Ποιες οι ταχύτητες των σημείων της πλάκας;

  

Μια ορθογώνια ομογενής πλάκα με πλευρές α=0,8m και β=0,6m, μπορεί να στρέφεται σε κατακόρυφο επίπεδο, γύρω από οριζόντιο άξονα ο οποίος περνά από την κορυφή Α. Σε μια στιγμή η πλάκα βρίσκεται στη θέση του διπλανού σχήματος, έχοντας γωνιακή ταχύτητα ω=2rαd/s. Για τη θέση αυτή ζητάμε να βρεθούν οι ταχύτητες των κορυφών Β και Γ, καθώς και του κέντρου μάζας Κ της πλάκας.

Δυο μαθητές ακολουθούν διαφορετικούς δρόμους επίλυσης.

Ο μαθητής Α θεωρεί ότι η πλάκα εκτελεί στροφική κίνηση γύρω από σταθερό άξονα.

Ο μαθητής Β θεωρεί την κίνηση σύνθετη. Μια μεταφορική και μια στροφική γύρω από οριζόντιο άξονα που περνά από το κέντρο μάζας Κ.

 Να εξετασθεί αν αυτές οι δύο θεωρήσεις είναι σωστές ή όχι.

Απάντηση:

ή

 Ποιες οι ταχύτητες των σημείων της πλάκας; 

Ανακαλύπτοντας ξανά …τον τροχό.

Ένα φορτηγό κινείται ευθύγραμμα σε οριζόντιο δρόμο, με σταθερή ταχύτητα υ_φ, ενώ στο σχήμα βλέπετε έναν τροχό του ακτίνας R=0,5m. Το σημείο επαφής του τροχού με το έδαφος, σημείο Α, έχει μηδενική ταχύτητα, ενώ το σημείο Μ, στο μέσον της ακτίνας ΚΑ, έχει ταχύτητα μέτρου υ_Μ=1m/s.

i) Το φορτηγό κινείται προς τα δεξιά ή προς τα αριστερά; Να δικαιολογήσετε αναλυτικά την απάντησή σας.

ii) Να υπολογίσετε την ταχύτητα του φορτηγού και τη συχνότητα περιστροφής των τροχών.

iii) Να βρεθεί η επιτάχυνση του σημείου Μ στην θέση που δείχνει το σχήμα.

iv) Κάποια στιγμή το φορτηγό αποκτά επιτάχυνση α_φ=1m/s², χωρίς να ολισθήσουν οι τροχοί του. Να βρεθεί η ταχύτητα και η επιτάχυνση του ανώτερου σημείου του τροχού, τη στιγμή που το φορτηγό έχει αποκτήσει ταχύτητα υ_φ1=3m/s. Ποιος ο ρυθμός μεταβολής του μέτρου της ταχύτητας του παραπάνω σημείου, στη θέση αυτή;

Απάντηση:

ή

Ανακαλύπτοντας ξανά …τον τροχό.

Η κίνηση μιας τετράγωνης πλάκας

Στην επιφάνεια μια παγωμένης λίμνης κινείται μια οριζόντια ομογενής τετράγωνη πλάκα ΑΒΓΔ πλευράς α=0,4m. Μας δίνουν μια φωτογραφία της πλάκας και μας λένε ότι τη στιγμή της λήψης τα σημεία Α και Μ (ΑΜ=ΜΒ), έχουν παράλληλες ταχύτητες, κάθετες στην πλευρά ΑΒ με μέτρα υ_Α=0,8m/s και υ_Μ=0,4m/s.

i) Η κίνηση της πλάκας είναι μεταφορική ή όχι και γιατί;

ii) Να υπολογίσετε της ταχύτητα του κέντρου Κ του τετραγώνου.

iii) Αν η πλάκα περιστρέφεται, να υπολογιστεί η γωνιακή της ταχύτητα.

iv) Να βρεθεί την παραπάνω στιγμή η ταχύτητα της κορυφής Β.

Απάντηση:

ή

Η κίνηση μιας τετράγωνης πλάκας

Η κίνηση του δίσκου

Σε λείο οριζόντιο επίπεδο ηρεμεί ένας λεπτός ομογενής κυκλικός δίσκος, μάζας m=6kg με το επίπεδό του οριζόντιο. Σε μια στιγμή (t=0) στο σημείο Α της περιφέρειας του, ασκούνται δύο σταθερές οριζόντιες δυνάμεις, όπως στο σχήμα, όπου η πρώτη έχει μέτρο F₁=5Ν, ενώ ημθ=0,6. Ο δίσκος κινείται χωρίς να στρέφεται και τη στιγμή t₁=2s το σημείο Α έχει μετατοπισθεί κατά 2m. Τη στιγμή αυτή η δύναμη F₂ παύει να ασκείται στο δίσκο.

i)  Σε ποια κατεύθυνση έχει κινηθεί το κέντρο Κ του δίσκου; Να δικαιολογήσετε αναλυτικά την απάντησή σας.

ii) Να βρεθεί το μέτρο και η κατεύθυνση της δύναμης F₂.

iii) Να υπολογιστούν αμέσως μετά την κατάργηση της δύναμης F₂ (τη στιγμή t₁⁺):

 α) Η επιτάχυνση του κέντρου Κ του δίσκου.

  β) Η επιτάχυνση του σημείου Α

  γ) Ο ρυθμός μεταβολής του μέτρου της ταχύτητας του σημείου Α.

Δίνεται η ροπή αδράνειας του δίσκου ως προς κατακόρυφο άξονα που περνά από το κέντρο του Ι= ½ mR².

Απάντηση:

ή

Η κίνηση του δίσκου

Η επιτάχυνση του σημείου εφαρμογής

Σε λείο οριζόντιο επίπεδο ηρεμεί ένας λεπτός κυκλικός δίσκος, μάζας m, με το επίπεδό του οριζόντιο. Σε μια στιγμή ασκείται σε σημείο Α της περιφέρειάς του, μια δύναμη F, όπως στο σχήμα.

i) Το σημείο Α θα αποκτήσει επιτάχυνση, αμέσως μετά την άσκηση της δύναμης:

α) μέτρου F/m με διεύθυνση ίδια με τη δύναμη.

β) μέτρου μεγαλύτερου από F/m και διεύθυνση ίδια με τη διεύθυνση της δύναμης F.

γ) Τίποτα από τα παραπάνω.

ii) Η παραπάνω επιτάχυνση:

α) Είναι μόνο επιτρόχια (μεταβάλει το μέτρο της ταχύτητας)

β) Είναι μόνο κεντρομόλος (μεταβάλλει τη διεύθυνση της ταχύτητας)

γ) Έχει μια κεντρομόλο και μια επιτρόχια συνιστώσα.

Απάντηση

ή

Η επιτάχυνση του σημείου εφαρμογής

Άντληση νερού με λάστιχο

Διαθέτουμε μια πολύ μεγάλη δεξαμενή με νερό, από την οποία θα αντλήσουμε νερό, με χρήση ενός λάστιχου (σωλήνα) ΑΒ, το οποίο χρησιμοποιείται όπως στο σχήμα.

i) Η ταχύτητα εκροής στο άκρο Β του λάστιχου, εξαρτάται:

α) Από το ύψος Η=h₁.

β) Από το ύψος Η=h₁+h₂.

γ) Από το ύψος Η= h₁+h₂+h₃.

δ) Από το ύψος h₃, αρκεί να έχουμε εκροή.

ii) Η πίεση στον άξονα του λάστιχου έχει ελάχιστη τιμή:

α) p_min=p_ατμ,  β) p_min=p_ατμ+ρgh₂,  γ) p_min=p_ατμ-ρgh₁, δ) p_min=p_ατμ-ρg(h₁+h₂+h₃)

Να δικαιολογήσετε τις απαντήσεις σας.

Το νερό να θεωρηθεί ιδανικό ρευστό και το ύψος του νερού στη δεξαμενή σταθερό.

Απάντηση:

ή

Άντληση νερού με λάστιχο

Μια μόνιμη ροή και η πίεση

Κοντά στον πυθμένα μιας μεγάλης δεξαμενής, συνδέεται ένας χονδρός οριζόντιος σωλήνας διατομής Α₁, ο οποίος καταλήγει σε δεύτερο διατομής Α₂= ½ Α₁. Μέσω των σωλήνων αυτών έχει αποκατασταθεί μια μόνιμη ροή νερού, το οποίο θεωρούμε ιδανικό ρευστό με παροχή Π₁.

i) Η πίεση στο σημείο Α έχει τιμή:

α) p_Α=p_ατμ,  β) p_Α=p_ατμ + ½ ρgh,  γ) p_Α=p_ατμ + ¾  ρgh,  δ) p_Α=p_ατμ + ρgh

ii) Αν ο σωλήνας δεν στένευε αλλά είχε σταθερή διατομή Α₁, τότε για την παροχή Π₂ θα είχαμε:

α) Π₂=Π₁,  β) Π₂=2Π₁,  γ) Π₂=4Π₁

Να δικαιολογήσετε τις απαντήσεις σας.

Απάντηση.

ή

Μια μόνιμη ροή και η πίεση

Η δύναμη από το υγρό στις τάπες.

Διαθέτουμε μια μεγάλη κυλινδρική δεξαμενή νερού με βάθος Η=1,25m, στο κάτω μέρος της οποίας συνδέεται ένας οριζόντιος σωλήνας διατομής Α=2cm², ο οποίος κλείνεται με την τάπα 1. Στο σωλήνα αυτό έχει συνδεθεί ένας δεύτερος κατακόρυφος σωλήνας, ίδιας διατομής και ύψους h=2m, το πάνω μέρος του οποίου κλείνεται με την τάπα 2. Ο κατακόρυφος σωλήνας είναι γεμάτος με νερό.

i)  Να υπολογιστούν οι δυνάμεις που ασκεί το νερό στις δυο τάπες.

ii)  Ανοίγουμε την τάπα 1. στο άκρο του οριζόντιου σωλήνα και αποκαθίσταται  μια μόνιμη ροή. Να βρεθεί η παροχή του οριζόντιου σωλήνα.

iii) Να υπολογιστεί η δύναμη που ασκεί τώρα το νερό στην τάπα 2.

iv) Ανοίγουμε και την τάπα 2. Μόλις σταθεροποιηθεί ξανά η ροή, ποιο το ύψος του νερού στον κατακόρυφο σωλήνα;

Το νερό θεωρείται ιδανικό ρευστό πυκνότητας ρ=1.000kg/m³, ενώ σε όλη τη διάρκεια της ροής θεωρείται σταθερό το ύψος του νερού στη δεξαμενή. Δίνονται επίσης p_ατμ=10⁵Ν/m² και g=10m/s².

Απάντηση:

ή

Η δύναμη από το υγρό στις τάπες.