Επιταχύνοντας ένα σύστημα.

Σε λείο οριζόντιο επίπεδο, ηρεμεί μια ομογενής ράβδος ΑΒ, η οποία μπορεί να στρέφεται χωρίς τριβές, γύρω από κατακόρυφο άξονα ο οποίος διέρχεται από το άκρο της Α. Το άκρο της ράβδου Β,  συνδέεται μέσω ιδανικού νήματος, με ένα υλικό σημείο Σ μάζας m=10kg, όπου η διεύθυνση του νήματος είναι κάθετη στη ράβδο. Τη στιγμή t₀=0 ασκούμε στο σώμα Σ μια σταθερή οριζόντια δύναμη F=5Ν στη διεύθυνση του νήματος, με αποτέλεσμα το σώμα Σ, να κινείται. Η ράβδος έχει μήκος 3m  ενώ παρουσιάζει ροπή αδράνειας ως προς τον άξονα περιστροφής της Ι=12kgm².

i)  Να βρεθεί ο αρχικός ρυθμός μεταβολής της στροφορμής ως προς τον άξονα περιστροφής:

α) Του συστήματος ράβδου- σώματος Σ

β) Της ράβδου ΑΒ.

ii) Αν τη στιγμή t₁=2s το σώμα Σ έχει ταχύτητα υ₁=0,87m/s, να βρεθεί η γωνιακή ταχύτητα της ράβδου τη στιγμή αυτή.

iii) Να υπολογιστεί η στροφορμή του συστήματος ως προς τον άξονα περιστροφής της ράβδου, τη στιγμή που το σώμα Σ έχει μετατοπισθεί κατά Δx₂ =1,2m, έχοντας ταχύτητα υ₂=1m/s.

Δίνεται ότι ένα υλικό σημείο το οποίο κινείται με ταχύτητα υ, παρουσιάζει ως προς ένα τυχαίο σημείο Γ, στροφορμή μέτρου L=mυ∙d, όπου d η απόσταση του σημείου Γ από τον φορέα της δύναμης, με κατεύθυνση όπως στο σχήμα.

Δίνεται ακόμη ότι κατά την κίνηση, εντός των ορίων που αναφέρονται, το σώμα Σ κινείται πρακτικά στην ίδια διεύθυνση x. 

Απάντηση:

ή

 Επιταχύνοντας ένα σύστημα.

Επιταχύνοντας ένα σύστημα.

Διαγωνισμός Βασίλη Ξανθόπουλου. 2019

 

Πραγματοποιήθηκε και φέτος στη Δράμα, ο διαγωνισμός στη μνήμη του αδικοχαμένου Βασίλη Ξανθόπουλου.

Τα θέματα ανά τάξη:

Φυσική Α Λυκείου 2019

Φυσική Β Λυκείου 2019

Φυσική Γ Λυκείου 2019

Ένα στερεό και οι κινητικές ενέργειες των μερών του

Στο άκρο Α μιας ομογενούς ράβδου ΑΒ μήκους ℓ=4m και μάζας m=3kg, έχουμε καρφώσει ένα υλικό σημείο Σ, της ίδιας μάζας m, δημιουργώντας ένα στερεό s.

Το στερεό s, κινείται πάνω σε μια παγωμένη λίμνη, χωρίς τριβές και τη στιγμή t=0, βρίσκεται στη θέση που δείχνει το διπλανό σχήμα και τα άκρα του Α και Β έχουν αντιπαράλληλες ταχύτητες κάθετες στη ράβδο, με μέτρα υ_Α=υ_Β=2m/s. Με δεδομένο ότι το κέντρο μάζας του στερεού s είναι το σημείο Κ, όπου (ΚΑ)=1m, ενώ η ροπή αδράνειας της ράβδου, ως προς κάθετο άξονα που περνά από το μέσον της Ο δίνεται από την σχέση Ι_ο=mℓ²/12, ζητούνται:

i)   Η ταχύτητα υ_cm του κέντρου μάζας του στερεού s, καθώς και η γωνιακή ταχύτητα περιστροφής του.

ii) Η κινητική ενέργεια του στερεού s.

iii) Η κινητική ενέργεια του υλικού σημείου Σ σε συνάρτηση με το χρόνο και να γίνει η γραφική της παράσταση.

iv) Ποια είναι η αντίστοιχη γραφική παράσταση της κινητικής ενέργειας της ράβδου ΑΒ, σε συνάρτηση με το χρόνο;

Απάντηση:

ή

 Ένα στερεό και οι κινητικές ενέργειες των μερών του

Ένα στερεό και οι κινητικές ενέργειες των μερών του

Δύο πλάκες και μερικές ερωτήσεις

Διαθέτουμε δυο όμοιες ορθογώνιες πλάκες, οι οποίες περιστρέφονται σε οριζόντιο επίπεδο, γύρω από σταθερούς κατακόρυφους άξονες, χωρίς τριβές. Στην  πρώτη (ΑΒΓΔ), ο άξονας περνά από την κορυφή Α, ενώ στη δεύτερη (ΕΖΗΘ) από το μέσον Μ της πλευράς ΕΘ.

Απαντήστε στις παρακάτω ερωτήσεις, δίνοντας και σύντομες δικαιολογήσεις.

i) Αν Ι₁ η ροπή αδράνειας της πρώτης πλάκας και Ι₂ της δεύτερης, ως προς τους άξονες περιστροφής τους, ισχύει:

α) Ι₁ < Ι₂,    β) Ι₁=Ι₂,   γ) Ι₁ > Ι₂.

ii) Αν στις πλάκες ασκείται η ίδια δύναμη F, όπως στο σχήμα με διεύθυνση μόνιμα παράλληλη στην ΑΒ και ΕΖ αντίστοιχα, τότε μεγαλύτερη γωνιακή επιτάχυνση αποκτά:

α) Η πρώτη πλάκα,  β) Η δεύτερη πλάκα,   γ) Οι πλάκες αποκτούν ίσες γωνιακές επιταχύνσεις.

iii) Αν οι πλάκες αρχικά είναι ακίνητες, μετά από μια περιστροφή τους θα έχουν κινητικές ενέργειες Κ₁ και Κ₂ όπου:

α) Κ₁ < Κ₂,     β) Κ₁ = Κ₂,      γ) Κ₁ > Κ₂.

iv) Αν κάποια στιγμή οι δύο πλάκες στρέφονται με την ίδια γωνιακή ταχύτητα ω, τότε:

α) Μεγαλύτερη ταχύτητα έχει η κορυφή Β ή η κορυφή Ζ;

β) Να συγκριθούν οι κινητικές ενέργειες των δύο πλακών.

γ) Να συγκριθούν οι ρυθμοί μεταβολής της κινητικής ενέργειας των πλακών, αν πάνω τους ασκούνται οι δυνάμεις του ii) ερωτήματος.

Τα ερωτήματα είναι ανεξάρτητα και δεν αναφέρονται στην εξέλιξη ενός φαινομένου.

Απάντηση:

ή

  Δύο πλάκες και μερικές ερωτήσεις

Δύο πλάκες και μερικές ερωτήσεις

Μια ισορροπία και δύο επιταχυνόμενες κινήσεις

Μια λεπτή ομογενής δοκός, μάζας m=10kg και μήκους ΑΒ=2m, ισορροπεί σε οριζόντια θέση, στηριζόμενη σε λείο τρίποδο και σε κύλινδρο, με τον οποίο εμφανίζει συντελεστή τριβής ολίσθησης μ=0,4, όπως στο σχήμα. Ο κύλινδρος μπορεί να στρέφεται γύρω από τον σταθερό οριζόντιο άξονά του, ο οποίος περνά από τα κέντρα των δύο βάσεών του.

Δίνεται ακόμη (ΑΓ)=(ΔΒ)=0,5m και g=10m/s².

i)  Να υπολογιστούν οι δυνάμεις που δέχεται η δοκός από τρίποδο και κύλινδρο.

ii)  Πριν τοποθετήσουμε τη δοκό στην παραπάνω θέση, θέτουμε σε δεξιόστροφη περιστροφή  τον κύλινδρο. Να υπολογιστεί η αρχική επιτάχυνση που θα αποκτήσει η δοκός, μόλις αφεθεί στην παραπάνω θέση.

 iii) Αν τη θέση της δοκού πάρει ένα ορθογώνιο με ύψος h=0,5m, του ίδιου μήκους και μάζας Μ=100kg, το οποίο εμφανίζει την ίδια συμπεριφορά στις επαφές Γ και Δ, όσον αφορά τις τριβές, πόση θα είναι αντίστοιχα η επιτάχυνση που θα αποκτήσει;

Απάντηση:

ή

  Μια ισορροπία και δύο  επιταχυνόμενες κινήσεις

Μια ισορροπία και δύο  επιταχυνόμενες κινήσεις

Μια δοκός πάνω σε κύλινδρο

Σε οριζόντιο επίπεδο ηρεμεί ένας ομογενής κύλινδρος μάζας m=8kg, ενώ πάνω του συγκρατείται σε οριζόντια θέση μια ομογενής λεπτή δοκός ΑΒ, μήκους 4m και μάζας Μ=10kg, με τη βοήθεια μιας δύναμης που ασκείται στο άκρο της Α, με συνιστώσες F_x και F_y, όπως στο σχήμα. Η δοκός στηρίζεται στον κύλινδρο στο σημείο Γ, όπου (ΓΑ)=1m.

i) Να υπολογιστούν οι συνιστώσες F_x και F_y για την ισορροπία της δοκού.

Σε μια στιγμή t=0 μεταβάλλουμε την ασκούμενη δύναμη στο άκρο Α, καθορίζοντας σταθερή οριζόντια συνιστώσα F_x=2,6Ν. Το αποτέλεσμα είναι να τεθούν σε κίνηση και η δοκός και ο κύλινδρος, χωρίς να υπάρχει ολίσθηση ούτε μεταξύ κυλίνδρου και εδάφους, ούτε μεταξύ δοκού και κυλίνδρου.

ii) Να υπολογιστούν οι επιταχύνσεις της δοκού και του κέντρου μάζας Ο του κυλίνδρου.

iii) Να υπολογιστούν την χρονική στιγμή t₁=2s :

α) Η κατακόρυφη συνιστώσα F_y της ασκούμενης δύναμης.

β) Οι κινητικές ενέργειες δοκού και κυλίνδρου.

γ) Η ισχύς της ασκούμενης δύναμης καθώς και οι ρυθμοί μεταβολής της κινητικής ενέργειας της δοκού και του κυλίνδρου.

Σε όλη τη διάρκεια της κίνησης, η δοκός παραμένει οριζόντια, g=10m/s², ενώ η ροπή αδράνειας του κυλίνδρου ως προς τον άξονα περιστροφής του Ι= ½ mR².

Απάντηση:

ή

 Μια δοκός πάνω σε κύλινδρο

Μια δοκός πάνω σε κύλινδρο

Σειρά για μια ιδιαίτερη ελαστική κρούση

Μια ομογενής ράβδος μήκους ℓ=1m και μάζας Μ=2,88kg μπορεί να στρέφεται σε κατακόρυφο επίπεδο, γύρω από οριζόντιο άξονα ο οποίος περνά από το άκρο της Ο, χωρίς τριβές. Στο άλλο άκρο της ράβδου έχουμε καρφώσει ένα δίσκο μάζας m=2kg και ακτίνας R=0,2m, όπου το κέντρο του Κ ταυτίζεται με το άκρο της ράβδου, έχοντας έτσι κατασκευάσει ένα στερεό s, το οποίο συγκρατείται στη θέση Α του σχήματος, όπου η ράβδος σχηματίζει με την οριζόντια διεύθυνση γωνία θ. Σε μια στιγμή αφήνουμε το στερεό s να περιστραφεί, με αποτέλεσμα τη στιγμή t₁ που η ράβδος γίνεται κατακόρυφη, το κέντρο του δίσκου έχει ταχύτητα υ₁=4m/s. Τη στιγμή αυτή ο δίσκος συγκρούεται κεντρικά και ελαστικά με σφαίρα της ίδιας ακτίνας με το δίσκο, η οποία ηρεμεί σε λείο οριζόντιο επίπεδο και η οποία, μετά την κρούση, αποκτά την μέγιστη δυνατή κινητική ενέργεια.

i)   Να αποδειχτεί ότι για την αρχική γωνία, που σχηματίζει η ράβδος με την οριζόντια διεύθυνση, ισχύει ημθ=0,3 (συνθ=0,95).

ii)  Να βρεθεί ο αρχικός ρυθμός μεταβολής της στροφορμής του δίσκου, τη στιγμή που το στερεό s αφήνεται να κινηθεί, ως προς:

α) Οριζόντιο άξονα ο οποίος περνά από το κέντρο της Κ.

β) Τον άξονα περιστροφής του στερεού στο Ο.

iii) Ποια η στροφορμή του δίσκου και ποιος ο αντίστοιχος ρυθμός μεταβολής της στροφορμής του, ως προς τον άξονα στο Ο, ελάχιστα πριν την κρούση;

iv) Να υπολογιστεί η ταχύτητα την οποία θα αποκτήσει η σφαίρα, μετά την κρούση.

Δίνεται η ροπή αδράνειας της ράβδου ως προς τον άξονα περιστροφής της Ι_ρ= 1/3 Μℓ² και η αντίστοιχη ροπή αδράνειας του δίσκου ως προς κάθετο άξονα που περνά από το κέντρο του Κ, Ι_κ= ½ mR² και g=10m/s².

Απάντηση:

ή

Σειρά για μια ιδιαίτερη ελαστική κρούση

Σειρά για μια ιδιαίτερη ελαστική κρούση

Μια διαφορετική πλαστική κρούση

Μια ομογενής ράβδος μήκους ℓ=1m και μάζας Μ=3kg μπορεί να στρέφεται σε κατακόρυφο επίπεδο, γύρω από οριζόντιο άξονα ο οποίος περνά από το άκρο της Ο, χωρίς τριβές. Στο άλλο άκρο της ράβδου έχουμε συγκολλήσει μια μικρή σφαίρα Σ, αμελητέων διαστάσεων και μάζας m=1kg.  Φέρνουμε τη ράβδο σε οριζόντια θέση και την αφήνουμε να κινηθεί.

i)  Μετά από λίγο η ράβδος σχηματίζει με την οριζόντια διεύθυνση γωνία θ=60°, όπως φαίνεται στο σχήμα. Για τη θέση αυτή να βρεθούν:

α) Η κινητική ενέργεια του στερεού s. 

β) Ο ρυθμός μεταβολής της στροφορμής της ράβδου ως προς τον άξονα περιστροφής της και ο αντίστοιχος ρυθμός μεταβολής της στροφορμής, ως προς τον ίδιο άξονα, της σφαίρας Σ.

ii) Τη στιγμή που η ράβδος γίνεται κατακόρυφη, η σφαίρα Σ συγκρούεται πλαστικά με δεύτερη όμοια σφαίρα Σ₁, η οποία κρέμεται στο άκρο νήματος μήκους ℓ. Να υπολογιστούν:

α) Η ταχύτητα της σφαίρας Σ πριν την κρούση.

β) Η απώλεια κινητικής ενέργειας η οποία οφείλεται στην κρούση.

Δίνεται η ροπή αδράνειας της ράβδου ως προς τον άξονα περιστροφής της Ι_ρ= 1/3 Μℓ² και g=10m/s².

Απάντηση:

ή

 Μια  διαφορετική πλαστική κρούση

Μια  διαφορετική πλαστική κρούση