Μια απλή ή μήπως σύνθετη κίνηση;

Μια ομογενής ράβδος μάζας 3kg και μήκους 0,6m, μπορεί να στρέφεται σε κατακόρυφο επίπεδο, γύρω από σταθερό οριζόντιο άξονα, ο οποίος περνά από το ένα της άκρο Ο, χωρίς τριβές. Η ράβδος φέρεται σε οριζόντια θέση και αφήνεται να κινηθεί.

Η κίνηση που θα πραγματοποιήσει θα είναι απλή ή σύνθετη;

Δυο μαθητές, ο Αντώνης (Α) και ο Βασίλης (Β), διαφωνούν και προσπαθώντας να διαπιστώσουν το σωστό και το λάθος, αναλαμβάνουν να απαντήσουν  στα ακόλουθα ερωτήματα, για τη στιγμή που η ράβδος βρίσκεται σε μια θέση, όπως στο σχήμα, σχηματίζοντας γωνία θ=30° με την οριζόντια θέση:

i)  Ποια η γωνιακή ταχύτητα της ράβδου;

ii) Ποια είναι η επιτάχυνση του κέντρου μάζας Κ (η κάθετη στη ράβδο) και ποια η γωνιακή επιτάχυνση της ράβδου;

iii) Πόση είναι η στροφορμή και ποιος ο ρυθμός μεταβολής της στροφορμής κατά (ως προς) τον οριζόντιο άξονα περιστροφής της στο Ο;

iv) Πόση είναι η στροφορμή και ποιος ο ρυθμός μεταβολής της στροφορμής κατά (ως προς) τον οριζόντιο άξονα ο οποίος περνά από το μέσον της K;

Δίνεται η ροπή αδράνειας της ράβδου ως προς κάθετο άξονα που περνά από το μέσον της Ι= Μl²/12 και g=10m/s².

Απαντήσεις.

ή

	Μια απλή ή μήπως σύνθετη κίνηση;

Η ράβδος και η σημειακή μάζα.

Μια ομογενής ράβδος μήκους ℓ=1,5m και μάζας m=3kg μπορεί να στρέφεται σε κατακόρυφο επίπεδο, γύρω από σταθερό οριζόντιο άξονα ο οποίος περνά από το άκρο της Ο. Στο άλλο άκρο της ράβδου δένουμε ένα σώμα Σ, της ίδιας μάζας m με τη ράβδο και αμελητέων διαστάσεων (υλικό σημείο), οπότε έτσι δημιουργούμε ένα στερεό s. Φέρνουμε το στερεό στη θέση (1) ώστε η ράβδος να είναι οριζόντια και το αφήνουμε να κινηθεί.

i) Να υπολογίσετε τη ροπή αδράνειας του στερεού s, ως προς τον άξονα περιστροφής του.

ii) Να βρεθεί η αρχική γωνιακή επιτάχυνση του στερεού, καθώς και η δύναμη F που ασκείται στο σώμα Σ από τη ράβδο, αμέσως μόλις αφεθεί το σύστημα ελεύθερο να κινηθεί.

iii) Μετά από λίγο, η ράβδος σχηματίζει με την οριζόντια διεύθυνση γωνία θ, όπου ημθ=0,6, ευρισκόμενη στη θέση (2). Για τη θέση αυτή ζητούνται:

α) Η κινητική ενέργεια του στερεού s.

β) Η στροφορμή και ο ρυθμός μεταβολής του σώματος Σ, κατά (ως προς) τον άξονα περιστροφής στο Ο.

γ) Ο ρυθμός μεταβολής της κινητικής ενέργειας του στερεού s.

iv) Να υπολογιστεί το έργο της δύναμης F (που ασκεί η σανίδα στο σώμα Σ), από την θέση (1) μέχρι τη θέση (2).

Δίνεται η ροπή αδράνειας της ράβδου ως προς τον άξονα περιστροφής της στο Ο, Ι₁= 1/3 mℓ² και g=10m/s².

Απάντηση:

 ή

	Η ράβδος και η σημειακή μάζα.

Η φάση και η αρχική φάση της απομάκρυνσης σε μια ΑΑΤ.

Στο διάγραμμα δίνεται η γραφική παράσταση της φάσης της απομάκρυνσης σε συνάρτηση με το χρόνο, ενός σώματος που εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση.

i)  Πόση είναι η αρχική φάση και ποιος ο ρυθμός μεταβολής της φάσης της απομάκρυνσης;

ii) Να βρεθεί η περίοδος ταλάντωσης του σώματος.

iii) Να υπολογιστεί η μεταβολή της φάσης της ταχύτητας σε χρονικό  διάστημα Δt=6s.

iv) Αν κάποια στιγμή t₁ το σώμα έχει ταχύτητα υ₁=2m/s, να βρεθεί η ταχύτητά του τη στιγμή t₂=t₁+10s.

Δίνεται ότι για την απομάκρυνση ισχύει η γνωστή εξίσωση του σχολικού βιβλίου.

Απάντηση:

ή

	Η φάση και η αρχική φάση της απομάκρυνσης σε μια ΑΑΤ.

Επιλέγοντας διαγράμματα.

i) Στο πρώτο από τα παρακάτω σχήματα, δίνεται η γραφική παράσταση της απομάκρυνσης ενός σώματος που εκτελεί ΑΑΤ, σε συνάρτηση με το χρόνο.

Ποιες από τις επόμενες  γραφικές παραστάσεις (για την κινητική και δυναμική ενέργεια ταλάντωσης) είναι σωστές και ποιες λανθασμένες.

Να δικαιολογήσετε αναλυτικά τις επιλογές σας (θετικές και αρνητικές).

ii)  Αν το σώμα ξεκινά τη στιγμή t=0 την ταλάντωσή του από τη θέση x=-Α, να κάνετε τις γραφικές παραστάσεις της δυναμικής και της κινητικής του ενέργειας, μέχρι να φτάσει στην θέση x=+Α, σε συνάρτηση με:

 α) την απομάκρυνση

 β) το χρόνο.

Απάντηση:

ή

	Επιλέγοντας διαγράμματα.

Διαγράμματα δυναμικής ενέργειας.

Ένα υλικό σημείο μάζας 1kg εκτελεί ΑΑΤ και στο πρώτο διάγραμμα δίνεται η δυναμική του ενέργεια σε συνάρτηση με το χρόνο.

i)   Να βρεθούν η περίοδος και το πλάτος ταλάντωσης.

ii)  Να γίνει η γραφική παράσταση x=x(t) της απομάκρυνσης του σώματος σε συνάρτηση με το χρόνο.

iii) Αν το διάγραμμα είχε τη μορφή του δεύτερου σχήματος, ποια μορφή θα είχε η γραφική παράσταση της απομάκρυνσης, αν τη στιγμή t=0, το σώμα κινείται προς την θετική κατεύθυνση;

iv) Τη στιγμή t=0, το σώμα κινείται προς την αρνητική κατεύθυνση, ενώ το αντίστοιχο διάγραμμα κινητικής ενέργειας,  έχει τη μορφή του τρίτου διαγράμματος. Να γίνει ξανά η γραφική παράσταση της απομάκρυνσης του σώματος από τη θέση ισορροπίας, σε συνάρτηση με το χρόνο.

Δίνεται π²≈10.

Απάντηση:

ή

	Διαγράμματα δυναμικής ενέργειας.

Οι δυναμικές ενέργειες μεταβάλλονται.

Ένα σώμα ηρεμεί στο κάτω άκρο ιδανικού ελατηρίου, έχοντας επιμηκύνει το ελατήριο κατά d. Εκτρέπουμε το σώμα κατακόρυφα προς τα κάτω επίσης κατά d και τη χρονική στιγμή t=0 το αφήνουμε ελεύθερο, οπότε εκτελεί ΑΑΤ. Τη στιγμή t₁=Τ/3, όπου Τ η περίοδος ταλάντωσης, το σώμα περνά από μια θέση Γ. Για τη θέση αυτή και θεωρώντας θετική την προς τα πάνω κατεύθυνση, να βρεθούν:

i)   Η απομάκρυνση του σώματος από τη θέση ισορροπίας του.

ii)  Ο ρυθμός μεταβολής της ταχύτητας του σώματος.

iii) Το ποσοστό της ενέργειας ταλάντωσης, το οποίο εμφανίζεται με τη μορφή της κινητικής ενέργειας του σώματος.

iv) Αν η κινητική ενέργεια του σώματος, στη θέση Γ, μειώνεται κατά 6J/s, να υπολογιστούν οι ρυθμοί μεταβολής:

α) της δυναμικής ενέργειας ταλάντωσης.

β) της δυναμικής ενέργειας του ελατηρίου.

Δίνεται η επιτάχυνση της βαρύτητας g.

Απάντηση:

ή

	Οι δυναμικές ενέργειες μεταβάλλονται.

Ταλαντώσεις και κρούσεις…

Το σώμα Α μάζας m=0,2kg ηρεμεί σε λείο οριζόντιο επίπεδο, δεμένο στο άκρο οριζόντιου ιδανικού ελατηρίου, σταθεράς k=20Ν/m, το άλλο άκρο του οποίου είναι δεμένο σε κατακόρυφο τοίχο. Το σώμα Α βρίσκεται σε επαφή με δεύτερο σώμα Β, μάζας Μ.

Εκτρέπουμε το σώμα Α προς τα αριστερά, συμπιέζοντας το ελατήριο κατά d=0,4m και το αφήνουμε να ταλαντωθεί, οπότε μετά από λίγο, συγκρούεται κεντρικά και ελαστικά με το σώμα Β.

i) Αν το σώμα Β έχει μάζα Μ=0,6kg, να υπολογιστούν:

α) Η ταχύτητα του σώματος Α πριν και μετά την κρούση.

β) Η απόσταση των δύο σωμάτων, τη στιγμή που θα μηδενιστεί για δεύτερη φορά (μετά την κρούση) η ταχύτητα του Α σώματος, καθώς και το διάστημα που θα έχει διανύσει μέχρι τη στιγμή αυτή, κάθε σώμα.

ii) Αν Μ=3kg, ζητούνται:

α) Η μεταβολή της ορμής και της κινητικής ενέργειας του σώματος Α, στη διάρκεια της κρούσης του με το σώμα Β.

β) Να αποδειχθεί ότι τα δυο σώματα θα συγκρουσθούν ξανά για δεύτερη φορά.

Απάντηση:

ή

	Ταλαντώσεις και κρούσεις…

Μια έκκεντρη κρούση δύο σφαιρών.

Δύο λείες, ομογενείς σφαίρες με μάζες m₁ =0,1kg, m₂=0,2kg και την ίδια ακτίνα R, κινούνται χωρίς να περιστρέφονται σε λείο οριζόντιο επίπεδο με παράλληλες ταχύτητες μέτρων υ₁=0,6m/s και υ₂=0,9m/s, όπως στο σχήμα, όπου η απόσταση των φορέων των ταχυτήτων είναι ίση με την ακτίνα των σφαιρών. Οι σφαίρες συγκρούονται ελαστικά.

i) Να βρεθούν οι ταχύτητες των δύο σφαιρών μετά την κρούση.

ii) Να υπολογιστεί η μεταβολή της ορμής της Α σφαίρας, που οφείλεται στην κρούση.

iii) Να υπολογιστεί το έργο της δύναμης F₁ που ασκήθηκε στη διάρκεια της κρούσης στην Α σφαίρα.

Απάντηση:

ή

	Μια έκκεντρη κρούση δύο σφαιρών.