Ας ενισχύσουμε την ταλάντωση

Μια σφαίρα μάζας m=2kg εκτελεί μια απλή αρμονική ταλάντωση, μεταξύ των θέσεων Β και Γ, γύρω από τη θέση ισορροπίας Ο, όπως στο σχήμα, με εξίσωση απομάκρυνσης:

x=0,2∙ημ(2πt)   μονάδες στο S.Ι.

i)   Να υπολογιστεί η ενέργεια ταλάντωσης, καθώς και η ταχύτητα της σφαίρας, τη στιγμή t₁ που περνά από το μέσον Μ της ΟΓ, κινούμενη προς τα δεξιά (θετική κατεύθυνση).

Τη στιγμή t₁ στη σφαίρα ασκείται μια σταθερή δύναμη F₁ μέτρου F₁=21Ν, με κατεύθυνση προς τα δεξιά, όπως στο πάνω σχήμα, μέχρι να φτάσει η σφαίρα στη θέση Ν, έχοντας μετατοπισθεί κατά Δx=0,4m, οπότε η δύναμη παύει να ασκείται. Να βρεθούν:

ii) Η επιτάχυνση της σφαίρας μόλις ασκηθεί η δύναμη F₁.

iii) Η τελική ενέργεια ταλάντωσης της σφαίρας, καθώς και η ταχύτητά της τη στιγμή που παύει να ασκείται πάνω της η δύναμη F₁.

iv) Αν δεν ασκείτο στη σφαίρα η παραπάνω δύναμη F₁, αλλά μια άλλη δύναμη F₂, με μέτρο F₂=8Ν , τη στιγμή που βρίσκεται στην ακραία αρνητική θέση της Β (κάτω σχήμα) και για χρονικό διάστημα Δt=0,5s, ποια θα ήταν τελικά η ενέργεια ταλάντωσης, μετά την κατάργησή της;

Δίνεται π²≈10

Απάντηση:

ή

 Ας ενισχύσουμε την ταλάντωση

Ας ενισχύσουμε την ταλάντωση

Η μηχανική ενέργεια και η ενέργεια ταλάντωσης

Στο σχήμα το ελατήριο είναι ιδανικό και στηρίζεται στο έδαφος σε κατακόρυφη θέση. Αφήνουμε μια πλάκα να πέσει από ορισμένο ύψος και να συμπιέσει το ελατήριο, οπότε στη διάρκεια της συμπίεσης, το σώμα εκτελεί ΑΑΤ, με ενέργεια ταλάντωσης Ε_τ.  Θεωρώντας το οριζόντιο επίπεδο που περνά από το άνω άκρο του ελατηρίου, ως επίπεδο μηδενικής βαρυτικής δυναμικής ενέργειας, το σύστημα σώμα-Γη-ελατήριο έχει μηχανική ενέργεια Ε_Μ.

i)  Για τις παραπάνω δύο ενέργειες ισχύει:

α) Ε_Τ < Ε_Μ,    β)  Ε_Τ = Ε_Μ,    γ) Ε_Τ > Ε_Μ.

ii)  Ποια θα ήταν η απάντηση στο παραπάνω ερώτημα, αν θεωρούσαμε ως επίπεδο μηδενικής βαρυτικής δυναμικής ενέργειας (U=0), το οριζόντιο επίπεδο που περνά από την θέση ισορροπίας του σώματος, στη διάρκεια της ταλάντωσής του;   

Να δικαιολογήσετε τις απαντήσεις σας.

Απάντηση:

ή

   Η μηχανική ενέργεια και η ενέργεια ταλάντωσης

Η μηχανική ενέργεια και η ενέργεια ταλάντωσης

Δυο κρούσεις και στη συνέχεια δυο ΑΑΤ

 

Στο πάνω άκρο ενός κατακόρυφου ιδανικού ελατηρίου, σταθεράς k, το άλλο άκρο του οποίου έχει στερεωθεί στο έδαφος, ηρεμεί μια πλάκα Π₁ μάζας m₁=3m (αριστερό σχήμα). Από ορισμένο ύψος h, πάνω από την πλάκα αφήνεται μια σφαίρα Β μάζας m₂=m να πέσει και να συγκρουσθεί με την πλάκα κεντρικά και ελαστικά. Η σφαίρα Β απομακρύνεται μετά την κρούση, ενώ η πλάκα Π₁ εκτελεί ΑΑΤ με περίοδο Τ₁ και πλάτος Α₁.

Στο δεξιό σχήμα, η πλάκα Π₂ έχει μάζα m₃=m, το ελατήριο την ίδια σταθερά k και από το ίδιο ύψος h αφήνεται ένα σώμα Γ, μάζας m₄=2m να πέσει και να συγκρουσθεί πλαστικά με την πλάκα. Μετά την κρούση ακολουθεί μια κατακόρυφη ΑΑΤ του συσσωματώματος με περίοδο Τ₂ και πλάτος Α₂.

i) Για τις δύο παραπάνω περιόδους ισχύει:

α) Τ₁ < Τ₂,    β) Τ₁ = Τ₂,    γ) Τ₁ > Τ₂.

ii) Για τα αντίστοιχα πλάτη ταλάντωσης ισχύει:

 α) Α₁ < Α₂,    β) Α₁ = Α₂,    γ) Α₁ > Α₂.

Να δικαιολογήσετε τις απαντήσεις σας.

Απάντηση:

ή

   Δυο κρούσεις και στη συνέχεια δυο ΑΑΤ

Δυο κρούσεις και στη συνέχεια δυο ΑΑΤ

Μετά την πλαστική κρούση μια αατ.

Τα σώματα Σ και Σ₁ με μάζες m=4kg και m₁=2kg είναι δεμένα στα άκρα ενός ιδανικού ελατηρίου σταθεράς k=400Ν/m και συγκρατούνται όπως στο αριστερό σχήμα, με τον άξονα του ελατηρίου, που έχει το φυσικό μήκος του l₀=0,4m, κατακόρυφο. Στη θέση αυτή το Σ₁ απέχει κατά h₁=0,15m, από το έδαφος. Κάποια στιγμή, την οποία θεωρούμε ως t₀=0, αφήνουμε ταυτόχρονα τα σώματα, να πέσουν, οπότε μετά από λίγο το Σ₁ προσκολλάται στο έδαφος, χωρίς να αναπηδήσει.

i)  Να βρεθεί η επιτάχυνση κάθε σώματος, καθώς και η χρονική στιγμή που το Σ₁ θα συγκρουσθεί με το έδαφος.

ii) Να αποδειχτεί ότι το σώμα Σ θα εκτελέσει ΑΑΤ, μετά την προσκόλληση του Σ₁ με το έδαφος.

iii) Να υπολογιστεί το κλάσμα της αρχικής μηχανικής ενέργειας του συστήματος, το οποίο εμφανίζεται ως ενέργεια ταλάντωσης του σώματος Σ. Για τον υπολογισμό της μηχανικής ενέργειας θεωρείστε το έδαφος ως επίπεδο μηδενικής δυναμικής ενέργειας.

iv) Να βρείτε μεταξύ ποιων τιμών θα μεταβάλλεται το μήκος του ελατηρίου, κατά τη διάρκεια της ταλάντωσης και να κάνετε τη γραφική παράσταση της δύναμης που ασκεί το ελατήριο στο σώμα Σ, σε συνάρτηση με την απομάκρυνση από τη θέση ισορροπίας, θεωρώντας την προς τα πάνω κατεύθυνση ως θετική.

v)  Να βρείτε επίσης τη συνάρτηση h=h(t), του ύψους από το έδαφος του σώματος Σ, σε συνάρτηση με το χρόνο και να κάνετε τη γραφική της παράσταση.

Δίνεται g=10m/s².     

Απάντηση:

ή

   Μετά την πλαστική κρούση μια αατ.

Μετά την πλαστική κρούση μια αατ.

Ένα σύστημα δύο σωμάτων σε ταλάντωση

Τα σώματα Σ₁ και Σ₂ με μάζες m₁=1kg και m₂=3kg ηρεμούν σε λείο οριζόντιο επίπεδο, σε επαφή, δεμένα στα άκρα δύο οριζόντιων ιδανικών ελατηρίων με σταθερές k₁=100Ν/m και k₂=60Ν/m αντίστοιχα. Το Σ₁ διατηρεί το ελατήριο k₁ συσπειρωμένο κατά Δl₁=0,4m, με τη βοήθεια ενός νήματος που το συνδέει με κατακόρυφο τοίχο, ενώ το δεύτερο ελατήριο έχει το φυσικό μήκος του.

i)  Να υπολογιστεί  η τάση το νήματος, καθώς και η δύναμη F₁₂ που ασκείται στο σώμα Σ₁ από το Σ₂.

Σε μια στιγμή t₀=0 κόβουμε το νήμα.

ii) Να υπολογίστε την αρχική επιτάχυνση α₀ που θα αποκτήσουν τα δυο σώματα, καθώς και το μέτρο της δύναμης F₁₂, αμέσως μόλις κοπεί το νήμα.

iii) Αφού αποδειχθεί ότι το σύστημα  των δύο σωμάτων εκτελεί ΑΑΤ, να υπολογισθεί η περίοδος της ταλάντωσης, καθώς και η μέγιστη ταχύτητα του συστήματος των δύο σωμάτων.

iv) Υποστηρίζεται ότι τα δυο σώματα κάποια στιγμή της διάρκειας της ταλάντωσης αποχωρίζονται. Για να εξετάσουμε την υπόθεση αυτή, βρίσκουμε την δύναμη αλληλεπίδρασης μεταξύ των σωμάτων. Στη θέση που αυτή μηδενίζεται, τα σώματα θα αποχωρίζονται κινούμενα αυτόνομα. Να βρεθεί λοιπόν η δύναμη F₂₁ σε συνάρτηση με την απομάκρυνση από τη θέση ισορροπίας και να γίνει η γραφική της παράσταση. Τι συμπεραίνετε, αποχωρίζονται τα σώματα, εκτελώντας από κάποια θέση και μετά, το καθένα τη δική του ταλάντωση;

Δίνεται π²≈10.

Απάντηση:

ή

 Ένα σύστημα δύο σωμάτων σε ταλάντωση

Ένα σύστημα δύο σωμάτων σε ταλάντωση

Οι ταλαντώσεις και ένα διάγραμμα

Τα σώματα Σ₁ και Σ₂ του  σχήματος, είναι δεμένα στα άκρα δύο οριζόντιων ιδανικών ελατηρίων και ισορροπούν σε επαφή, πάνω σε ένα λείο οριζόντιο επίπεδο.

i)  Αν το πρώτο ελατήριο σταθεράς k₁ έχει το φυσικό μήκος του, να αποδείξτε ότι και το δεύτερο ελατήριο k₂, έχει επίσης το φυσικό του μήκος.

Εκτρέπουμε το σώμα Σ₁ προς τα δεξιά συμπιέζοντας το ελατήριο κατά Α₀ και το αφήνουμε να ταλαντωθεί. Στο κάτω σχήμα δίνεται η απομάκρυνση του σώματος Σ₁ σε συνάρτηση με το χρόνο, όπου τις στιγμές t₁ και t₂ συγκρούεται κεντρικά και ελαστικά με το σώμα Σ₂.

ii) Για τις παραπάνω χρονικές στιγμές ισχύει:

α)  t₂ < 3t₁,    β)  t₂ = 3t₁,    γ)  t₂ > 3t₁.

iii) Για τις μάζες m₁ και m₂ των σωμάτων Σ₁ και Σ₂ αντίστοιχα ισχύει:

α) m₁ < m₂,    β) m₁ = m₂,    γ) m₁ > m₂.

iv) Αν m₂=2m₁ να υπολογίσετε τα πλάτη ταλάντωσης των δύο σωμάτων, μετά την πρώτη μεταξύ τους κρούση, σε συνάρτηση με το αρχικό πλάτος Α₀ του Σ₁.

Δίνεται ότι οι κινήσεις των σωμάτων μεταξύ των δύο κρούσεων είναι τμήματα ΑΑΤ, ενώ ούτε και το σώμα Σ₂ έχει ολοκληρώσει μια πλήρη ταλάντωση μεταξύ πρώτης και δεύτερης κρούσης.

Απάντηση:

ή

 Οι  ταλαντώσεις και ένα διάγραμμα

Οι  ταλαντώσεις και ένα διάγραμμα

Θέματα Επαναληπτικών εξετάσεων στη Φυσική

Δύο ιδανικά ελατήρια Α και Β με σταθερές k₁ και k₂ αντίστοιχα κρέμονται από δύο ακλόνητα σημεία (Σχήμα 3). Στα κάτω άκρα των ελατηρίων Α και Β είναι δεμένα και ισορροπούν δύο σώματα Σ₁ μάζας m₁ και Σ₂ μάζας m₂ .

Στην κατάσταση αυτή το ελατήριο Α έχει διπλάσια επιμήκυνση από το ελατήριο Β. Εκτρέπουμε τα σώματα Σ₁ και Σ₂ κατακόρυφα μέχρις ότου τα ελατήρια αποκτήσουν το φυσικό τους μήκος και τα αφήνουμε ελεύθερα. Τα σώματα Σ1 και Σ₂ εκτελούν απλή αρμονική ταλάντωση με ενέργειες ταλάντωσης E₁ και E₂ =2E₁  αντίστοιχα.

Ο λόγος των σταθερών k₁ και k₂ των δύο ελατηρίων Α και Β είναι ίσος με:

Δείτε όλα τα θέματα από εδώ.

Ελαστική κρούση και ίδιες αποστάσεις

Σε οριζόντιο επίπεδο ηρεμούν δύο σώματα Α, Β με μάζες m₁ και m₂ αντίστοιχα, σχήματος κύβου, της ίδιας ακμής και διαφορετικής πυκνότητας. Σε μια στιγμή το σώμα Α δέχεται στιγμιαίο κτύπημα με αποτέλεσμα να αποκτήσει κάποια ταχύτητα υ₀ με κατεύθυνση προς το σώμα Β, με το οποίο συγκρούεται κεντρικά και ελαστικά, μετά από λίγο. Αν τα σώματα εμφανίζουν τον ίδιο συντελεστή τριβής ολίσθησης με το επίπεδο και μετά την κρούση, σταματούν αφού διανύσουν ίσες αποστάσεις, τότε για τις μάζες των σωμάτων ισχύει:

α) m₁=2m₂,   β) m₁=3m₂,    γ)  m₂=2m₁,   δ)  m₂=3m₁.

Να δικαιολογήσετε την επιλογή σας.

Απάντηση:

ή

 Ελαστική κρούση και ίδιες αποστάσεις

Ελαστική κρούση και ίδιες αποστάσεις