Η ταλάντωση ενός συστήματος

 Στην προηγούμενη ανάρτηση «Μια κρούση και δυο «κρούσεις» …» υπήρχε ένα ερώτημα για καθηγητές.

Ώρα να απαντηθεί σε μια ανεξάρτητη εκδοχή …

Η Άσκηση:

Σε λείο οριζόντιο επίπεδο ηρεμούν δυο σώματα Α και Β, με μάζες m1=1kg και m2=2kg, δεμένα στα άκρα ιδανικού ελατηρίου σταθεράς k=24Ν/m, το οποίο έχει το φυσικό μήκος του l0=0,6m. Σε μια στιγμή t=0, λόγω κρούσης το σώμα Α αποκτά ταχύτητα μέτρου υ=1,8m/s, με κατεύθυνση προς το σώμα Β.

i) Να μελετηθεί η κίνηση του συστήματος.

ii) Να βρεθούν οι  συναρτήσεις υ=f(t) για τις ταχύτητες των δύο σωμάτων σε συνάρτηση με το χρόνο και να γίνουν οι γραφικές τους παραστάσεις.

iii) Να βρεθεί η μετατόπιση του σώματος Α, τη χρονική στιγμή t1=61π/36 s.

Απάντηση:

ή

Η ταλάντωση ενός συστήματος

Η ταλάντωση ενός συστήματος

Μια κρούση και δυο «κρούσεις»…

 

Σε λείο οριζόντιο επίπεδο ηρεμούν δυο σώματα Α και Β, με μάζες m1=1kg και m2=2kg, εμένα στα άκρα ιδανικού ελατηρίου σταθεράς k=24Ν/m. Μια σφαίρα Σ με διάμετρο ίση με το ύψος του σώματος Α και μάζα m=0,5kg κινείται ευθύγραμμα κατά μήκος του άξονα του ελατηρίου με σταθερή ταχύτητα υ=0,9m/s και τη στιγμή t=0, συγκρούεται κεντρικά και ελαστικά με το σώμα Α, όπως στο σχήμα.

i) Να υπολογιστεί η κινητική ενέργεια του σώματος Α, αμέσως μετά την κρούση.

ii) Για το σύστημα των σωμάτων Α και Β, να βρεθούν:

 α) Η μέγιστη και η ελάχιστη κινητική ενέργεια του συστήματος.

 β) Οι επιταχύνσεις των δύο σωμάτων, τη στιγμή t1, όπου για πρώτη φορά παρουσιάζεται η ελάχιστη κινητική ενέργεια του συστήματος.

 γ) Η μέγιστη ταχύτητα την οποία θα αποκτήσει τη στιγμή t2 για πρώτη φορά το σώμα Β. Πόση ταχύτητα θα έχει τη στιγμή αυτή το σώμα Α;

iii) Για καθηγητές μόνο: Να βρεθούν οι παραπάνω αναφερόμενες χρονικές στιγμές t1 και t2 καθώς και η απόσταση μεταξύ της σφαίρας και του σώματος Α, τις στιγμές αυτές, αν το ελατήριο έχει φυσικό μήκος 0,6m.

Απάντηση:

ή

Μια κρούση και δυο «κρούσεις»…

Μια κρούση και δυο «κρούσεις»…

Μια αλλαγή άξονα περιστροφής.‎

 

Μια ομογενής ράβδος ΑΒ μπορεί να στρέφεται σε κατακόρυφο επίπεδο, γύρω από σταθερό οριζόντιο άξονα, ο οποίος περνά από το άκρο της Α. Φέρνουμε τη ράβδο σε οριζόντια θέση και την αφήνουμε να κινηθεί, οπότε τη στιγμή t₁ που η ράβδος έχει στραφεί κατά γωνία θ, το μέσον Ο της ράβδου έχει ταχύτητα υ₁=3m/s.

i) Να υπολογιστεί η στροφορμή της ράβδου τη στιγμή t₁,  ως προς οριζόντιο άξονα, κάθετο στο επίπεδο της σελίδας, ο οποίος περνά:

α) Από το κέντρο μάζας Ο της ράβδου.

β) Από το άκρο Α της ράβδου.

γ) Από το άκρο της Β.

ii) Τη στιγμή t₁, ο άξονας περιστροφής σπάει και αμέσως μετά η ράβδος αρχίζει να στρέφεται γύρω από δεύτερο σταθερό οριζόντιο άξονα, κάθετο στη ράβδο, ο οποίος περνά από το άκρο της Β. Ποια η ταχύτητα υ₂ του μέσου Ο της ράβδου, μόλις αρχίσει η περιστροφή γύρω από  τον άξονα που περνά από το άκρο Β;

Δίνεται η ροπή αδράνειας  της ράβδου ως προς κάθετο άξονα ο οποίος περνά από το μέσον της Ι= ml²/12.

Απάντηση:

ή

Μια αλλαγή άξονα περιστροφής.‎

Μια αλλαγή άξονα περιστροφής.‎

Τι θα γίνει μετά την κρούση;

  

Το σώμα που φαίνεται στο διπλανό σχήμα, αφήνεται πάνω από το οριζόντιο δάπεδο με το οποίο δεν παρουσιάζει τριβή. Στο σχήμα φαίνεται και το κέντρο μάζας Κ του σώματος το οποίο τη στιγμή που αφήνεται το σώμα βρίσκεται σε ύψος h. Αν η κρούση του σώματος με το δάπεδο είναι ελαστική και η αντίσταση του αέρα είναι αμελητέα, ποια από τις παρακάτω προτάσεις είναι σωστή;

α. Το κέντρο μάζας του σώματος μετά την κρούση θα εκτελέσει πλάγια βολή προς τα δεξιά και θα φτάσει σε μικρότερο ύψος από το ύψος h από το οποίο αφέθηκε.

β. Το κέντρο μάζας του σώματος μετά την κρούση θα κινηθεί κατακόρυφα αλλά θα φτάσει σε μικρότερο ύψος από το ύψος h από το οποίο αφέθηκε.

γ. Το κέντρο μάζας του σώματος μετά την κρούση θα εκτελέσει πλάγια βολή προς τα αριστερά και θα φτάσει σε μικρότερο ύψος από το ύψος h από το οποίο αφέθηκε.

δ. Το κέντρο μάζας του σώματος μετά την κρούση θα κινηθεί κατακόρυφα και θα φτάσει σε ίδιο ύψος h από το οποίο αφέθηκε.

ε. Το κέντρο μάζας του σώματος μετά την κρούση θα εκτελέσει πλάγια βολή προς τα δεξιά και θα φτάσει στο ίδιο ύψος h από το οποίο αφέθηκε.

στ. Το κέντρο μάζας του σώματος μετά την κρούση θα εκτελέσει πλάγια βολή προς τα αριστερά και θα φτάσει στο ίδιο ύψος h

Απάντηση:

ή

 Τι θα γίνει μετά την κρούση;

Η λύση μιας διαφορικής 2ης τάξης.

 

Η διαφορική εξίσωση στο κύκλωμα LC, όπως αυτό της ανάρτησης «Λίγα ακόμη για την φόρτιση πυκνωτή», είναι:

Η εξίσωση αυτή γράφεται ισοδύναμα:

Η εξίσωση αυτή είναι 2ης  τάξης, μη ομογενής, αφού έχει μη μηδενικό 2ο μέλος.

Λύνουμε την αντίστοιχη ομογενή…

Διαβάστε τη συνέχεια:

Η λύση μιας διαφορικής 2ης τάξης.

Η λύση μιας διαφορικής 2ης τάξης.

Η λύση μιας διαφορικής 2ης τάξης.

Λίγα ακόμη για την φόρτιση πυκνωτή.

 

Σαν συνέχεια της ανάρτησης «φόρτιση  πυκνωτή», ας αντικαταστήσουμε τον αντιστάτη από ένα πηνίο, αρχικά ιδανικό και στη συνέχεια με ένα πηνίου που έχει κάποια αντίσταση R.

Εφαρμογή 1^η:

Στο διπλανό κύκλωμα το ιδανικό πηνίο έχει αυτεπαγωγή L=2mΗ και ο αφόρτιστος πυκνωτής χωρητικότητα C=20μF, ενώ η ιδανική πηγή έχει ΗΕΔ Ε=10V. Σε μια στιγμή κλείνουμε το διακόπτη. 

Να βρεθούν σε συνάρτηση με το χρόνο:

   i)    Το φορτίο του πυκνωτή.

   ii)   Η ένταση του ρεύματος που διαρρέει το κύκλωμα.

 Ποιες οι αντίστοιχες γραφικές παραστάσεις;

Διαβάστε τη συνέχεια…

ή

Λίγα ακόμη για την φόρτιση πυκνωτή.

Λίγα ακόμη για την φόρτιση πυκνωτή.

Κάθε εμπόδιο για καλό;

Οι περικοπές στην ύλη επιβάλλουν τροποποιήσεις…

Γύρω από ένα κύλινδρο ακτίνας R=0,4m και μάζας Μ=10kg τυλίγουμε ένα αβαρές νήμα, το οποίο αφού περάσουμε από μια αβαρή τροχαλία, στο άλλο άκρο του δένουμε ένα σώμα Σ μάζας m₁=1kg.  Αφήνουμε το σώμα Σ ελεύθερο και το σύστημα ισορροπεί, αφού ο κύλινδρος εμποδίζεται να κινηθεί, από ένα εμπόδιο ύψους h>R. Οι συντελεστές τριβής μεταξύ κυλίνδρου και εδάφους είναι μ_s=μ=0,2, ενώ δεν εμφανίζεται τριβή μεταξύ κυλίνδρου και εμποδίου. Το νήμα μεταξύ κυλίνδρου και τροχαλίας είναι οριζόντιο και η επιτάχυνση της  βαρύτητας g=10m/s².

   i) Να υπολογιστούν όλες οι δυνάμεις που ασκούνται στον κύλινδρο.

ii) Αντικαθιστούμε το σώμα Σ με άλλο Σ΄ μάζας m₂=3kg και παρατηρούμε ότι αυτό κινείται προς τα κάτω με σταθερή επιτάχυνση α=1,25m/s².

α) Να υπολογιστεί το μέτρο της δύναμης που ασκείται στον κύλινδρο από το εμπόδιο στη διάρκεια της κίνησης  του σώματος Σ΄.

β) Να βρεθεί η συνολική ροπή που επιταχύνει στροφικά τον κύλινδρο.

γ) Ποια η γωνιακή του ταχύτητα και ποιος ο ρυθμός μεταβολής της γωνιακής ταχύτητας του κυλίνδρου, τη χρονική στιγμή t₁=4s;

Απάντηση:

 ή

Κάθε εμπόδιο για καλό;

Κάθε εμπόδιο για καλό;

Φόρτιση πυκνωτή

  Ένας πυκνωτής χωρητικότητας C φορτίζεται από μια πηγή με ΗΕΔ Ε, μέσω αντίστασης και στο σχήμα, δίνονται δύο εκδοχές. Στο (1) κύκλωμα η φόρτιση γίνεται μέσω αντίστασης R, ενώ στο (2) μέσω αντίστασης 2R. 

i) Μεγαλύτερο φορτίο αποκτά ο πυκνωτής στο κύκλωμα:

α) (1),      β) (2),      γ) αποκτά το ίδιο φορτίο.

ii) Μεγαλύτερη ενέργεια για την φόρτιση θα προσφέρει η πηγή, στο κύκλωμα:

α) (1),      β) (2),      γ) θα προσφέρει ίσα ποσά ενέργειας.

iii) Πόση θερμότητα παράγεται σε κάθε αντίσταση στα δυο κυκλώματα, στη διάρκεια της φόρτισης;

iv)  Για καθηγητές: Να γίνει το διάγραμμα του φορτίου του πυκνωτή, σε συνάρτηση με το χρόνο, για τα δύο κυκλώματα,  στο ίδιο διάγραμμα.

Απάντηση:

ή

Φόρτιση πυκνωτή

Φόρτιση πυκνωτή

 Φόρτιση πυκνωτή