Η σύνθετη κίνηση ενός τροχού.

Σε ένα οριζόντιο επίπεδο κινείται ο τροχός του σχήματος ακτίνας R=0,5m. Αν το ανώτερο (Α) και το κατώτερο σημείο του τροχού (Β), έχουν ταχύτητες μέτρων υ_Α=3m/s και υ_Β=1m/s αντίστοιχα, να υπολογιστούν:

i)  Η ταχύτητα του κέντρου Κ του τροχού.

ii) Η ταχύτητα του σημείου Γ, στο άκρο μιας οριζόντιας ακτίνας του.

iii) Η κεντρομόλος επιτάχυνση των σημείων Γ και Α, η οφειλόμενη στην περιστροφική κίνηση του τροχού γύρω από τον άξονά του.

Απάντηση:

ή

  Η σύνθετη κίνηση ενός τροχού.

Βρείτε τα ίχνη…

Στο κέντρο ενός σκοτεινού δωματίου βρίσκεται μια μεγάλη γυάλινη σφαίρα. Φωτίζουμε με μια μονοχρωματική οριζόντια ακτίνα εφαπτομενικά τη σφαίρα, όπως στο σχήμα, όπου η ακτίνα πέφτει στο άκρο μιας οριζόντιας ακτίνας ΟΑ, κάθετα στην ακτίνα (στο σχήμα μια κάτοψη του δωματίου). Ο δείκτης διάθλασης του γυαλιού γι’ αυτή την ακτινοβολία είναι n=√2. Δεχόμαστε ότι η ακτίνα αυτή εν μέρει διαθλάται και εν μέρει ανακλάται.

Μπορείτε να βρείτε σε ποια σημεία των τοιχωμάτων του δωματίου μπορούμε να ανιχνεύσουμε φωτεινή κηλίδα;

Απάντηση:

ή

  Βρείτε τα ίχνη…

Μια ακτίνα πέφτει σε τριγωνικό πρίσμα.

Μια ακτίνα μονοχρωματικού φωτός πέφτει κάθετα στη μια πλευρά πρίσματος, η τομή του οποίου είναι ισόπλευρο τρίγωνο, όπως στο σχήμα.

i)  Αν ο δείκτης διάθλασης του πρίσματος για την παραπάνω ακτίνα είναι n=√3, να χαράξετε την πορεία της μέχρι και την έξοδό της από το πρίσμα.

ii) Ποιος πρέπει να είναι ο ελάχιστος δείκτης διάθλασης του γυαλιού, πάνω από την τιμή  του οποίου, η δέσμη να υποστεί ολική ανάκλαση στην πλευρά ΑΓ

Απάντηση:

 

  Μια ακτίνα πέφτει σε τριγωνικό πρίσμα

Άλλο ένα στάσιμο κύμα σε χορδή.

Πάνω σε μια χορδή μήκους 10m έχει δημιουργηθεί ένα στάσιμο κύμα. Για να το μελετήσουμε μαθηματικά, παίρνουμε ένα σύστημα αξόνων x-y, όπου σε ένα σημείο Ο, που απέχει 3m από το αριστερό άκρο του  θέτουμε x=0, ενώ θεωρούμε t=0 τη στιγμή που το σημείο Ο βρίσκεται στην μέγιστη θετική απομάκρυνσή του. Το σημείο Ο φτάνει για πρώτη φορά στη μέγιστη αρνητική απομάκρυνσή του τη στιγμή t=0,5s, αφού διανύσει απόσταση 0,8m, ενώ απέχει οριζόντια απόσταση 1m από τον κοντινότερο δεσμό του στάσιμου. Δίνεται ακόμη ότι το σημείο Ο είναι κοιλία του στάσιμου κύματος.

i)     Η εξίσωση του στάσιμου κύματος είναι της μορφής:

         α)   y= 2Α συν(2πx/λ)∙ημ(2πt/Τ+π/2)  

         β)   y= 2Α ημ(2πx/λ)∙ημ(2πt/Τ+π/2)  

         γ)   y= 2Α συν(2πx/λ+π/2)∙ημ(2πt/Τ+π/2)  

        Επιλέξτε τη σωστή μορφή δικαιολογώντας την επιλογή σας.

ii)    Να γράψετε την εξίσωση του στάσιμου κύματος.

iii)   Να βρείτε τις θέσεις των δεσμών του στάσιμου κύματος.

iv)  Να σχεδιάστε στο ίδιο σύστημα αξόνων στιγμιότυπα του στάσιμου τις χρονικές στιγμές:

α) t₁=0  και  β)  t₂=0,75s

Σημειώστε πάνω στο διάγραμμα την ταχύτητα του σημείου Ο, τις παραπάνω χρονικές στιγμές.

v)   α)  Να βρεθεί η εξίσωση της ταχύτητας ταλάντωσης του σημείου Β στη θέση x₁=4/3m.

β) Σε μια στιγμή η ταχύτητα του Β έχει τιμή υ_Β=0,2π m/s. Να βρεθεί η αντίστοιχη ταχύτητα, την παραπάνω  χρονική στιγμή,  ενός σημείου Γ στη θέση x_Γ=2m.

Απάντηση:

ή

Άλλο ένα στάσιμο κύμα σε χορδή.

Ένα στάσιμο κύμα, δύο εξισώσεις στάσιμου.

Μια χορδή μήκους 3m έχει στερεωμένα τα δυο άκρα της. Η χορδή τίθεται σε ταλάντωση και πάνω της δημιουργείται ένα στάσιμο κύμα, με μορφή όπως στο παραπάνω σχήμα, όπου το πλάτος ταλάντωσης της πρώτης κοιλίας Κ₁ είναι 0,2m και η συχνότητά της 20Ηz.

i)   Να υπολογιστεί η ταχύτητα ενός τρέχοντος κύματος κατά μήκος της παραπάνω χορδής.

ii)  Να βρεθεί η εξίσωση του στάσιμου κύματος, δεχόμενοι ότι η αρχή του άξονα, είναι η θέση ισορροπίας  της κοιλίας Κ₁, ενώ τη στιγμή t=0 το σημείο Κ₁ περνά από τη θέση ισορροπίας της κινούμενη προς τα πάνω (θετική κατεύθυνση).

iii) Να βρεθεί η εξίσωση του στάσιμου, δεχόμενοι ως αρχή του άξονα x, το αριστερό άκρο της χορδής και την ίδια, όπως παραπάνω, στιγμή t=0.

iv) Να κάνετε τη γραφική παράσταση της ταχύτητας ταλάντωσης ενός σημείου Σ το οποίο απέχει 1,25 m από το αριστερό άκρο της χορδής. Η απάντηση να δοθεί με την βοήθεια και των δύο παραπάνω εξισώσεων στάσιμου που βρήκατε.

Απάντηση:

ή

Ένα στάσιμο κύμα, δύο εξισώσεις στάσιμου.

Μια χορδή, δύο στάσιμα κύματα.

Σε μια χορδή με σταθερά άκρα, μπορούν να σχηματισθούν στάσιμα κύματα, όπως στο παραπάνω σχήμα, με το ίδιο πλάτος Α. Έστω δυο ίσες στοιχειώδεις σημειακές μάζες m₁ και m₂, στις θέσεις των πρώτων κοιλιών Κ₁ και Κ₂ αντίστοιχα.

Αν η μέγιστη κινητική ενέργεια που αποκτά η μάζα m₁ κατά τη διάρκεια της ταλάντωσης, είναι Ε₁, τότε η μέγιστη κινητική ενέργεια της μάζας m₂ είναι Ε₂, όπου:

i) Ε₂< Ε₁,   ii)  Ε₂ = Ε₁,    iii) Ε₂ > Ε₁.

Να δικαιολογήστε την επιλογή σας.

Απάντηση:

ή

Μια χορδή, δύο στάσιμα κύματα.

Διάδοση κυμάτων και συμβολή τους.

Στις θέσεις x₁=0 και x₂=10m ενός ομογενούς γραμμικού ελαστικού μέσου υπάρχουν δύο πηγές Ο₁ και Ο₂ εγκαρσίων κυμάτων, που διαδίδονται με ταχύτητα υ. Για t=0 οι δύο πηγές αρχίζουν ταυτόχρονα να ταλαντώνονται με εξίσωση y=Α∙ημωt (S.Ι.), οπότε δημιουργείται ένα κύμα εξαιτίας της Ο₁ το οποίο διαδίδεται προς τα δεξιά και ένα κύμα εξαιτίας της Ο₂, που διαδίδεται προς τ’ αριστερά. Κύματα δημιουργούνται μόνο στο χώρο μεταξύ των δύο πηγών.

i)  Στο σχήμα φαίνεται η μορφή του μέσου τη στιγμή t₁=1,5s, εξαιτίας του κύματος από την πρώτη πηγή.

Να συμπληρωθεί το σχήμα, ώστε να φαίνεται και η διάδοση της διαταραχής εξαιτίας της δεύτερης πηγής Ο₂.

ii) Να σχεδιάστε τη μορφή του μέσου τις χρονικές στιγμές t₂=2,5s και t₃=3,5s.

iii) Να βρεθούν οι ταχύτητες ταλάντωσης των σημείων Β και Γ στις θέσεις x_Β=5m και x_Γ=6m τις παραπάνω χρονικές στιγμές, αν το πλάτος της ταχύτητας ταλάντωσης κάθε πηγής είναι 0,5m/s.

Απάντηση.

ή

Διάδοση κυμάτων και συμβολή τους.

Πληροφορίες από ένα στιγμιότυπο.

Στο παραπάνω σχήμα δίνεται ένα τμήμα ενός στιγμιότυπου, μιας περιοχής στην οποία έχουμε μια κυματική διαταραχή τη χρονική στιγμή t₁.

i)  Το παραπάνω στιγμιότυπο:

 α) Ανήκει σε τρέχον κύμα,

 β) Ανήκει σε στάσιμο κύμα,

 γ) Δεν μπορούμε να γνωρίζουμε.

ii) Αν η ταχύτητα ταλάντωσης του σημείου Β είναι μηδενική ενώ του Γ είναι διάφορη του μηδενός, το κύμα είναι τρέχον ή στάσιμο και γιατί;

iii) Αν το κύμα είναι στάσιμο και το σημείο Γ κινείται προς τα πάνω, τότε το σημείο Β:

 α) κινείται προς τα πάνω,

 β) κινείται προς τα κάτω,

 γ) έχει μηδενική ταχύτητα

iv) Αν η ταχύτητα ταλάντωσης του σημείου Γ είναι κατακόρυφη με φορά προς τη θέση ισορροπίας του, ενώ η ταχύτητα του Β μηδενική, το κύμα διαδίδεται προς τα δεξιά ή προς τα αριστερά;

v) Αν τη στιγμή t₂= t₁+Δt, όπου Δt<Τ/4 το στιγμιότυπο της ίδιας περιοχής είναι όπως στο δεύτερο σχήμα, το στιγμιότυπο αυτό ανήκει σε στάσιμο ή τρέχον κύμα; Αν είναι τρέχον, προς τα πού κινείται; Προς τα δεξιά ή προς τ’ αριστερά;

Απάντηση. 

Πληροφορίες από ένα στιγμιότυπο.