Μια μεταβλητή δύναμη επιταχύνει ένα σύστημα.

Ένα σώμα Σ μάζας m=2kg ηρεμεί στο πάνω άκρο ενός κατακόρυφου ελατηρίου σταθεράς k=200Ν/m. Δένουμε το σώμα Σ στο άκρο ενός αβαρούς νήματος, το οποίο περνάμε από μια τροχαλία και στο ελεύθερο άκρο του Α, ασκούμε μια κατακόρυφη δύναμη F, όπως στο διπλανό σχήμα. Το μέτρο της δύναμης F μεταβάλλεται με την μετατόπιση του άκρου Α, σύμφωνα με τη σχέση F=32-40y  (S.Ι.), ενώ το νήμα αφήνεται, μόλις το άκρο Α μετατοπισθεί κατά 0,2m. Η μάζα της τροχαλίας είναι Μ=4kg, ενώ το νήμα δεν γλιστρά στο αυλάκι της, στη διάρκεια της εξάσκησης της δύναμης.

i)  Να υπολογιστεί η αρχική επιτάχυνση του σώματος Σ.

ii) Να βρεθεί η ενέργεια που μεταφέρεται στο σύστημα μέσου του έργου της ασκούμενης δύναμης, μέχρι τη στιγμή t₁ που το σημείο Α έχει κατέβει κατά y₁=0,1m.

iii) Να υπολογιστούν τη στιγμή t₁:

α) οι κινητικές ενέργειες του σώματος Σ και της τροχαλίας.

β) οι αντίστοιχοι ρυθμοί μεταβολής της κινητικής τους ενέργειας.

γ) Ο ρυθμός μεταβολής της στροφορμής της τροχαλίας, ως προς τον άξονά της, αν έχει ακτίνα R=0,2m, και ο ρυθμός μεταβολής της ορμής του σώματος Σ.

iv) Πόση είναι η μέγιστη κινητική ενέργεια που αποκτά το σώμα Σ, μετά την κατάργηση της δύναμης F;

Δίνεται η ροπή αδράνειας της τροχαλίας ως προς τον άξονα περιστροφής της Ι= ½ ΜR² και η επιτάχυνση της βαρύτητας g=10m/s².

Απάντηση:

ή

	Μια μεταβλητή δύναμη επιταχύνει ένα σύστημα.

Μια εφαρμογή στις εσωτερικές δυνάμεις…

Μια ομογενής δοκός ΑΒ, μήκους 6m και μάζας 24kg, μπορεί να περιστρέφεται γύρω από οριζόντιο άξονα που περνά από το άκρο της Α, διαγράφοντας κατακόρυφο επίπεδο, κάθετο στον άξονα περιστροφής. Η δοκός φέρνεται σε οριζόντια θέση και κάποια στιγμή αφήνεται ελεύθερη να περιστραφεί.

i) Να βρεθεί η αρχική γωνιακή επιτάχυνση της δοκού και η επιτάχυνση του σημείου Μ, όπου (ΜΒ)=1m.

ii) Εστιάζουμε στην κίνηση του τμήματος ΓΒ, όπου (ΓΒ)=2m. Μόλις η δοκός αφεθεί να κινηθεί το τμήμα ΓΒ:

α) δέχεται μόνο οριζόντια δύναμη από το τμήμα ΑΓ της δοκού.

β) δέχεται μόνο κατακόρυφη δύναμη από το τμήμα ΑΓ.

γ) δέχεται μια δύναμη και μια ροπή ζεύγους από το τμήμα ΑΓ.

Δίνεται η ροπή αδράνειας της δοκού ως προς κάθετο άξονα που περνά από το μέσον της Ι=Μl²/12 και g=10m/s².

Απάντηση:

ή

	Μια εφαρμογή στις εσωτερικές δυνάμεις…

Η στεφάνη και η σημειακή μάζα.

Μια στεφάνη ακτίνας 0,2m και μάζας m=1kg, η οποία θεωρείται συγκεντρωμένη στην περιφέρειά της, μπορεί να στρέφεται, χωρίς τριβές, σε κατακόρυφο επίπεδο, γύρω από σταθερό οριζόντιο άξονα ο οποίος περνά από ένα σημείο Ο της περιφέρειάς της. Σε ένα σημείο Α της περιφέρειας της  στεφάνης, όπου η γωνία ΟΚΑ είναι ορθή, έχει προσδεθεί ένα σώμα Σ, ίσης μάζας με τη στεφάνη, το οποίο θεωρείται υλικό σημείο, δημιουργώντας έτσι το στερεό s.  Στρέφουμε το στερεό s, ώστε η ακτίνα της στεφάνης ΚΑ να είναι κατακόρυφη και σε μια στιγμή (t₀=0) το αφήνουμε να περιστραφεί.

i)  Να βρεθεί η ροπή αδράνειας του στερεού s, ως προς τον άξονα περιστροφής στο Ο.

ii) Ποια η αρχική επιτάχυνση του σώματος Σ, μόλις αφήσουμε το στερεό να κινηθεί;

iii) Μετά από λίγο, τη στιγμή t₁, η ακτίνα ΚΑ γίνεται οριζόντια για πρώτη φορά.

Για τη στιγμή αυτή να βρεθούν:

α) Η γωνιακή ταχύτητα του στερεού και η ταχύτητα του σώματος Σ.

β) Η  στροφορμή και ο ρυθμός μεταβολής της στροφορμής του στερεού s,  ως προς τον άξονα περιστροφής του.

γ) Η  στροφορμή και ο ρυθμός μεταβολής της στροφορμής του σώματος Σ,  ως προς το σημείο Ο.

δ) Η κινητική ενέργεια και ο ρυθμός μεταβολής της κινητικής ενέργειας, του στερεού s.

ε) Η κινητική ενέργεια και ο ρυθμός μεταβολής της κινητικής ενέργειας, του σώματος Σ.

Δίνεται g=10m/s².

Απάντηση:

ή

	Η  στεφάνη και η σημειακή μάζα.

Ένας περιστρεφόμενος δίσκος αποδεσμεύεται.

Ένας ομογενής δίσκος, μάζας Μ=6kg και ακτίνας R=0,6m μπορεί να περιστρέφεται, χωρίς τριβές, γύρω από σταθερό οριζόντιο άξονα, ο οποίος διέρχεται από ένα σημείο Ο της περιφέρειάς του, σε ύψος Η=1,6m από το έδαφος. Φέρνουμε το δίσκο στη θέση του πρώτου σχήματος, ώστε η διάμετρος ΟΒ να είναι οριζόντια και τον αφήνουμε να κινηθεί.

i)  Να υπολογιστεί η αρχική γωνιακή επιτάχυνση του δίσκου, καθώς και η αρχική επιτάχυνση του σημείου Α, στο άκρο της κατακόρυφης διαμέτρου του.

ii) Μετά από λίγο η διάμετρος ΟΒ γίνεται κατακόρυφη, όπως στο δεύτερο σχήμα. Για την θέση αυτή να βρεθούν:

α) Η στροφορμή του δίσκου κατά (ως προς) τον άξονα περιστροφής του.

β) Ο αντίστοιχος ρυθμός μεταβολής της στροφορμής του δίσκου.

γ) η επιτάχυνση του σημείου Α.

iii) Αν τη στιγμή που ο δίσκος βρίσκεται στην παραπάνω θέση, αποδεσμεύεται από τον άξονα περιστροφής του και πέφτει ελεύθερα να υπολογίσετε την κινητική του ενέργεια τη στιγμή που φτάνει στο έδαφος.

Δίνεται η επιτάχυνση της βαρύτητας g=10m/s², ενώ η ροπή αδράνειας του δίσκου ως προς κάθετο άξονα που περνά από το κέντρο του Ι= ½ ΜR².

Απάντηση:

ή

	Ένας περιστρεφόμενος δίσκος  αποδεσμεύεται.

Google

Μια κύλιση με μεταβλητή επιτάχυνση.

Γύρω από έναν τροχό, μάζας m=20kg και ακτίνας R=0,6m, ο οποίος βρίσκεται ακίνητος σε οριζόντιο επίπεδο, έχουμε τυλίξει ένα αβαρές νήμα. Σε μια στιγμή t₀=0, ασκούμε στο άκρο του νήματος Α, μια οριζόντια δύναμη F το μέτρο της οποίας μεταβάλλεται με το χρόνο, σύμφωνα με την εξίσωση F=0,9t (μονάδες στο S.Ι.). Ο τροχός αρχίζει να κυλίεται τη στιγμή t΄=10s σταματάμε να τραβάμε το νήμα και να ασκούμε δύναμη .

i)  Να υπολογίσετε την επιτάχυνση του κέντρου Ο του τροχού σε συνάρτηση με το χρόνο και να κάνετε τη γραφική της παράσταση, μέχρι τη χρονική στιγμή t₂=12s.

ii)  Να υπολογιστεί η στροφορμή του τροχού κατά (ως προς) τον άξονα περιστροφής του τροχού ο οποίος διέρχεται από το κέντρο του Ο, τις χρονικές στιγμές:

   α) t₁=5s  και  β) t₂=12s.

iii) Να υπολογιστεί ο ρυθμός μεταβολής της στροφορμής του τροχού κατά (ως προς) τον άξονα περιστροφής του τροχού ο οποίος διέρχεται από το κέντρο του Ο, τις παραπάνω χρονικές στιγμές.

iv) Πόση ενέργεια μεταφέρθηκε στον τροχό μέσω της ασκούμενης δύναμης F και ποια η ισχύς της δύναμης τη στιγμή t₁;

Δίνεται η ροπή αδράνειας ως προς κάθετο άξονα που περνά από το κέντρο του Ι= ½ mR².

Απάντηση:

ή

	Μια κύλιση με μεταβλητή επιτάχυνση.

Μεγαλύτερες περιπέτειες…

Μετά την ανάρτηση «Ένα σύστημα σωμάτων σε περιπέτειες…» ας πάμε ένα βήμα παρακάτω, στη μελέτη του συστήματος σωμάτων και της εφαρμογής του γενικευμένου νόμου του Νεύτωνα.

--------------------------------------

Μια οριζόντια κυκλική πλατφόρμα μάζας Μ=20kg και ακτίνας R=1m, μπορεί να στρέφεται γύρω από κατακόρυφο άξονα z, χωρίς τριβές, ο οποίος περνά από το κέντρο της Ο. Πάνω στην πλατφόρμα ηρεμεί ένα σώμα Σ μάζας m=2kg, δεμένο στο άκρο νήματος μήκους ℓ=0,8m, το άλλο άκρο του οποίου μέσω ενός δακτυλίου  δένεται στον άξονα z, έτσι ώστε το σώμα Σ μπορεί να περιστρέφεται χωρίς να τυλίγεται το νήμα στον άξονα. Σε μια στιγμή (t₀=0) ασκείται στην περιφέρεια της πλατφόρμας, εφαπτομενικά, μια οριζόντια σταθερού μέτρου δύναμη F=21,6Ν, με αποτέλεσμα τη στιγμή t₁=5s η πλατφόρμα να έχει αποκτήσει γωνιακή ταχύτητα ω₁=10rad/s.

i)  Να εξετάσετε αν υπάρχει τριβή μεταξύ σώματος Σ και πλατφόρμας, με αποτέλεσμα να τεθεί σε περιστροφή και το σώμα Σ.

ii) Να βρεθεί ο ρυθμός μεταβολής της στροφορμής κατά (ως προς) τον άξονα z:

    α) του συστήματος  β)  της πλατφόρμας  και  γ) του σώματος Σ.

στο χρονικό διάστημα 0-5s.

iii) Να υπολογιστεί τη χρονική στιγμή t₁ η στροφορμής κατά (ως προς) τον άξονα z:

     α) του συστήματος  β)  της πλατφόρμας  και  γ) του σώματος Σ.

iv) Τη στιγμή t₁ η δύναμη F καταργείται, οπότε μετά από λίγο παρατηρούμε ότι το σώμα Σ δεν γλιστράει πάνω στην πλατφόρμα. Να υπολογιστεί τότε η ταχύτητα του σώματος Σ.

 Δίνεται η ροπή αδράνειας της πλατφόρμας, ως προς τον άξονά της Ι= ½ ΜR².

Απάντηση:

ή

	Μεγαλύτερες περιπέτειες…

Ένα σύστημα σωμάτων σε περιπέτειες…

Μια οριζόντια κυκλική πλατφόρμα μάζας Μ=20kg και ακτίνας R=2m, στρέφεται γύρω από κατακόρυφο άξονα z, χωρίς τριβές, ο οποίος περνά από το κέντρο της Ο με σταθερή γωνιακή ταχύτητα ω=2rad/s. Πάνω στην πλατφόρμα είναι τοποθετημένη μια μικρή σφαίρα (αμελητέων διαστάσεων) και μάζας m=2kg, η οποία είναι δεμένη στο ένα άκρο ιδανικού ελατηρίου σταθεράς k=100Ν/m και φυσικού μήκους l₀=92cm, το άλλο άκρο του οποίου δένεται στον άξονα περιστροφής. Μεταξύ σφαίρας και πλατφόρμας δεν αναπτύσσονται τριβές, ενώ η σφαίρα στρέφεται μαζί με την πλατφόρμα, χωρίς να μεταβάλλεται η θέση της ως προς αυτήν.

i) Το μήκος του ελατηρίου είναι:

 α) ℓ < ℓ₀,   β) ℓ = ℓ₀,   γ) ℓ > ℓ₀.

Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας.

ii) Να υπολογιστεί η στροφορμή κάθε σώματος (πλατφόρμα-σφαίρα), καθώς και η στροφορμή του συστήματος κατά (ως προς) τον άξονα z.

Σε μια στιγμή t₀=0, ασκείται εφαπτομενικά στην πλατφόρμα μια οριζόντια, σταθερού μέτρου δύναμη F=10Ν, όπως στο παραπάνω σχήμα.

iii) Να βρεθούν οι ρυθμοί μεταβολής της στροφορμής κατά (ως προς) τον άξονα z:

α) του συστήματος,  β) της σφαίρας,   γ) της πλατφόρμας.

iv) Να υπολογιστεί η στροφορμή κάθε σώματος (πλατφόρμα-σφαίρα), καθώς και η στροφορμή του συστήματος κατά (ως προς) τον άξονα z, τη στιγμή t₁=5s.

Απάντηση:

ή

	Ένα σύστημα σωμάτων σε περιπέτειες…

Η επιτάχυνση και ο ρυθμός μεταβολής της στροφορμής.

Ένας οριζόντιος δίσκος μάζας Μ=4m μπορεί να στρέφεται χωρίς τριβές γύρω από τον κατακόρυφο άξονα z, ο οποίος διέρχεται από το κέντρο του Ο. Στην περιφέρεια του δίσκου προσκολλάται ένα αμελητέων διαστάσεων μικρό σώμα Σ, μάζας m, δημιουργώντας έτσι το  στερεό s.

Ασκούμε στο σώμα Σ μια σταθερού μέτρου οριζόντια δύναμη F, με αποτέλεσμα να προκαλέσουμε την περιστροφή του  στερεού.

i) Το σώμα Σ θα αποκτήσει:

α) σταθερού μέτρου επιτάχυνση.

β) επιτάχυνση που θα αυξάνεται καθώς περνά ο χρόνος.

ii) Το σώμα Σ θα αποκτήσει επιτάχυνση στη διεύθυνση της δύναμης F, μέτρου:

α) α=F/m,   β) α=F/2m,   γ) α=F/3m,   δ) α=F/4m,   ε) α=F/5m.

iii) Ο ρυθμός μεταβολής της στροφορμής του σώματος Σ, κατά (ως προς) τον άξονα z:

α) είναι σταθερός,  β) είναι ανάλογος του χρόνου.

iv) Ο ρυθμός μεταβολής της στροφορμής του δίσκου, κατά (ως προς) τον άξονα z, έχει μέτρο:

α) dL/dt= FR/5,     β) dL/dt= 4FR/5,    γ) dL/dt= 2FR/3,    δ) dL/dt= FR.

Να δικαιολογήσετε τις απαντήσεις σας.

Δίνεται η ροπή αδράνειας του δίσκου ως προς τον άξονά του Ι= ½ ΜR².

Απάντηση:

ή

	Η επιτάχυνση και ο ρυθμός μεταβολής της στροφορμής.