφαίρας, έχει τιμή:

α) ΔΡ_Α=-2,5√(2mK),  β) ΔΡ_Α=-4,5√(2mK),    γ) ΔΡ_Α=-5,5√(2mK),  δ) ΔΡ_Α=-7√(2mK)

Να δικαιολογήσετε τις απαντήσεις σας.

Απάντηση:
η

	Μεταβολή Ορμής και Κινητικής ενέργειας.

Ο κύλινδρος, η ισορροπία και η επιτάχυνσή του.

Στο διπλανό σχήμα βλέπετε μια ομογενή δοκό ΒΓ, μήκους ℓ και βάρους w, η οποία μπορεί να στρέφεται χωρίς τριβές γύρω από οριζόντιο άξονα που περνά από το σημείο Ο, όπου (ΒΟ)=ℓ/3. Η δοκός ισορροπεί οριζόντια, ενώ στο άκρο της Β κρέμεται, με τη βοήθεια αβαρούς νήματος, ένας κύλινδρος βάρους επίσης w, με τις βάσεις του οριζόντιες, ο οποίος είναι βυθισμένος σε μια λεκάνη με νερό, κατά y=0,2m.

i) Να υπολογίσετε τη δύναμη που ασκεί το νερό στον κύλινδρο, καθώς και την τάση Τ του νήματος που συγκρατεί τον κύλινδρο.

ii) Συγκρατώντας τη δοκό σε οριζόντια θέση, απομακρύνουμε τη λεκάνη με το νερό και σε μια στιγμή αφήνουμε ελεύθερο το σύστημα να κινηθεί. Να βρεθεί η αρχική επιτάχυνση του κυλίνδρου.

iii) Παίρνουμε τον κύλινδρο αυτόν, τυλίγουμε γύρω του ένα αβαρές νήμα και τον τοποθετούμε σε λείο κεκλιμένο επίπεδο κλίσεως θ=30^ο. Ασκούμε στο άκρο Α του νήματος δύναμη παράλληλη στο επίπεδο με μέτρο ίσο με την τάση του νήματος στο i) ερώτημα και αφήνουμε ελεύθερο τον κύλινδρο να κινηθεί.

α) Να υπολογιστεί η επιτάχυνση του σημείου εφαρμογής της δύναμης Α.

β) Να βρεθεί η στροφορμή του κυλίνδρου ως προς τον άξονα περιστροφής του, τη στιγμή που έχει ξετυλιχθεί νήμα μήκους 0,8m.

Δίνονται: Η ροπή αδράνειας μιας δοκού ως προς κάθετο άξονα που περνά από το μέσον της Ι_δ=mℓ²/12, η αντίστοιχη του κυλίνδρου ως τον άξονά του Ι_κ= ½ mR², οι βάσεις του κυλίνδρου έχουν εμβαδόν Α₁=0,05m², η πυκνότητα του νερού ρ=1.000kg/m³ και η επιτάχυνση της βαρύτητας g=10m/s². Η δράση της ατμοσφαιρικής πίεσης  δεν λαμβάνεται υπόψη.

Απάντηση:

ή

	Ο κύλινδρος, η ισορροπία και η επιτάχυνσή του.