Φάσεις και διαφορές φάσεων σε ένα κύμα.

Κατά μήκος ενός γραμμικού ελαστικού μέσου και προς τα δεξιά, διαδίδεται ένα κύμα και στο πρώτο σχήμα βλέπετε τη μορφή του μέσου τη στιγμή t=0. Αν το σημείο Γ, στο οποίο φτάνει το κύμα τη στιγμή αυτή, απέχει 0,8m από το σημείο Β και αρχίζει να ταλαντώνεται με εξίσωση απομάκρυνσης την:

y_Γ=0,2∙ημ4πt  (S.Ι.)

i) Να υπολογιστούν η συχνότητα και η ταχύτητα διάδοσης του κύματος.

ii) Να γραφεί η εξίσωση της απομάκρυνσης (y=f(t)) για το σημείο Β και να γίνει η γραφική της παράσταση μέχρι τη χρονική στιγμή t₁=0,75s.

iii) Να βρεθεί η εξίσωση της φάσης της απομάκρυνσης του σημείου Β σε συνάρτηση με το χρόνο και:

α) Να παρασταθεί γραφικά μέχρι τη στιγμή t₁.

β)  Να βρεθεί η διαφορά φάσης μεταξύ των σημείων Β και Γ.

iv) Σε μια άλλη περίπτωση, κατά μήκος του ίδιου ελαστικού μέσου, διαδίδεται ένα αρμονικό κύμα και στο δεύτερο σχήμα, βλέπετε τη μορφή μιας περιοχής του μέσου, κάποια στιγμή που πήραμε ως t=0. Τη στιγμή αυτή το σημείο Κ βρίσκεται σε ακραία θέση ταλάντωσης, ενώ το σημείο Λ έχει ταχύτητα ταλάντωσης, όπως στο σχήμα.

α) Αν η οριζόντια απόσταση των δύο σημείων είναι Δx=0,7m, να βρεθεί η συχνότητα του δεύτερου κύματος.

β) Αν κάποια στιγμή t₂ το σημείο Κ έχει φάση απομάκρυνσης 12π (rad) ποια θα είναι η αντίστοιχη φάση του σημείου Λ;

Απάντηση:

ή

Φάσεις και διαφορές φάσεων σε ένα κύμα.

Φάσεις και διαφορές φάσεων σε ένα κύμα.

Δυο κύματα στο ίδιο μέσον

Κατά μήκος ενός γραμμικού ελαστικού μέσου διαδίδονται με αντίθετη φορά δυο κύματα, με αποτέλεσμα κάποια στιγμή, η μορφή μιας περιοχής του μέσου, να είναι όπως στο πάνω σχήμα.

i)  Αντλώντας πληροφορίες από το σχήμα, να απαντήσετε στις παρακάτω ερωτήσεις:

Α) Αν η περίοδος του (1) κύματος είναι Τ₁=0,5s, τότε η περίοδος του (2) κύματος είναι ίση:

α) Τ₂=0,3s,    β) Τ₂= 1/3 s,     Τ₃= 2/3 s,     δ) Τ₂=0,8s.

Β) Να σχεδιάστε στο σχήμα τις ταχύτητες ταλάντωσης των σημείων Β και Γ. Ποια από τις δύο έχει μεγαλύτερο μέτρο;

Γ) Μετά από λίγο, μια στιγμή που θεωρούμε t=0, τα δυο κύματα συναντώνται στο σημείο Μ, όπως στο δεύτερο σχήμα. Το σημείο Μ αμέσως μετά:

α) Θα κινηθεί προς τα πάνω.

β) θα κινηθεί προς τα κάτω.

γ) Θα παραμείνει ακίνητο.

Να δικαιολογήσετε αναλυτικά τις απαντήσεις σας.

ii) Αν το πλάτος κάθε κύματος είναι Α=0,2m, αφού βρείτε την εξίσωση της απομάκρυνσης της ταλάντωσης του σημείου Μ, να υπολογίσετε τη χρονική στιγμή t₁=2/3 s:

α) την τιμή της απομάκρυνσης του σημείου Μ.

β) την τιμή της ταχύτητας ταλάντωσης του Μ.

Απάντηση:

ή

Δυο κύματα στο ίδιο μέσον

Δυο κύματα στο ίδιο μέσον

Τρεις Θαυμάσιες λύσεις !!!

3)   Ένα σώμα μάζας 2kg εκτελεί εξαναγκασμένη ταλάντωση με την επίδραση περιοδικής εξωτερικής δύναμης F=F₀ημ20πt και με πλάτος 0,2m, ενώ δέχεται δύναμη απόσβεσης της μορφής F_απ=-2υ (S.Ι.). Σε μια στιγμή βρίσκεται σε σημείο Α στη θέση x=-0,2m.

i)  Να βρεθεί η ταχύτητά του τη στιγμή που φτάνει σε σημείο Β στη θέση x_Β=0,1m.

ii) Να υπολογιστεί η δυναμική του ενέργεια στις θέσεις Α και Β.

Διαβάστε περισσότερα…

ή

Τρεις Θαυμάσιες λύσεις !!!

Τρεις Θαυμάσιες λύσεις !!!

Μια αρχή στα κύματα

Κατά μήκος ενός γραμμικού ελαστικού μέσου και από τα αριστερά προς τα δεξιά διαδίδεται χωρίς απώλειες ένα αρμονικό κύμα, το οποίο τη στιγμή t₀=0 φτάνει σε ένα σημείο Ο, το οποίο λαμβάνουμε ως αρχή ενός προσανατολισμένου άξονα x, με την προς τα δεξιά κατεύθυνση ως θετική. Το σημείο Ο ξεκινά την ταλάντωσή του προς τα πάνω (θετική φορά του άξονα y) και εκτελεί 10 πλήρεις ταλαντώσεις σε χρονικό διάστημα 12s, διανύοντας στο μεταξύ διάστημα 8m. Το κύμα φτάνει σε ένα σημείο Β, στη θέση x_Β=x₁=2,2m τη χρονική στιγμή t₁=1,1s.

 i)  Να γράψετε τις εξισώσεις για την απομάκρυνση σε συνάρτηση με το χρόνο, για τις ταλαντώσεις που θα εκτελέσουν τα σημεία Ο και Β.

ii) Να βρεθεί η εξίσωση του κύματος.

iii) Να σχεδιάστε το στιγμιότυπο του κύματος τη στιγμή  t₁ που το κύμα φτάνει στο σημείο Β και για την περιοχή του θετικού ημιάξονα. Ποια η απομάκρυνση του σημείου Ο την παραπάνω χρονική στιγμή;

iv) Ποια χρονική στιγμή t₂ το σημείο Β, θα απέχει κατά 0,1m από τη θέση ισορροπίας του, για πρώτη φορά; Πόση είναι η επιτάχυνσή του τη στιγμή αυτή; Να σχεδιάστε την μορφή του μέσου (του θετικού ημιάξονα) την στιγμή t₂ και να σημειώστε πάνω στο διάγραμμα την ταχύτητα και την επιτάχυνση  του σημείου Β.

Απάντηση:

ή

Μια αρχή στα κύματα

Μια αρχή στα κύματα

Άλλη μια σύνθεση ταλαντώσεων

Ένα σώμα μάζας 0,2kg ταλαντώνεται με εξίσωση:

i)  Να αποδείξετε ότι η κίνηση του σώματος είναι αρμονική συνάρτηση του χρόνου και να υπολογίστε το πλάτος και την αρχική φάση  της απομάκρυνσης.

ii)  Τη χρονική στιγμή t₁=0,25s να βρεθούν:

α) Ο ρυθμός μεταβολής της ορμής του σώματος.

β) Ο ρυθμός μεταβολής της κινητικής του ενέργειας.

Απάντηση:

ή

Άλλη μια σύνθεση ταλαντώσεων

Η διεγείρουσα δύναμη αφαιρεί ενέργεια;

Ένα  σώμα μάζας m=0,1kg, δένεται στο άκρο ιδανικού ελατηρίου σταθεράς k=8Ν/m και με την επίδραση μιας αρμονικής εξωτερικής δύναμης, της μορφής:

F_εξ=F₀∙ημ(10t+3π/4)

εκτελεί ταλάντωση με απομάκρυνση x=0,5∙ημ(10t)   (S.Ι.), ενώ δέχεται και δύναμη απόσβεσης της μορφής F_απ=-b∙υ .

i)  Να βρεθεί το πλάτος F₀ της εξωτερικής δύναμης και η σταθερά απόσβεσης b.

ii) Να υπολογιστεί η μέγιστη κινητική και η μέγιστη δυναμική ενέργεια στη διάρκεια της ταλάντωσης.

iii) Να υπολογιστούν η κινητική και η δυναμική ενέργεια τη χρονική στιγμή t₁=π/30s. Ποιοι οι αντίστοιχοι ρυθμοί μεταβολής, των δύο μορφών ενέργειας τη στιγμή αυτή;

iv) Για την παραπάνω χρονική στιγμή, να βρεθεί η ισχύς της εξωτερικής δύναμης και ο ρυθμός με τον οποίο η μηχανική ενέργεια μετατρέπεται σε θερμική εξαιτίας της δύναμης απόσβεσης.

Να σχολιαστούν τα αποτελέσματα.

Δίνεται ημ(π/12) ≈ 0,26 .

Απάντηση:

ή

Η διεγείρουσα δύναμη αφαιρεί ενέργεια;

Μια απλή αρμονική ταλάντωση και μια εξαναγκασμένη

Ένα σώμα μάζας 0,5kg είναι δεμένο στο άκρο ιδανικού ελατηρίου σταθεράς k=18Ν/m κι εκτελεί ΑΑΤ με εξίσωση απομάκρυνσης x=0,2∙ημ(ωt)  (μονάδες στο S.Ι.) σε λείο οριζόντιο επίπεδο, γύρω από τη θέση φυσικού μήκους του ελατηρίου Ο.

i) Να βρεθούν οι εξισώσεις της κινητικής, της δυναμικής και της ενέργειας ταλάντωσης σε συνάρτηση με το χρόνο και να παρασταθούν γραφικά στους ίδιους άξονες.

ii) Το ίδιο σύστημα τίθεται σε εξαναγκασμένη ταλάντωση με την επίδραση εξωτερικής περιοδικής δύναμης, ενώ ταυτόχρονα δέχεται από το περιβάλλον του και δύναμη απόσβεσης της μορφής F_απ=-bυ. Μετά την αποκατάσταση σταθερού πλάτους ταλάντωσης,  γύρω από την ίδια θέση ισορροπίας Ο, λαμβάνοντας κάποια στιγμή ως αρχή μέτρησης του χρόνου, έχουμε την απομάκρυνση από την θέση ισορροπίας Ο, να υπακούει στην εξίσωση x=0,2∙ημ(5t)  (S.Ι.).

α) Να βρεθούν οι εξισώσεις υ=υ(t) και α=α(t) της ταχύτητας και της επιτάχυνσης του σώματος σε συνάρτηση με το χρόνο.

β) Να βρεθούν οι εξισώσεις της κινητικής και της δυναμικής ενέργειας σε συνάρτηση με το χρόνο και να παρασταθούν γραφικά στους ίδιους άξονες.

γ) Το άθροισμα Κ+U των δύο παραπάνω ενεργειών παραμένει σταθερό στη διάρκεια της ταλάντωσης; Να σχολιάστε το συμπέρασμα που καταλήγετε παράλληλα με την πρόταση ότι «στη διάρκεια της εξαναγκασμένης ταλάντωσης η ενέργεια που προσφέρεται στο σύστημα (μέσω της εξωτερικής δύναμης) αντισταθμίζει τις απώλειες (που οφείλονται στις δυνάμεις απόσβεσης) και έτσι το πλάτος της ταλάντωσης διατηρείται σταθερό».

Απάντηση:

ή

Μια απλή αρμονική ταλάντωση και μια εξαναγκασμένη

Τίποτα δεν πάει χαμένο…

Στην προηγούμενη ανάρτηση «Με την κρούση, κόβουμε και το νήμα» …με κατηγόρησε ο Βασίλης, ότι έκοψα το νήμα και …πήγε χαμένο!

Δεν ήξερε ότι το ένα κομμάτι μήκους l=20cm, θα το χρησιμοποιούσα στο επόμενο «πείραμα»!!! Το δίνω….

Δυο πλάκες με μάζες m₁=1kg και m₂=9kg ηρεμούν στην ίδια κατακόρυφη, στα άκρα δύο ελατηρίων με σταθερές k₁=40Ν/m και k₂=160Ν/m αντίστοιχα, απέχοντας κατά h=1,2m. Μετακινούμε τα σώματα κατακόρυφα και τα δένουμε με το νήμα μήκους l=20cm, όπως στο σχήμα.

Σε μια στιγμή κόβουμε (ξανά!!!) το νήμα, οπότε τα σώματα αρχίζουν να ταλαντώνονται.

i) Να βρεθεί το πλάτος ταλάντωσης κάθε σώματος.

ii) Σε πόσο χρόνο η απόσταση των δύο σωμάτων θα γίνει ξανά 20cm για πρώτη φορά;

Απάντηση:

ή

Τίποτα  δεν πάει χαμένο…