Αντιστοιχίσεις και μοντέλα.

Έχουμε μια μεγάλη ανοικτή δεξαμενή, στην πλευρική πλευρά της οποίας υπάρχει ένα δωμάτιο το οποίο μπορεί να κλείνεται αεροστεγώς. Σε βάθος h=5m από την επιφάνεια της δεξαμενής υπάρχει μια μικρή οπή εμβαδού Α=2cm², η οποία κλείνεται με μια τάπα, η οποία μπορεί να κινείται χωρίς τριβές. Για την ισορροπία της τάπας και την μη εκροή νερού από την οπή, απαιτείται η άσκηση οριζόντιας δύναμης F, όπως στο σχήμα.

i) Να υπολογιστεί το μέτρο της δύναμης F, αν η πίεση στο δωμάτιο είναι ίση με την ατμοσφαιρική p_ατ=10⁵Ρα.

ii) Αυξάνουμε την πίεση στο εσωτερικό του δωματίου στην τιμή p₁=1,5∙10⁵Ν/m². Πόση οριζόντια δύναμη πρέπει να ασκούμε στην τάπα για την ισορροπία της;

iii) Ανοίγουμε το δωμάτιο οπότε η πίεση στο εσωτερικό του, γίνεται ίση με την ατμοσφαιρική. Αφαιρούμε την τάπα. Ποια η ταχύτητα εκροής, μόλις αποκατασταθεί μόνιμη ροή;

iv) Κλείνουμε ξανά την οπή, κλείνουμε και το δωμάτιο και αυξάνουμε την πίεση στο εσωτερικό του στην τιμή p₂=1,18∙10⁵Ρα. Στη συνέχεια αφαιρούμε την τάπα. Να βρεθεί η ταχύτητα εκροής του νερού από την οπή.

v) Ανοίγουμε το δωμάτιο και συνδέουμε ένα μικρό σωλήνα στην οπή, ο οποίος μεταφέρει νερό σε ένα μεγάλο δοχείο όπως  στο σχήμα. Να υπολογιστεί η ταχύτητα εκροής τη στιγμή που το νερό έχει ανέβει στο δοχείο σε ύψος y=1,8m.

Το νερό να θεωρηθεί ιδανικό ρευστό πυκνότητας ρ=1.000kg/m³, οι ροές μόνιμες, ενώ g=10m/s².

Απάντηση:

ή

Αντιστοιχίσεις και μοντέλα.

Αντιστοιχίσεις και μοντέλα.

Ξανά το γέμισμα δύο δοχείων

Από μια υπερυψωμένη δεξαμενή νερού, πρόκειται να γεμίσουμε δύο όμοια δοχεία (1) και (2), κυλινδρικού σχήματος και ύψους 2y. Για το γέμισμα χρησιμοποιούμε δυο όμοια λάστιχα-σωλήνες διατομής Α₁, τα οποία συνδέονται κοντά στον πυθμένα της δεξαμενής σε βάθος 4y, από την επιφάνειά της. Κατά τη διάρκεια του γεμίσματος του πρώτου δοχείου, προσέχουμε κάθε στιγμή το άκρο του σωλήνα-λάστιχου να έρχεται σε επαφή με την επιφάνεια του νερού, ενώ στο δεύτερο δοχείο ο σωλήνας καταλήγει στον πυθμένα του δοχείου. Για τις θέσεις του σχήματος, όπου το ύψος του νερού στα δοχεία είναι y:

i) Αν η ταχύτητα εκροής στο (1) δοχείο είναι υ₁ και η αντίστοιχη ταχύτητα στο (2) δοχείο υ₂, ισχύει:

α) υ₁ < υ₂,    β)  υ₁ = υ₂,   γ) υ₁ > υ₂.

ii) Αν το εμβαδόν της βάσης των δοχείων είναι Α, τότε για τις  δύο παροχές ισχύει:

α) Π₁=Α₁∙υ₁ και Π₂=Α∙υ₂.

β) Π₁=Α₁∙υ₁ και Π₂=Α₁∙υ₂.

γ) Π₁=Α∙υ₁ και Π₂=Α∙υ₂.

Το νερό να θεωρηθεί ιδανικό ρευστό, καθώς και οι ροές μόνιμες και στρωτές και στις δύο περιπτώσεις.

Απάντηση:

ή

 Ξανά το γέμισμα δύο δοχείων
 Ξανά το γέμισμα δύο δοχείων

Ένα αυτοκίνητο κινείται.

Ένα αυτοκίνητο κινείται ευθύγραμμα προς τα  δεξιά σε οριζόντιο δρόμο και στο σχήμα βλέπουμε τον ένα τροχό του.

i) Αν η ταχύτητα του σημείου Α, στο άκρο μιας οριζόντιας ακτίνας του, κατευθύνεται στο ψηλότερο σημείο Β του τροχού, τότε:

α) Ο τροχός κυλίεται (χωρίς να ολισθαίνει)

β) Ο τροχός ολισθαίνει.

ii) Το σημείο Γ μιας οριζόντιας ακτίνας του παραπάνω τροχού έχει επιτάχυνση, όπως στο διπλανό σχήμα. Τότε το αυτοκίνητο:

α) Κινείται ευθύγραμμα και ομαλά.

β) Επιταχύνεται.

γ) φρενάρει.

iii) Στη διάρκεια μιας άλλης κίνησης, υπάρχει κάποιο χρονικό διάστημα που το αυτοκίνητο επιταχύνεται αυξάνοντας την ταχύτητά του. Στη διάρκεια αυτή, το σημείο Δ μιας κατακόρυφης ακτίνας του τροχού, έχει επιτάχυνση η οποία κατευθύνεται στο κέντρο Ο του τροχού, όπως στο σχήμα. Ο τροχός του αυτοκινήτου:

α) Κυλίεται (χωρίς να ολισθαίνει)

β) Ολισθαίνει.

γ) σπινάρει.

Να δικαιολογήσετε τις απαντήσεις σας.

Για καλύτερη ευκρίνεια στα δύο τελευταία σχήματα, ο τροχός σχεδιάστηκε ως ένας δίσκος…

Απάντηση:

ή

Ένα αυτοκίνητο κινείται.

Ένα αυτοκίνητο κινείται.

Ένας δίσκος σε οριζόντιο επίπεδο

Ένας ομογενής οριζόντιος δίσκος ακτίνας R=0,8m κινείται σε οριζόντιο επίπεδο και σε μια στιγμή t₀=0, βρίσκεται στη θέση που φαίνεται στο διπλανό σχήμα. Τη στιγμή αυτή, το σημείο Α του δίσκου, το οποίο απέχει κατά x=0,5m από το κέντρο Ο του δίσκου, έχει μηδενική ταχύτητα, ενώ το συμμετρικό του, ως προς το Ο σημείο Β, έχει ταχύτητα μέτρου υ_Β=4m/s, στη διεύθυνση του άξονα y.

i)  Να βρεθούν η ταχύτητα του κέντρο Ο του δίσκου, καθώς και του σημείου Γ, στο άκρο της ακτίνας στη διεύθυνση x, τη στιγμή t₀.

ii) Αν το σημείο Δ του σχήματος, στο άκρο της ακτίνας στη διεύθυνση y, τη στιγμή αυτή έχει επιτάχυνση μέτρου 13 m/s², με κατεύθυνση προς το κέντρο Ο του δίσκου, ενώ την ίδια διεύθυνση έχει και η επιτάχυνση του κέντρου Ο  του δίσκου, να υπολογιστούν η επιτάχυνση του κέντρου μάζας Ο, καθώς και η γωνιακή επιτάχυνση του δίσκου.

iii) Αν ο δίσκος διατηρεί σταθερές τις επιταχύνσεις του προηγούμενου ερωτήματος, να υπολογιστούν τα μέτρα των ταχυτήτων των σημείων Α και Γ τη χρονική στιγμή t₁=10s, καθώς και ο αριθμός των περιστροφών του δίσκου, μέχρι τη στιγμή αυτή.

Απάντηση:

ή

  Ένας δίσκος σε οριζόντιο επίπεδο

Ένας δίσκος σε οριζόντιο επίπεδο

Από τη γωνία σε γωνιακή ταχύτητα-επιτάχυνση

Ένας δίσκος μπορεί να περιστρέφεται γύρω από κατακόρυφο άξονα z, κάθετο στο επίπεδό του, που περνά από το κέντρο του Ο, όπως στο σχήμα. Αναφερόμενοι σε μια ακτίνα ΟΑ, θέλοντας να προσδιορίσουμε τη θέση της, χρειαζόμαστε μια εξίσωση φ=f(t), της γωνιακής θέσης της ακτίνας σε συνάρτηση με το χρόνο. Να βρεθεί η γωνιακή ταχύτητα της ακτίνας (συνεπώς και του δίσκου) και η αντίστοιχη γωνιακή της επιτάχυνση, κάνοντας και τις αντίστοιχες γραφικές παραστάσεις ω=ω(t) και α_γων=α(t) στις παρακάτω περιπτώσεις:

i)  φ=2t  (S.Ι.),   ii)  φ= 4+3t  (S.Ι.),   iii) φ= 5-2t  (S.Ι.),   

iv) φ=2t² (S.Ι.),     v)  φ=4-t²  (S.Ι.),   vi) φ=0,2∙ημ(5t)   (S.Ι.)

Απάντηση:

ή

  Από τη γωνία σε γωνιακή ταχύτητα-επιτάχυνση

Από τη γωνία σε γωνιακή ταχύτητα-επιτάχυνση

Μια αντλία, γιατί βιαζόμαστε…

Με τη βοήθεια ενός σωλήνα σταθερής διατομής, γεμίζουμε ένα δοχείο Α με νερό όγκου 4L, από μια μεγάλη δεξαμενή, όπου το νερό εξέρχεται από βάθος h=0,2m, σε χρονικό διάστημα 10s.

i)  Ποια η ταχύτητα εκροής του νερού και πόσο το εμβαδόν της διατομής της φλέβας τη στιγμή της εξόδου, την οποία θεωρούμε ίση με τη διατομή του οριζόντιου σωλήνα;

ii) Προκειμένου να γεμίσουμε ένα μεγαλύτερο δοχείο Β  με νερό όγκου 40L, παρεμβάλουμε στον ίδιο σωλήνα, μια αντλία. Το αποτέλεσμα είναι το δοχείο Β να γεμίζει σε χρόνο 40s.

α) Να βρεθεί η νέα ταχύτητα εκροής του νερού.

β) Πόση είναι η ισχύς της αντλίας (ο ρυθμός με τον οποίο παρέχει ενέργεια στο νερό η αντλία);

Το νερό να θεωρηθεί ιδανικό ρευστό πυκνότητας ρ=1.000kg/m³, καθώς και οι ροές μόνιμες και στρωτές και στις δύο περιπτώσεις, ενώ g=10m/s².

Απάντηση:

ή

 Μια αντλία, γιατί βιαζόμαστε…

Μια αντλία, γιατί βιαζόμαστε…

Άλλο ένα τμήμα δικτύου.

Στο σχήμα βλέπετε ένα τμήμα ενός δικτύου ύδρευσης, όπου  στα οριζόντια τμήματα έχουμε σωλήνες με σταθερές διατομές Α₁ και Α₂, όπου Α₁=2Α₂. Οι δυο σωλήνες απέχουν κατακόρυφα κατά h, ενώ πάνω τους έχουμε προσαρμόσει δυο λεπτούς κατακόρυφους σωλήνες, ύψους h, κλειστούς στα πάνω άκρα τους, οι οποίοι έχουν γεμίσει με νερό, χωρίς να έχει εγκλωβιστεί αέρας στο εσωτερικό τους. Αν η ταχύτητα εκροής από το δεξιό άκρο του λεπτού σωλήνα, συνδέεται με το ύψος h με την σχέση 3υ²=8gh όπου g η επιτάχυνση της βαρύτητας, τότε για τις πιέσεις στα σημεία Κ και Λ, στις πάνω βάσεις των δύο κατακόρυφων σωλήνων ισχύει:

i) p_Κ > p_Λ,     ii) p_Κ = p_Λ,    iii) p_Κ < p_Λ.

Να δικαιολογήσετε την επιλογή σας.

Απάντηση:

ή

Άλλο ένα τμήμα δικτύου.

Άλλο ένα τμήμα δικτύου.

Μια κοίλη σφαίρα και η άνωση

Από μια ομογενή σφαίρα ακτίνας R, έχουμε αφαιρέσει μια σφαιρική περιοχή ακτίνας r= ½ R, το κέντρο της οποίας Κ, απέχει d=14cm από το κέντρο Ο της σφαίρας.

i)  Να βρεθεί το κέντρο μάζας Σ της κοίλης σφαίρας.

ii) Η κοίλη σφαίρα βυθίζεται σε ένα δοχείο με νερό σε ορισμένο βάθος και αφήνοντάς την, παρατηρούμε ότι παραμένει στη θέση της (δεν ανεβαίνει, ούτε κατεβαίνει). Να υπολογιστεί η πυκνότητα του υλικού από το οποίο είναι κατασκευασμένη, αν η πυκνότητα του νερού είναι ρ=1g/cm³.

iii) Η παραπάνω σφαίρα αφήνεται στη θέση που φαίνεται στο (α) σχήμα, σε ορισμένο βάθος μέσα στο δοχείο με το νερό. Θα ισορροπήσει; Αν όχι, ποιο από τα διπλανά σχήματα δείχνει την τελική θέση ισορροπίας της;

Απάντηση:

ή

Μια κοίλη σφαίρα και η άνωση

Μια κοίλη σφαίρα και η άνωση