Η κινηματική ενός κυλιόμενου κυλίνδρου

  Ένας ομογενής τροχός, κέντρου Ο και ακτίνας R=0,5m, κυλίεται σε οριζόντιο επίπεδο και στο διάγραμμα δίνεται η γωνιακή του ταχύτητα σε συνάρτηση με το χρόνο, θεωρώντας θετική, την φορά περιστροφής των δεικτών του ρολογιού.

 

i)  Για την χρονική στιγμή t₀=0 να βρεθούν:

α) Η γωνιακή επιτάχυνση του τροχού και η επιτάχυνση του κέντρου μάζας του Ο.

β) Η ταχύτητα καθώς και η οριζόντια και κατακόρυφη συνιστώσα της επιτάχυνσης του σημείου Α, στο άκρο μιας οριζόντιας ακτίνας του τροχού.

ii) Να βρεθεί η επιτάχυνση του ανώτερου σημείου Β του τροχού, τη χρονική στιγμή t₁=2s.

iii) Να υπολογιστεί η επιτάχυνση του σημείου Γ, στο αριστερό άκρο μιας οριζόντιας διαμέτρου τη χρονική στιγμή t₂=4s.

iv) Κατά ποια γωνία έχει περιστραφεί ο τροχός από 0-4s και ποια είναι η αντίστοιχη μετατόπιση του κέντρου του Ο;

Απάντηση:

ή

 Η κινηματική ενός κυλιόμενου κυλίνδρου

 Η κινηματική ενός κυλιόμενου κυλίνδρου

Η πίεση του εγκλωβισμένου αέρα

 Μια δεξαμενή περιέχει νερό, ενώ κοντά στον πυθμένα της συνδέεται οριζόντιος σωλήνας.  Στον σωλήνα αυτόν, έχει προσαρμοσθεί ένας δεύτερος λεπτός κατακόρυφος σωλήνας, κλειστός στο άνω άκρο του, εντός του οποίου έχει εγκλωβιστεί κάποια ποσότητα αέρα και εντός του οποίου το νερό έχει ανέβει κατά h όπως στο σχήμα.

i)  Αναφερόμενοι στο σχήμα (α), όπου το άκρο του οριζόντιου σωλήνα έχει κλειστεί με τάπα, για την πίεση p₁ του εγκλωβισμένου αέρα, θα ισχύει:

α) p₁ < p_ατμ,    β) p₁ < p_ατμ,     γ)  p₁ > p_ατμ.

Όπου p_ατμ η ατμοσφαιρική πίεση.
ii) Αναφερόμενοι στο (β) σχήμα, όπου έχει αφαιρεθεί η τάπα και έχει αποκατασταθεί μια μόνιμη ροή, για την πίεση p₂ του εγκλωβισμένου αέρα, θα ισχύει:

α) p₂ < p₁,     β) p₂ = p₁,      γ) p₂  > p₁.

   Το νερό θεωρείται ιδανικό ρευστό.
Απάντηση:
ή 

 Η πίεση του εγκλωβισμένου αέρα

 Η πίεση του εγκλωβισμένου αέρα

Και σημεία μιας κατακόρυφης τομής σωλήνα

 

 Στο σχήμα βλέπουμε μια κατακόρυφη τομή ενός σωλήνα ύδρευσης, ο οποίος ενώ αρχικά είναι οριζόντιος λυγίζει προς τα κάτω, εντός του οποίου έχει αποκατασταθεί μια μόνιμη ροή. Το νερό θεωρείται ιδανικό ρευστό.
i) Για τις πιέσεις στα σημεία 1 και 2 ισχύει:

α) p₁< p₂,   β) p₁ = p₂,    γ) p₁ > p₂.

ii) Για τις πιέσεις στα σημεία 3 και 4 ισχύει:

α) p₄ < p₃ +ρgh,   β) p₄ = p₃ +ρgh,    γ) p₄ > p₃ +ρgh.

Όπου  η επιτάχυνση της βαρύτητας και h η κατακόρυφη απόσταση των δύο σημείων.
Να δικαιολογήσετε τις απαντήσεις σας.

Απάντηση:

ή

   Και σημεία μιας κατακόρυφης τομής σωλήνα

 Και σημεία μιας κατακόρυφης τομής σωλήνα

Σημεία οριζόντιας τομής σωλήνα

 

Στο σχήμα βλέπουμε μια οριζόντια τομή, ενός οριζόντιου σωλήνα, σταθερής διατομής, εντός του οποίου έχει αποκατασταθεί μια μόνιμη ροή ενός ιδανικού υγρού.

i)  Να αποδειχθεί ότι η πίεση στα σημεία 1, 2 και 3 έχει την ίδια τιμή.

ii) Για τις πιέσεις στα σημεία 4 και 5, στο καμπύλο τμήμα του σωλήνα, ισχύει:

α) p₄ < p₅,     β) p₄ = p₅,       γ) p₄ > p₅.

Να δικαιολογήσετε τις απαντήσεις σας.

Απάντηση:

ή

  Σημεία οριζόντιας τομής σωλήνα

  Σημεία οριζόντιας τομής σωλήνα

 

Η γωνιακή επιτάχυνση και η τριβή.

 

Σε οριζόντιο επίπεδο συγκρατείται ένας ομογενής δίσκος κέντρου Ο,  ακτίνας R=0,2m και μάζας m=0,5kg, όπου στο άκρο μιας οριζόντιας ακτίνας του, έχει προσκολληθεί ένα σημειακό σώμα Σ μάζας m, παίρνοντας έτσι το στερεό S.  Σε μια στιγμή ασκούμε στο Σ μια οριζόντια δύναμη F=5Ν, ενώ ταυτόχρονα αφήνεται το στερεό S να κινηθεί.

Αν ο δίσκος κυλίεται (χωρίς να ολισθήσει) να υπολογιστεί η αρχική επιτάχυνση του κέντρου Ο του δίσκου, καθώς και η τριβή που θα δεχτεί από το επίπεδο, αμέσως μόλις αφεθεί να κινηθεί.

Δίνεται η ροπή αδράνειας του δίσκου ως προς κάθετο άξονα που περνά από το κέντρο του Ι= ½ mR².

Απάντηση:

ή

   Η γωνιακή επιτάχυνση και η τριβή.

   Η γωνιακή επιτάχυνση και η τριβή.

Όταν ανοίξουμε την τάπα.

Ένα κυλινδρικό σώμα Σ εμβαδού βάσης Α=20cm² και ύψους l=20cm, κρέμεται στο κάτω άκρο κατακόρυφου ελατηρίου σταθεράς k=30Ν/m, το άλλο άκρο του οποίου έχει δεθεί σε σταθερό σημείο. Όταν το Σ τίθεται σε κατακόρυφη ταλάντωση εκτελεί 5 ταλαντώσεις σε χρονικό διάστημα t₁=3,14s.

i) Ποια η πυκνότητα του σώματος Σ;

Το σώμα Σ τοποθετείται στο εσωτερικό του δεξιού δοχείου, όπως στο σχήμα, εμβαδού διατομής Α₁=30cm², το οποίο συνδέεται με σωλήνα, ο οποίος κλείνεται με τάπα, με το αριστερό δοχείο, εμβαδού βάσης Α₂=90cm², το οποίο περιέχει νερό μέχρι ύψος Η=50cm. Ανοίγουμε την τάπα και τελικά αποκαθίσταται ισορροπία με το νερό σε ύψος h=40cm και στα δυο δοχεία.

ii)  Να υπολογιστεί η μεταβολή της πίεσης, σε ένα σημείο κοντά στον πυθμένα του αριστερού δοχείου, εξαιτίας της πτώσης της στάθμης του νερού.

iii) Να βρεθεί το ύψος l₁ του σώματος Σ που βυθίζεται στο νερό.

iv) Πόσο ανεβαίνει το σώμα Σ, εξαιτίας της μεταφοράς του νερού στο δεξιό δοχείο;

Δίνεται η πυκνότητα του νερού ρ=1g/cm³, g=10m/s², ενώ ο σωλήνας που συνδέει τα δύο σκέλη του δοχείου, έχει αμελητέο όγκο.

Απάντηση:

ή

  Όταν ανοίξουμε την τάπα.

 Όταν ανοίξουμε την τάπα.

Ένα κλειστό δοχείο με δύο τάπες.

 

Στο σχήμα βλέπετε ένα δοχείο κυβικού σχήματος πλευράς α=2m, το οποίο είναι γεμάτο πλήρως με νερό και στο οποίο υπάρχουν δύο μικρές τρύπες διατομής Α=2cm², οι οποίες κλείνονται με τάπες αμελητέου βάρους, και για την ισορροπία των οποίων απαιτείται να τους ασκούμε τις δυνάμεις F₁ και F₂. Αν δεν αναπτύσσονται τριβές μεταξύ τάπας και τοιχωμάτων του δοχείου, ενώ η Α τάπα βρίσκεται στο μέσον της δεξιάς πλευράς (h=1m) και για την ισορροπία της απαιτείται άσκηση οριζόντιας  δύναμης F₁=4Ν, να υπολογιστούν:

i) Η δύναμη που ασκείται στην τάπα Α από την ατμόσφαιρα.

ii) Η πίεση στην αριστερή πλευρά της τάπας Α.

iii) Το μέτρο της κατακόρυφης δύναμης F₂ για την ισορροπία της τάπας Β.

iv) Να υπολογιστούν οι δυνάμεις που το νερό ασκεί στην πάνω και στην κάτω βάση του δοχείου.

Δίνεται η πυκνότητα του νερού ρ=1.000kg/m³, g=10m/s² και η ατμοσφαιρική πίεση p_ατ=1∙10⁵Ρα.

Απάντηση:

ή

  Ένα κλειστό δοχείο με δύο τάπες.

  Ένα κλειστό δοχείο με δύο τάπες.

Κινδυνεύουμε να έχουμε ολίσθηση;

  

Ένα σώμα Σ μάζας m=1kg ηρεμεί σε λείο κεκλιμένο επίπεδο γωνίας κλίσεως θ=30°, δεμένο στο άκρο ιδανικού ελατηρίου και στο άκρο νήματος, παράλληλου προς το επίπεδο, όπως στο σχήμα. Σε μια στιγμή κόβουμε το νήμα, οπότε το σώμα εκτελεί αατ, με αρχική επιτάχυνση μέτρου |α₁|=10m/s² ενώ ολοκληρώνει πέντε πλήρεις ταλαντώσεις σε χρονικό διάστημα t₁=3,14s.

i) Να υπολογιστούν:

 α) το πλάτος της ταλάντωσης του σώματος Σ.

 β) Η τάση Τ₁ του νήματος, πριν το κόψουμε.

 γ) Η μέγιστη συσπείρωση του ελατηρίου.

ii) Επαναλαμβάνουμε το πείραμα, αλλά τώρα προσθέτουμε πάνω στο σώμα Σ, ένα δεύτερο σώμα Σ΄ με μάζα επίσης m, το οποίο ισορροπεί.

α) Να υπολογιστεί η τάση του νήματος Τ₂.

β) Αν ο συντελεστής οριακής στατικής τριβής μεταξύ των δύο σωμάτων είναι μ_s=0,8, να εξετάσετε τι πρόκειται να συμβεί, αν κόψουμε το νήμα: Τα δυο σώματα θα ταλαντώνεται μαζί, ή θα υπάρξει ολίσθηση μεταξύ τους.

Δίνεται g=10m/s², ενώ θεωρούνται γνωστοί οι τριγωνομετρικοί αριθμοί της γωνίας των 30°!!!

Απάντηση:

 ή

   Κινδυνεύουμε να έχουμε ολίσθηση;

   Κινδυνεύουμε να έχουμε ολίσθηση;