Μέγιστη στροφορμή και ρυθμός μεταβολής της.

Μια ομογενής ράβδος μάζας Μ και μήκους ℓ, μπορεί να στρέφεται χωρίς τριβές, γύρω από οριζόντιο άξονα που περνά από το μέσον της Ο, διαγράφοντας κατακόρυφο επίπεδο. Στο ένα της άκρο έχει προσδεθεί μια σημειακή μάζα Μ, οπότε έτσι έχουμε δημιουργήσει ένα στερεό S. Φέρνουμε το στερεό S, στη θέση που φαίνεται στο σχήμα και το αφήνουμε ελεύθερο να κινηθεί.

i) Ο μέγιστος ρυθμός μεταβολής της στροφορμής του στερεού, ως προς τον άξονα περιστροφής του στο Ο, έχει μέτρο:

α) 1/3 Μgℓ             β) ½ Μgℓ       γ) 1/3 Μgℓ²    δ) 1/3 Μgℓ²∙ω

ii) Αν η σημειακή μάζα αποκτήσει μέγιστη ταχύτητα μέτρου υ, τότε η μέγιστη στροφορμή του στερεού, ως προς τον άξονα περιστροφής του στο Ο, έχει μέτρο:

α)  1/3 Μℓυ   β) 2/3 Μℓυ     γ) 1/3 Μℓ²υ    δ) 2/3 Μℓ²υ.

Να δικαιολογήστε τις απαντήσεις σας.

Δίνεται η ροπή αδράνειας ομογενούς ράβδου ως προς κάθετο σε αυτήν άξονα που περνά από το μέσον της Ι= Μℓ²/12

Απάντηση: 

ή

Μέγιστη στροφορμή και ρυθμός μεταβολής της.

Ένα δεύτερο θέμα με δυο ταλαντώσεις.

Ένα σώμα ηρεμεί στο κάτω άκρο ενός κατακόρυφου ελατηρίου, όπως στο σχήμα, θέση (1). Σε μια στιγμή ασκούμε πάνω του μια σταθερή κατακόρυφη δύναμη F, μέχρι τη θέση (2) που μηδενίζεται η ταχύτητα του σώματος, όπου και η δύναμη παύει να ασκείται.

i) Αν η διάρκεια της κίνησης προς τα κάτω, από την θέση (1) μέχρι τη θέση (2), με την επίδραση της δύναμης F είναι t₁, ενώ η διάρκεια της επιστροφής, μέχρι την αρχική του θέση (1) είναι t₂, τότε για το λόγο t₁/t₂ ισχύει:

α) t₁/t₂= ½              β) t₁/t₂ = 1            γ) t₁/t₂=2         δ) t₁/t₂= 1/3

ii) Αν υ₁ η τιμή της μέγιστης ταχύτητας του σώματος κατά την κάθοδο και υ₂ η μέγιστη ταχύτητα κατά την κάθοδο, τότε ισχύει:

α) υ₁/υ₂=  ½      β) υ₁/υ₂= 1       γ) υ₁/υ₂=2

Να δικαιολογήσετε τις απαντήσεις σας.

Απάντηση:

ή

Ένα δεύτερο θέμα με δυο ταλαντώσεις.

Προσπαθώντας να υπερπηδήσει το εμπόδιο…

Γύρω από έναν κύλινδρο τυλίγουμε ένα νήμα στο άκρο του οποίου ασκούμε οριζόντια δύναμη F₁, με στόχο να υπερπηδήσει ο κύλινδρος ένα πακτωμένο εμπόδιο, ύψους h=R, όπως στο σχήμα. Το οριζόντιο επίπεδο είναι λείο και ο κύλινδρος ισορροπεί.

i) Σχεδιάστε τη δύναμη που ασκείται στον κύλινδρο στο σημείο επαφής του με το εμπόδιο Κ, δικαιολογώντας την κατεύθυνσή της.

ii) Η κάθετη αντίδραση του επιπέδου είναι:

α)  Μεγαλύτερη από το βάρος του κυλίνδρου.

β)  Ίση με το βάρος του κυλίνδρου.

γ)  Μικρότερη από το βάρος.    

iii) Αυξάνουμε σιγά-σιγά το μέτρο της δύναμης F₁. Τη στιγμή που ο κύλινδρος είναι έτοιμος να υπερπηδήσει το εμπόδιο, το μέτρο της δύναμης F₁ είναι:

α) Ίσο με το βάρος του κυλίνδρου.

β) Μεγαλύτερο από το βάρος.

γ) Μικρότερο από το βάρος.

iv) Αν δεν αναπτύσσεται τριβή μεταξύ εμποδίου και κυλίνδρου, να εξετάσετε αν μπορεί και με ποιες προϋποθέσεις, ο κύλινδρος να υπερπηδήσει το εμπόδιο.

Να δικαιολογήσετε τις απαντήσεις σας.

Απάντηση:

ή

Προσπαθώντας να υπερπηδήσει το εμπόδιο…

Θα μετακινήσουμε και την βάση της τροχαλίας;

Δίνεται μια τροχαλία, μάζας m=2kg, η οποία στηρίζεται σε βάση μάζας Μ=2kg και η οποία μπορεί να περιστρέφεται γύρω από τον οριζόντιο άξονά της χωρίς τριβές. Γύρω από την τροχαλία, έχουμε τυλίξει αρκετές φορές ένα αβαρές νήμα, το άλλο άκρο του οποίου έχει δεθεί σε σώμα Σ μάζας 1kg, με το νήμα τεντωμένο. Τα σώματα ηρεμούν σε οριζόντιο επίπεδο με το οποίο παρουσιάζουν συντελεστές τριβής μ=μ_s=0,2. Σε μια στιγμή t=0, ασκούμε στο σώμα Σ μια σταθερή οριζόντια δύναμη F, όπως στο σχήμα.

i) Να υπολογιστεί το έργο της  δύναμης F σε χρονικό διάστημα t₁=4s στις παρακάτω περιπτώσεις:

α) Αν F=1Ν

β) Αν F=6Ν

Να βρεθεί σε κάθε περίπτωση η κινητική ενέργεια που αποκτά η τροχαλία.

ii) Ποια η μέγιστη τιμή της δύναμης που μπορούμε να ασκήσουμε στο σώμα Σ, χωρίς να μετακινηθεί η βάση της τροχαλίας;

iii) Ασκώντας μια μεγαλύτερη δύναμη, μετακινείται και η βάση της τροχαλίας, αποκτώντας σταθερή επιτάχυνση α₂=1m/s².

α) Να βρεθεί η κινητική ενέργεια που θα αποκτήσει η τροχαλία σε χρονικό διάστημα 2s, στην περίπτωση αυτή.  

β) Πόση η αντίστοιχη κινητική ενέργεια του σώματος Σ;

Δίνεται η ροπή αδράνεια της τροχαλίας ως προς τον άξονά της Ι= ½ mR² και g=10m/s².

Απάντηση.

ή

Θα μετακινήσουμε και την βάση της τροχαλίας;

Μια ελαστική κρούση και η στροφορμή.

Μια μικρή σφαίρα μάζας m=0,1kg ηρεμεί δεμένη στο κάτω άκρο νήματος μήκους ℓ=3m, το άλλο άκρο του οποίου έχει δεθεί σε σταθερό σημείο Ο,  ενώ εφάπτεται σε ένα σώμα , το οποίο ηρεμεί σε οριζόντιο επίπεδο. Εκτρέπουμε τη σφαίρα φέρνοντάς την στο σημείο Α, σε ύψος h=1,25m και την αφήνουμε να κινηθεί.  Μετά την μετωπική και ελαστική κρούση της σφαίρας με το σώμα Σ, η σφαίρα επιστρέφει φτάνοντας σε ύψος h₁=0,45m, ενώ το σώμα Σ διανύει απόσταση x=2m, μέχρι να σταματήσει. Να υπολογιστούν:

i)   Η μάζα M του σώματος Σ.

ii)  Η μεταβολή της ορμής της σφαίρας που οφείλεται στην κρούση.

iii) Ο συντελεστής τριβής ολίσθησης μεταξύ του σώματος Σ και του επιπέδου.

iv) Τη στιγμή που η σφαίρα βρίσκεται σε ύψος h₂=0,25m κατά την άνοδό της, να βρεθούν:

α) Η  στροφορμή της σφαίρας (μέτρο και κατεύθυνση) ως προς το σημείο Ο, καθώς και ο ρυθμός μεταβολής της αντίστοιχης στροφορμής.

β) Ο ρυθμός μεταβολής της κινητικής ενέργειας της σφαίρας.

Δίνεται g=10m/s².

Απάντηση:

ή

Μια ελαστική κρούση και η στροφορμή.

Φαινόμενο Doppler σε μια ευθύγραμμη κίνηση.

Ένα αυτοκίνητο κινείται ευθύγραμμα με σταθερή ταχύτητα. Ο συνοδηγός του αυτοκινήτου κρατά στο χέρι του ένα ευαίσθητο μικρόφωνο, με την βοήθεια του οποίου μπορεί να μετρά τη συχνότητα του ήχου. Μια πηγή s αρμονικού ήχου, απέχει κατά (ΚΟ)= d=30m από τον δρόμο και κάποια στιγμή εκπέμπει έναν απλό ήχο, ορισμένης διάρκειας. Το μικρόφωνο αρχίζει να καταμετρά τον ήχο τη στιγμή, που απέχει απόσταση  (ΒΟ)=d₁= 40m από το Ο με αρχική ένδειξη 7.120Ηz, ενώ η ένδειξη αυτή ελαττώνεται, φτάνοντας σε ελάχιστη τιμή 6.800Ηz, τη στιγμή που φτάνει στο σημείο Ο, όπου και σταματά να ακούγεται ήχος.

i)  Να ερμηνεύσετε την μείωση της συχνότητας του ήχου που μετράει ο συνοδηγός.

ii)  Ποια η συχνότητα του ήχου που παράγει η πηγή s;

iii) Να υπολογιστεί η ταχύτητα του αυτοκινήτου.

iv) Να βρεθεί ο αριθμός των ταλαντώσεων που εκτέλεσε η πηγή του ήχου.

Δίνεται η ταχύτητα του ήχου στον αέρα υ=340m/s.

Απάντηση:

ή

Φαινόμενο Doppler σε μια ευθύγραμμη κίνηση.

Τρία αυτοκίνητα και φαινόμενο Doppler.

Σε ένα ευθύγραμμο δρόμο κινούνται τρία αυτοκίνητα Α,Β και Γ με την ίδια σταθερή ταχύτητα υ₀=10m/s, όπως στο σχήμα. Το μεσαίο αυτοκίνητο διαθέτει μια σειρήνα, εκπέμποντας έναν αρμονικό ήχο συχνότητας f_s=3500Ηz, για ένα μεγάλο χρονικό διάστημα.

i) Να βρεθούν οι συχνότητες των ήχων που ακούνε οι οδηγοί των αυτοκινήτων Α και Γ.

ii) Να βρεθεί η απόσταση των αυτοκινήτων Α και Γ, από το αυτοκίνητο Β, αν γνωρίζουμε ότι η απόσταση (ΑΒ) είναι ίση με 7.000 μήκη κύματος του ήχου που ακούει ο οδηγός του Α, ενώ η απόσταση (ΒΓ) είναι ίση με 7.000 μήκη κύματος του ήχου που ακούει ο οδηγός του Γ αυτοκινήτου.

iii) Σε μια στιγμή, έστω t₀=0, το αυτοκίνητο Α επιταχύνεται με επιτάχυνση α=2m/s² μέχρι να αποκτήσει ταχύτητα υ₁=30m/s, οπότε και συνεχίζει πλέον με σταθερή ταχύτητα μέχρι τη στιγμή t₁=15s.

α) Να κάνετε τη γραφική παράσταση της συχνότητας του ήχου που ακούει ο οδηγός του Α αυτοκινήτου σε συνάρτηση με το χρόνο, μέχρι τη στιγμή t₁.

β) Πόσες ταλαντώσεις εκτέλεσε το τύμπανο του αυτιού του οδηγού του αυτοκινήτου Α από 0-t₁;

γ) Με πόσα μήκη κύματος, του ήχου που ακούει ο οδηγός του Α, είναι ίση η απόσταση μεταξύ των αυτοκινήτων Α και Β την στιγμή t₁;

Δίνεται η ταχύτητα του ήχου στον αέρα υ=340m/s.

Απάντηση:

ή

Τρία αυτοκίνητα και φαινόμενο Doppler.

Ένα δεύτερο θέμα στις κρούσεις.

Αφήνουμε από ένα σημείο Ο ενός λείου κεκλιμένου επιπέδου μια μικρή σφαίρα Α να κινηθεί και φτάνει στη βάση του επιπέδου έχοντας ταχύτητα V.

Επαναλαμβάνουμε τη διαδικασία, αλλά κάποια στιγμή στη διάρκεια της καθόδου, που η σφαίρα Α έχει ταχύτητα υ₁, συγκρούεται κεντρικά και ελαστικά με μια δεύτερη σφαίρα Β της ίδιας μάζας, η οποία κινείται προς τα πάνω και ελάχιστα πριν την κρούση έχει ταχύτητα μέτρου υ₂. Τελικά η Α σφαίρα φτάνει στη βάση του επιπέδου με ταχύτητα ξανά V.

i)  Κατά την κρούση η Α σφαίρα:

α) κέρδισε ενέργεια

β) έχασε ενέργεια

γ) τίποτα από τα δύο.

ii) Η Β σφαίρα θα φτάσει στη βάση του επιπέδου με ταχύτητα V₂, όπου: 

α) V₂ < V       β) V₂ = V        γ) V₂ > V

Να δικαιολογήσετε τις απαντήσεις σας.

Απάντηση:

ή

Ένα δεύτερο θέμα στις κρούσεις.