Ένας δίσκος και ένα υλικό σημείο.

Ένας ομογενής δίσκος, κέντρου Κ, μάζας Μ=1,2kg και ακτίνας R=1m, μπορεί να στρέφεται χωρίς τριβές, γύρω από σταθερό οριζόντιο άξονα ο οποίος περνά από ένα σημείο Α της περιφέρειάς του. Ο δίσκος ισορροπεί με τη βοήθεια οριζόντιου νήματος ΓΔ, το οποίο δένεται στο άκρο μιας οριζόντιας ακτίνας ΚΓ, ενώ στη θέση Β, σε κατακόρυφη απόσταση (ΑΒ)= x=R, έχει  στερεωθεί ένα μικρό σώμα Σ, το οποίο θεωρούμε αμελητέων διαστάσεων. Έτσι έχουμε δημιουργήσει ένα στερεό s.

Δίνονται για τη  γωνία θ που σχηματίζει η ακτίνα ΚΑ με την κατακόρυφο, ημθ=0,8 και συνθ=0,6, η ροπή αδράνειας του δίσκου ως προς κάθετο άξονα που περνά από το κέντρο του Ι_cm= ½ ΜR² και g=10m/s².

i)  Να υπολογιστεί η τάση του νήματος.

ii) Σε μια στιγμή κόβουμε το νήμα, με αποτέλεσμα αμέσως μετά, το κέντρο Κ του δίσκου να αποκτήσει επιτάχυνση μέτρου 4,8m/s². Ζητούνται:

α) Να σχεδιάστε στο σχήμα τις επιταχύνσεις των σημείων Κ και Β, μόλις κοπεί το νήμα.

β) Να προσδιοριστεί η μάζα του σώματος Σ.

iii) Να υπολογιστεί η δύναμη που ασκείται στο δίσκο από τον άξονα περιστροφής, πριν το κόψιμο του νήματος.

Απάντηση:

ή

  Ένας  δίσκος και ένα υλικό σημείο.

Ένας  δίσκος και ένα υλικό σημείο.

Η ράβδος και το ζεύγος δυνάμεων.

Σε λείο οριζόντιο επίπεδο, ηρεμεί μια οριζόντια ομογενής ράβδος ΑΒ, μήκους ℓ=2m και μάζας 6kg, η οποία μπορεί να  στρέφεται γύρω από σταθερό κατακόρυφο άξονα z, ο οποίος περνά από το άκρο της Β. Στη ράβδο ασκείται ένα ζεύγος  δυνάμεων, όπως στο σχήμα και μια οριζόντια σταθερή δύναμη F,  μέτρου F=4Ν η οποία ασκείται κάθετα στη ράβδο στο σημείο Γ, όπου (ΒΓ)=0,5m.

i)  Να σχεδιαστεί η δύναμη F και να υπολογιστεί η ροπή του ζεύγους των δυνάμεων F₁ και F₂

ii)  Υποστηρίζεται η άποψη, ότι ένα στερεό στο οποίο ασκείται ένα ζεύγος δυνάμεων, δεν μπορεί να ισορροπεί με την άσκηση μιας μόνο επιπλέον δύναμης. Χρειάζεται να ασκηθεί ένα ακόμη ζεύγος δυνάμεων. Να εξετάσετε την ορθότητα ή μη της πρότασης αυτής, χρησιμοποιώντας την παραπάνω ράβδο.

iii) Να υπολογιστεί η αρχική επιτάχυνση (t=0) του άκρου Α της ράβδου, αν η δύναμη F έχει την κατεύθυνση του δεξιού σχήματος, κάθετη στη ράβδο, ενώ η ράβδος ΑΒ:

α) Μπορεί να στρέφεται γύρω από τον άξονα z, στο άκρο Β.

β) Έχει αποδεσμευτεί από τον άξονα αυτόν και είναι ελεύθερη.

Δίνεται η ροπή αδράνειας της ράβδου ως προς κάθετο άξονα ο οποίος περνά από το μέσον της Μ, Ι_cm= mℓ²/12.

Απάντηση:

ή

 Η ράβδος και το ζεύγος δυνάμεων.

 Η ράβδος και το ζεύγος δυνάμεων.

Ισορροπία κυλίνδρου σε κεκλιμένο επίπεδο.

Ένας ομογενής κύλινδρος ηρεμεί σε κεκλιμένο επίπεδο κλίσεως θ, με τη βοήθεια νήματος, το οποίο έχουμε τυλίξει γύρω του, με διεύθυνση κάθετη στο επίπεδο, όπως στο πρώτο από τα διπλανά σχήματα. Δίνεται ημθ=0,4 και συνθ≈0,9.

i)  Να αποδείξτε ότι το κεκλιμένο επίπεδο δεν είναι λείο.

ii) Να υπολογιστεί ο ελάχιστος συντελεστής οριακής στατικής τριβής, μεταξύ κυλίνδρου και επιπέδου, για την παραπάνω ισορροπία.

iii) Υποστηρίζεται ως εναλλακτική ισορροπία, αυτή του δεύτερου σχήματος. Να εξετάσετε αν είναι δυνατή η ισορροπία αυτή.

Απάντηση:

ή

 Ισορροπία κυλίνδρου σε κεκλιμένο επίπεδο.

Ισορροπία κυλίνδρου σε κεκλιμένο επίπεδο.

Ομοαξονικοί κύλινδροι σε κεκλιμένο επίπεδο…

Το στερεό του σχήματος, βάρους w, αποτελείται από δύο κολλημένους ομοαξονικούς κυλίνδρους με ακτίνες R και r= ½R  αντίστοιχα. Το στερεό ισορροπεί όπως στο σχήμα σε κεκλιμένο επίπεδο κλίσεως θ, όπου ημθ=0,6, ενώ στον δίσκο ακτίνας r έχουμε τυλίξει αβαρές μη εκτατό νήμα και στο άκρο του Α ασκούμε δύναμη F, παράλληλης στο επίπεδο.

i)  Να εξηγήσετε γιατί το κεκλιμένο επίπεδο δεν είναι λείο.

ii) Να σχεδιάστε την τριβή που ασκείται στο στερεό, δικαιολογώντας και την κατεύθυνσή της.

iii) Το μέτρο της δύναμης F είναι ίσο:

α) F=0,8w,    β) F=w,     γ) F=1,2w.  

iv) Αν για τους συντελεστές οριακής στατικής τριβής και τριβής ολίσθησης ισχύει μ=μ_s=7/8 και κάποια στιγμή αυξήσουμε το μέτρο της ασκούμενης δύναμης F στην τιμή F=1,5w, τι θα συμβεί με το στερεό:

α) Θα μετακινηθεί προς τα πάνω.

β) Θα περιστραφεί.

γ) Θα εκτελέσει σύνθετη κίνηση.

Να δικαιολογήσετε τις απαντήσεις σας.

Απάντηση:

ή

 Ομοαξονικοί κύλινδροι σε κεκλιμένο επίπεδο…

Ομοαξονικοί κύλινδροι σε κεκλιμένο επίπεδο…

Στήριξη σε δύο λεία κεκλιμένα επίπεδα.

Μια μη ομογενής ράβδος ΑΒ, μήκους ℓ και βάρους w, ισορροπεί σε επαφή με δύο λεία κεκλιμένα επίπεδα, με κλίσεις  θ=30° και φ=60°, σε οριζόντια θέση, όπως στο σχήμα. Η ροπή του βάρους της ράβδου, ως προς το κοινό σημείο Ο, της βάσης των δύο επιπέδων, έχει μέτρο:

α) τ=w∙ ¼ ℓ,       β) τ=w∙ 1/3 ℓ,       γ) τ=w∙ ½ ℓ      

Απάντηση:

ή

 Στήριξη σε δύο λεία κεκλιμένα επίπεδα.

 Στήριξη σε δύο λεία κεκλιμένα επίπεδα.

Μια ράβδος σε δύο κεκλιμένα επίπεδα.

Στο σχήμα βλέπετε δύο κεκλιμένα επίπεδα (1) και (2), με κλίσεις  φ=60° και θ=30° αντίστοιχα. Μια οριζόντια ομογενής ράβδος ΑΒ βάρους w=100Ν, ισορροπεί σε επαφή με τα δύο επίπεδα.

i)   Μπορούν και τα δύο επίπεδα να είναι λεία ή όχι; Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας.

ii)  Αν δίνεται ότι το επίπεδο (1) είναι λείο, να βρεθούν:

α)  Η δύναμη που δέχεται η ράβδος στο άκρο της Α από το επίπεδο.

β)  Ο ελάχιστος συντελεστής της οριακής στατικής τριβής μεταξύ ράβδου και επιπέδου (2), για την παραπάνω ισορροπία.

Απάντηση:

ή

 Μια ράβδος σε δύο κεκλιμένα επίπεδα.

Μια ράβδος σε δύο κεκλιμένα επίπεδα.

Η ράβδος ισορροπεί οριζόντια, ό,τι και να συμβεί…

Μια λεπτή οριζόντια ομογενής ράβδος ΑΒ είναι αρθρωμένη σε κατακόρυφο τοίχο στο άκρο της Α και μέσω νήματος έχει επίσης προσδεθεί στον ίδιο τοίχο, το μέσον της Μ. Στο άκρο της Β κρέμεται μέσω αβαρούς νήματος μήκους l μια σφαίρα μάζας m.

i)  Η κατακόρυφη συνιστώσα F_y, της  δύναμης που δέχεται η ράβδος από την άρθρωση στο άκρο της Α:

α) Έχει φορά προς τα πάνω.

β) Έχει φορά προς τα κάτω.

γ) Είναι μηδενική.

ii)  Αν η ράβδος έχει βάρος w και g η επιτάχυνση της βαρύτητας, τότε το μέτρο της παραπάνω συνιστώσας F_y είναι:

α) F_y = w+ mg,    β) F_y = w,    γ) F_y = mg.

iii) Εκτρέπουμε τη σφαίρα από τη θέση ισορροπίας της Γ, φέρνοντάς την στη θέση Δ, η οποία απέχει κατακόρυφα απόσταση h= ½ l από την αρχική θέση Γ, και την αφήνουμε να κινηθεί. Η μέγιστη τιμή του μέτρου της κατακόρυφης συνιστώσας F_y που δέχεται η ράβδος από την άρθρωση είναι τώρα:

α) F_y = mg,    β) F_y = 2mg,    γ) F_y = 3mg.

Απάντηση:

ή

  Η ράβδος ισορροπεί οριζόντια, ό,τι και να συμβεί…

Η ράβδος ισορροπεί οριζόντια, ό,τι και να συμβεί…

Ο τροχός ενός αυτοκινήτου που επιταχύνεται

Ένα αυτοκίνητο κινείται σε ευθύγραμμο δρόμο με ταχύτητα υ_ο=4m/s, με αποτέλεσμα οι τροχοί του, ακτίνας R=0,5m να κυλίονται. Σε μια στιγμή t₀=0 το αυτοκίνητο επιταχύνεται αποκτώντας σταθερή επιτάχυνση α=1m/s², ενώ οι τροχοί αποκτούν και σταθερή γωνιακή επιτάχυνση, με αποτέλεσμα τη χρονική στιγμή t₁=20s να περιστρέφονται με γωνιακή ταχύτητα ω₁=68rad/s.

i)   Να υπολογιστεί η ταχύτητα του αυτοκινήτου και η απόσταση που διανύει στη διάρκεια της επιταχυνόμενης κίνησής του, μέχρι τη στιγμή t₁.

ii)  Να κάνετε τη γραφική παράσταση της γωνιακής ταχύτητας των τροχών σε συνάρτηση με το χρόνο και με βάση αυτή να βρείτε:

α) τη γωνιακή επιτάχυνση κάθε τροχού.

β) τη γωνία στροφής του τροχού από 0-20s.

iii) Να βρεθεί η ταχύτητα του σημείου επαφής του τροχού με το δρόμο, σημείου Α, τη στιγμή t₁.

iv) Να υπολογιστεί η απόσταση κατά την οποία γλίστρησε το σημείο Α στο χρονικό διάστημα 0-t₁.

Απάντηση:

ή

  Ο τροχός ενός αυτοκινήτου που επιταχύνεται

Ο τροχός ενός αυτοκινήτου που επιταχύνεται