Παρασκευή, 7 Ιανουαρίου 2011

Κύματα και Ενέργεια

Το προηγούμενο διάστημα έγιναν αρκετές συζητήσεις, κάτω από αναρτήσεις τις οποίες μπορείτε να διαβάσετε από εδώεδώεδώ, αλλά και τη συζήτηση «Στάσιμο κύμα απορία μαθητή»με διάφορες αφορμές πάνω στα κύματα, τρέχοντα και στάσιμα. Είναι ώρα λοιπόν νομίζω να κωδικοποιήσουμε κάποια ερωτήματα, προσπαθώντας να καταλήξουμε σε κάποια τελικά συμπεράσματα και να μην πάει χαμένο όλο αυτό το υλικό που αναφέρθηκε. Θα ήθελα να ευχαριστήσω όλους όσους βοήθησαν με τις παρεμβάσεις τους στο να καταλήξουμε  στα συμπεράσματα που αναφέρω παρακάτω. Χωρίς την ανταλλαγή επιχειρημάτων, πολλές φορές αντίθετων, δεν νομίζω ότι θα μπορούσαν να προκύψουν με σαφή τρόπο όλα αυτά.
Ας προσπαθήσουμε λοιπόν να μοντελοποιήσουμε ένα κύμα, για να μπορέσουμε να κατανοήσουμε το μηχανισμό μεταφοράς ενέργειας.
Το τρέχον κύμα
Ας έρθουμε κατ’ αρχάς στο τρέχον κύμα σε ένα ελαστικό μέσο. Ας το φανταστούμε σαν μια σειρά ευδιάκριτων υλικών σημείων, τα οποία συνδέονται με ελατήρια, όπου όλα είναι τεντωμένα κατά Δl και βρίσκονται στη θέση ισορροπίας τους.
Τι συμβαίνει όταν το άκρο Ο τεθεί από τη πηγή σε (εξαναγκασμένη) ταλάντωση πλάτους Α και συχνότητας f;

Στο παραπάνω σχήμα το Α υλικό σημείο έχει φτάσει στη μέγιστη θετική απομάκρυνσή του και έχει σχεδιαστεί το κύμα να έχει φτάσει μέχρι το υλικό σημείο Δ, δηλαδή έχει διαδοθεί κατά λ/4. Από τι εξαρτάται η απόσταση αυτή λ/4;
1)     Από  το μέτρο της δύναμης που ασκείται από τα ελατήρια στα υλικά σημεία F=kΔl. Και αν μεν η σταθερά k εξαρτάται από το υλικό, η επιμήκυνση των ελατηρίων καθορίζεται από την τάση που τεντώνει το ελαστικό μέσο.
2)     Από τη μάζα κάθε υλικού σημείου ή αν θέλετε από την αδράνεια που προβάλλει το μέσο, σαν μέτρο της απόκρισής του.
Πώς εκφράζονται αυτά μαθηματικά; Μα, το μήκος κύματος (λ=υΤ) εξαρτάται από την ταχύτητα διάδοσης η οποία είναι ίση με:

 (η απόδειξη από το Νίκο Σταματόπουλο εδώ.)

Ας παρακολουθήσουμε στο παρακάτω σχήμα τις θέσεις των υλικών σημείων μετά από χρόνο Τ/2.
όπου οι κόκκινες γραμμές παριστάνουν τα ελατήρια.
Τι βλέπουμε; Όσο πιο κοντά στη θέση ισορροπίας βρίσκεται το ελατήριο τόσο περισσότερο τεντωμένο είναι, συνεπώς έχει και μεγαλύτερη δυναμική ενέργεια. Στο σχήμα μας, μεγαλύτερη δυναμική ενέργεια έχουν τα ελατήρια 1 και 6, ενώ μικρότερη τα ελατήρια 3 και 4.  Μετά από ελάχιστο χρόνο ίσο με Τ/12 η εικόνα θα είναι όπως στο σχήμα (γ).
Το ελατήριο 6 έχει τώρα μικρότερη ενέργεια, αφού μετέφερε ένα μέρος της δυναμικής του  ενέργειας στο (7) μέσω του υλικού σημείου Η, ενώ πήρε και κάποια ενέργεια από το υλικό σημείο Ζ…
Πού κολλάνε όλα αυτά;  Μα στο συμπέρασμα που ανέφερε ο Στέργιος:
«Σ' αυτήν ακριβώς τη θέση η επιμήκυνση του ελαστικού μέσου θα είναι μέγιστη, άρα και η ελαστική δυναμική ενέργεια. Επίσης σ' αυτή τη θέση η κινητική ενέργεια θα είναι μέγιστη. Παράξενα πράματα! Αντίθετα στην ακραία θέση η ΚΕ και η ελαστική ΔΕ θα είναι μηδέν, εφόσον εκεί το μέσον δεν έχει ταθεί σχεδόν καθόλου πριν και μετά το εν λόγω σημείο. ΔΗΛΑΔΗ: Η συνολική ενέργεια δεν είναι σταθερή από σημείο σε σημείο, και αυτό δικαιολογεί την πρόταση ότι η ενέργεια διαδίδεται κατά μήκος του ελαστικού μέσου.»
Στο σημείο αυτό νομίζω αξίζει να τονισθούν δυο προτάσεις διατυπωμένες από το Διονύση Μητρόπουλο:
«Νομίζω πάντως ότι είναι δεδομένο πως τα στοιχειώδη τμήματα του νήματος  δεν κάνουν ΑΑΤ, αφού πρόκειται για εξαναγκασμένη ταλάντωση….. 
Υπάρχει δηλαδή και προσφορά ενέργειας (από το προηγούμενο τμήμα του νήματος) και απώλεια (προς το επόμενο τμήμα κατά τη φορά διάδοσης του κύματος).»
Με βάση τα παραπάνω νομίζω ότι είναι λογικό να διατυπωθούν τα παρακάτω συμπεράσματα:
1)  Τα υλικά σημεία του ελαστικού μέσου, δεν εκτελούν ΑΑΤ. Ταλαντώνονται με τη συχνότητα του διεγέρτη (της πηγής) εκτελώντας μια «εξαναγκασμένη» ταλάντωση, όχι όμως με τα ίδια χαρακτηριστικά αυτής που μελετάμε στο κεφάλαιο των ταλαντώσεων, αφού εδώ έχουμε και μεταφορά ενέργειας, ενώ εκεί η μεταβιβαζόμενη στον ταλαντωτή ενέργεια, αφαιρείται μέσω του έργου της δύναμης απόσβεσης.
2)  Αν εστιάσουμε την προσοχή μας σε μια στοιχειώδη μάζα δεν έχει νόημα να μιλάμε για την ενέργεια ταλάντωσής της. Πέρα από το ότι η ταλάντωσή της δεν είναι ΑΑΤ, δεν έχουμε ούτε καν ένα σώμα με μια σταθερή «στατική», «εγκλωβισμένη» ενέργεια που να μεταβάλλεται από δυναμική σε κινητική και αντίστροφα.
  

Στάσιμο κύμα.
Το παραπάνω μοντέλο μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε και κατά τη μελέτη ενός στάσιμου κύματος. Ας δούμε το παρακάτω σχήμα, όπου στο (α) τα σημεία βρίσκονται σε θέσεις πλάτους.
Σε ποιες θέσεις τα ελατήρια έχουν μεγαλύτερη δυναμική ενέργεια παραμόρφωσης; Προφανώς αυτά που είναι κοντά στα άκρα, δηλαδή κοντά στους δεσμούς, ενώ αντίθετα τα ελατήρια 3,4 έχουν τη μικρότερη επιμήκυνση. Κατά την κίνησή τους όμως μεγαλύτερη κινητική ενέργεια θα αποκτήσουν τα υλικά σημεία που είναι στο μέσον του τμήματος, γύρω από τις κοιλίες. Παρατηρούμε δηλαδή ότι στη διάρκεια της ταλάντωσης, έχουμε και εδώ μεταφορά ενέργειας, στο στιγμιότυπο (β) από τα άκρα προς το κέντρο, ενώ στο (δ) από το κέντρο (κοιλία) προς τα άκρα (δεσμούς), όπως φαίνεται στο σχήμα (πράσινα βελάκια).
Με άλλα λόγια και στο στάσιμο κύμα έχουμε μεταφορά ενέργειας, απλά η ενέργεια αυτή έχει εγκλωβιστεί στο χώρο μεταξύ δύο δεσμών. Συνεπώς ούτε εδώ μπορούμε να μιλάμε για τη μετατροπή της δυναμικής ενέργειας σε κινητική για μια στοιχειώδη μάζα του ελαστικού μέσου. Εξάλλου, ούτε εδώ ένα υλικό σημείο εκτελεί ΑΑΤ, αφού και πάλι η ταλάντωσή του είναι εξαναγκασμένη….

Και στη συμβολή;
Αν έχουμε τώρα μια ανάκλαση κύματος σε σταθερό εμπόδιο όπως στο σχήμα;
Ο Νίκος Ανδρεάδης υποστήριξε ότι «Απλά μόλις σχηματίζεται ένας δεσμός αρχίζει η συμβολή του ενός κύματος με το ανακλώμενο του σε εκείνο τον δεσμό μέχρι να σχηματισθεί ο επόμενος δεσμός. Μετά τον σχηματισμό του δεύτερου δεσμού η ενέργεια που υπήρχε εκείνη τη στιγμή ανάμεσα στους δύο δεσμούς εγκλωβίζεται.»
Προχωρώντας τον ίδιο συλλογισμό ο Γιώργος Ρούσης υποστήριξε ότι και στην περίπτωση του σχήματος
Συμβαίνει ακριβώς το ίδιο Τα δύο κύματα συμβάλουν στο σημείο Δ, δημιουργώντας έναν δεσμό, όπου και ανακλώνται. Νομίζω ότι έχουν δίκιο αμφότεροι.
Πραγματικά αν δούμε τι συμβαίνει μετά το σχηματισμό του πρώτου δεσμού, θα δούμε ότι η μεταφορά ενέργειας γίνεται όπως στο σχήμα:
Δηλαδή η ενέργεια που έχει αποθηκευτεί μεταξύ του σημείου Δ1 και του σημείου Μ του τοίχου, δεν περνάει αριστερότερα αλλά διαδίδεται όπως στο στάσιμο κύμα, προς την κοιλία. Αλλά τότε δεν θα περάσει και άλλη ενέργεια από το τρέχον κύμα προς την περιοχή της πρώτης ατράκτου.
Και ο συντονισμός;
Θα ήθελα να κλείσω και με μια τοποθέτηση- πρόταση.
Τι ακριβώς συμβαίνει με το στάσιμο;
« Όταν σχηματίζεται στάσιμο έχουμε φαινόμενο συντονισμού».
Τι νόημα έχει η παραπάνω πρόταση;
Μια γενική τοποθέτηση είναι ότι όταν έχουμε ένα νήμα με σταθερό το ένα του άκρο και θέσουμε σε ταλάντωση το άλλο του άκρο, δεν έχουμε πρόβλημα συντονισμού, απλά πάνω στο νήμα θα σχηματισθεί ένα στάσιμο, όπου στο ελεύθερο άκρο του, μπορούν να συμβούν τα πάντα. Δεσμός ή κοιλία ή κάποιο ενδιάμεσο πλάτος.
Φαινόμενο συντονισμού έχουμε στην περίπτωση που είναι καθορισμένο εξαρχής, λόγω συνθηκών, τι θα συμβεί πάνω στο νήμα. Αν π.χ. τα δυο του άκρα είναι σταθερά, εκεί θα σχηματισθούν δεσμοί, οπότε για να μπορεί να δημιουργηθεί στάσιμο και όχι μια πολύπλοκη κυματική κατάσταση θα πρέπει η συχνότητα του διεγέρτη να είναι ίση με μια από τις ιδιοσυχνότητες του νήματος.
Γιατί ιδιοσυχνότητες και όχι ιδιοσυχνότητα; Εδώ είναι η διαφορά μεταξύ της ταλάντωσης ενός υλικού σημείου και μιας μάζας κατανεμημένης σε ορισμένη έκταση (ένα γραμμικό ελαστικό μέσο).

Μπορείτε να το κατεβάσετε σε pdf.

Y.Γ.
Και μια απόδειξη, περισσότερο μαθηματική.


Συμπέρασμα; Στις θέσεις που η χορδή έχει μεγάλη κλίση έχουμε μεγαλύτερη δυναμική ενέργεια ή αν θέλετε, στο ανώτερο σημείο (σε μια κορυφή) σε ένα κύμα, αλλά και σε μια κοιλία σε ένα στάσιμο κύμα, η δυναμική ενέργεια είναι μηδέν!!!

Δεν υπάρχουν σχόλια: