Κίνηση συστήματος σωμάτων.

Το σώμα Σ του διπλανού σχήματος έχει μάζα m₁ =2kg και ηρεμεί σε οριζόντιο επίπεδο με το οποίο παρουσιάζει συντελεστή τριβής ολίσθησης μ=0,2. Δένουμε το σώμα στο άκρο νήματος, το οποίο αφού το περάσουμε από μια τροχαλία μάζας m₂=2kg και ακτίνας R=0,2m, ασκούμε στο άλλο του άκρο μια σταθερή κατακόρυφη δύναμη F=10Ν. Το νήμα δεν γλιστράει στην τροχαλία. Ζητούνται:

i) Η επιτάχυνση του σώματος Σ.

ii) Η γωνιακή επιτάχυνση της τροχαλίας.

iii) Πόσες περιστροφές έχει πραγματοποιήσει η τροχαλία μέχρι τη στιγμή που αποκτά γωνιακή ταχύτητα ω=30rad/s.

Δίνεται g=10m/s² ενώ για την τροχαλία Ι= 1/2¹₂ mR².

Απάντηση:

Κατεύθυνση της Τριβής.

Μπορείτε να ερμηνεύσετε την κατεύθυνση της τριβής στα παρακάτω σχήματα;

Απάντηση:

Τροχός και Τριβή

Ένας τροχός εκτοξεύεται σε οριζόντιο επίπεδο με αρχική ταχύτητα υ₀ και αρχική γωνιακή ταχύτητα ω₀, όπως στα παρακάτω σχήματα.

Α) Να σχεδιάστε την τριβή που ασκείται στον τροχό σε κάθε περίπτωση.

Β) Σε ποια περίπτωση ασκείται μεγαλύτερη τριβή στον τροχό;

Απάντηση.

Τροχός και Τριβή

Γωνιακή Επιτάχυνση

Γύρω από μια τροχαλία τυλίγουμε ένα αβαρές νήμα, στο άκρο του οποίου ασκούμε κατακόρυφη δύναμη F. Η τροχαλία αποκτά γωνιακή επιτάχυνση α_γων=5rad/s². Αν στο άκρο του νήματος δέναμε ένα σώμα βάρους W= F, η γωνιακή επιτάχυνση της τροχαλίας θα ήταν:

α) ίση με 5rad/s².

β) μικρότερη από 5rad/s².

γ) μεγαλύτερη από 5rad/s².

Απάντηση:

Γωνιακή επιτάχυνση ράβδου και επιτάχυνση σώματος δεμένο με νήμα με αυτήν.

Μια ομογενής οριζόντια δοκός ΑΓ μάζας m=10kg και μήκους 6m είναι αρθρωμένη στο άκρο της Α, ενώ στο άκρο της Γ είναι δεμένη με κατακόρυφο νήμα. Στο σημείο Δ της δοκού, όπου (ΑΔ)=2m, έχουμε κρεμάσει με νήμα μια σφαίρα Σ μάζας m₁=6kg, όπως στο σχήμα. Σε μια στιγμή κόβεται το νήμα στο άκρο Γ. Για αμέσως μετά το κόψιμο του νήματος να βρεθούν:

i) Η γωνιακή επιτάχυνση της δοκού και

ii) Η επιτάχυνση της σφαίρας Σ.

iii) Αν (ΑΔ)=5m ποιες οι αντίστοιχες απαντήσεις σας;

Δίνεται η ροπή αδράνειας μιας δοκού ως προς κάθετο άξονα ο οποίος διέρχεται από το άκρον της Ι= 1/3 m·l² και g=10m/s².

Απάντηση

Γωνιακή επιτάχυνση ράβδου και επιτάχυνση σώματος..

Δύναμη από τον άξονα περιστροφής.

Συνισταμένη δύναμη και cm.

Ένα στερεό στρέφεται γύρω από έναν σταθερό άξονα. Τι συμβαίνει με την συνισταμένη των δυνάμεων που ασκούνται πάνω του;

α) Αν ο άξονας περνά από το κέντρο μάζας του στερεού, τότε το κέντρο μάζας παραμένει ακίνητο, οπότε ΣF=0.

β) Αν ο άξονας δεν περνά από το κέντρο μάζας, τότε θα εφαρμόσουμε τον θεμελιώδη της Μηχανικής για το κέντρο μάζας.

Πρέπει να τονισθεί ότι όταν το στερεό στρέφεται, το κέντρο μάζας του, εκτελεί κυκλική κίνηση με κέντρο το σημείο Α του άξονα.

Οπότε εφαρμόζουμε δυναμική για ένα υλικό σημείο που εκτελεί κυκλική κίνηση.

Έτσι αν η γωνιακή ταχύτητα του στερεού σώματος, παραμένει σταθερή το κέντρο μάζας θα εκτελεί ομαλή κυκλική κίνηση, οπότε η συνισταμένη θα είναι ίση με την κεντρομόλο:

ΣF_R=mα_κ

ενώ αν υπάρχει γωνιακή επιτάχυνση του στερεού, το κέντρο μάζας θα έχει επιτρόχια επιτάχυνση και η συνισταμένη των δυνάμεων στη διεύθυνση της εφαπτομένης της κυκλικής τροχιάς θα είναι:

ΣF_εφ= mα_cm.

Παράδειγμα.

Μια ράβδος στρέφεται γύρω από οριζόντιο άξονα που περνά από το ένα του άκρο Α και έστω ότι βρίσκεται στη θέση του διπλανού σχήματος, ενώ πάνω της ασκείται το βάρος της w, μια δύναμη F στο άκρο της Β και μια δύναμη από τον άξονα, η οποία αναλύεται στις συνιστώσες F_1x και F_1y.

Ας αναλύσουμε το βάρος σε μια διεύθυνση παράλληλη προς τη ράβδο w_x και μια w_y κάθετη στην ράβδο.

Εφαρμόζουμε τον θεμελιώδη νόμο της Μηχανικής, θεωρώντας ότι όλη η μάζα της ράβδου είναι συγκεντρωμένη στο κέντρο μάζας Ο και ότι όλες οι δυνάμεις ασκούνται στο Ο και παίρνουμε:

 ΣF_καθ =mα_cm ή W_y –F_1y = mα_cm

Δηλαδή στην διεύθυνση της ακτίνας η συνισταμένη των δυνάμεων πάιζει το ρόλο της κεντρομόλου, ενώ σε κάθετη διεύθυνση η συνισταμένη είναι υπεύθυνη για την επιτάχυνση του κέντρου μάζας.

Τεστ Ισορροπίας στερεού

Η ομογενής ράβδος ΑΒ έχει μήκος 6m, μάζα Μ=15kg και ισορροπεί όπως στο σχήμα στηριζόμενη στο τρίποδο στο σημείο Γ, όπου (ΑΓ) =2m και σε κύλινδρο στο σημείο Δ με (ΔΒ)=1m.

1. Bρείτε τις δυνάμεις που ασκούνται στη ράβδο στα σημεία στήριξης.
2. Σε μια στιγμή θέτουμε σε περιστροφή τον κύλινδρο με φορά όπως οι δείκτες του ρολογιού. Αν ο συντελεστής τριβής ολίσθησης κυλίνδρου-ράβδου είναι μ=0,6 και η ράβδος συνεχίζει να ισορροπεί, να βρείτε την τριβή που ασκείται στη ράβδο από τον κύλινδρο.
3. Ποιος ο ελάχιστος συντελεστής της οριακής στατικής τριβής μεταξύ ράβδου και τρίποδου για να εξασφαλίζεται η ισορροπία της ράβδου;
4. Ποια η μέγιστη κατακόρυφη δύναμη με φορά προς τα κάτω που πρέπει να ασκηθεί στο άκρο Α, χωρίς να ανατρέπεται η ράβδος; Πόση θα είναι τότε η τριβή που δέχεται η ράβδος από το τρίποδο;

Δίνεται g=10m/s².

.

Απάντηση:

Μπορείτε να δείτε όλο το Τεστ από ΕΔΩ

Ροπή αδράνειας και γωνιακή επιτάχυνση

Οι ομογενείς ράβδοι ΟΑ και ΑΒ με ίσες μάζες m=3kg και μήκη l₁=4m και l₂=6m αντίστοιχα, είναι συγκολλημένες όπως στο σχήμα. Το σύστημα μπορεί να στρέφεται γύρω από οριζόντιο άξονα, ο οποίος περνά από το άκρο Ο. Φέρνουμε το σύστημα σε τέτοια θέση, ώστε η ράβδος ΟΑ να είναι οριζόντια και το αφήνουμε να κινηθεί.Αν η ροπή αδράνειας μιας ράβδους ως προς κάθετο άξονα που περνά από το μέσον της δίνεται από τη σχέση Ι=1/12 ml², να βρεθούν:

α) Η αρχική γωνιακή επιτάχυνση του συστήματος.

β) Η αρχική επιτάχυνση του μέσου O της ράβδου ΑΒ και να σχεδιαστεί στο σχήμα.

Απάντηση: