Εξίσωση και μορφή του κύματος.

Κατά μήκος ενός ελαστικού μέσου και προς την θετική κατεύθυνση, διαδίδεται ένα κύμα με πλάτος Α=0,3m και ταχύτητα υ=2m/s. Στο πάνω σχήμα (α) δίνεται η εικόνα του μέσου τη χρονική στιγμή t₀=0.

i)  Να βρεθεί η εξίσωση του κύματος και να σχεδιάστε ένα στιγμιότυπο του κύματος τη στιγμή t₁=1,25s.

ii) Ποιες οι αντίστοιχες απαντήσεις αν τη στιγμή t₀=0 η μορφή του μέσου ....

Απάντηση

Εξίσωση και μορφή του κύματος

Απλή Αρμονική Ταλάντωση και εγκατάλειψη του ελατηρίου.

 Ένα κατακόρυφο ελατήριο, σταθεράς k=200Ν/m, στηρίζεται στο έδαφος με το κάτω άκρο του, ενώ στο πάνω άκρο του ηρεμεί ένα σώμα μάζας m=8kg, χωρίς να είναι δεμένο με το ελατήριο. 

Ασκώντας κατάλληλη κατακόρυφη δύναμη, εκτρέπουμε το σώμα κατακόρυφα προς τα κάτω κατά y₁=0,8m και για t=0 το αφήνουμε να κινηθεί.

i)  Ν’ αποδειχθεί ότι για όσο χρόνο το σώμα βρίσκεται σε επαφή με το ελατήριο, εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση.

ii)  Ποια χρονική στιγμή το σώμα εγκαταλείπει το ελατήριο; Τι κίνηση θα πραγματοποιήσει από κει και πέρα;

iii) Πόσο θα απέχει το σώμα από το πάνω άκρο του ελατηρίου, τη στιγμή που θα μηδενιστεί στιγμιαία η ταχύτητά του;
Δίνεται g=10m/s².

Απάντηση: 

Απλή Αρμονική Ταλάντωση και εγκατάλειψη του ελατηρίου

Στιγμιότυπο κύματος και φάσεις.

Δίνεται το στιγμιότυπο (α) του παρακάτω  σχήματος κάποια χρονική στιγμή t₀, για ένα κύμα που διαδίδεται προς τα δεξιά, χωρίς αρχική φάση, ξεκινώντας από την πηγή που θεωρούμε ότι βρίσκεται στη θέση x=0.

i)   Ποια η φάση του σημείου Δ;

ii)  Για πόσο χρόνο ταλαντώνεται το σημείο Β;

iii) Πόσες ταλαντώσεις έχει εκτελέσει η πηγή του κύματος;

iv) Αναφερόμενοι στο (β) σχήμα που το κύμα ....

Απάντηση:

Στιγμιότυπο κύματος και φάσεις

Σύνθεση ταλαντώσεων με παραπλήσιες συχνότητες.

Ένα υλικό σημείο εκτελεί ταυτόχρονα δύο ταλαντώσεις στην ίδια διεύθυνση, γύρω από την ίδια θέση ισορροπίας με εξισώσεις:

x₁=2ημ(100πt +π/2)
x₂=2ημ104πt

(μονάδες στο S.Ι.)

α)  Ποιο το πλάτος της συνισταμένης ταλάντωσης και ποια η απομάκρυνση τη χρονική στιγμή t=0;

β)  Ποια είναι η εξίσωση της κίνησης που εκτελεί το σώμα;

γ) Για τις χρονικές στιγμές t₁= 7/8s και t₂= 9/8s, να ...

Απάντηση

 Σύνθεση ταλαντώσεων με παραπλήσιες συχνότητες

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΩΝ 2009-10

Διάρκεια 3 ώρες.

ΘΕΜΑ 1^ο.

Οι παρακάτω ερωτήσεις δεν απαιτούν δικαιολόγηση.

1)      Ένα σώμα εκτελεί α.α.τ. και για t=0 περνά από το σημείο Δ του σχήματος. Η εξίσωση της απομάκρυνσής του είναι:

α)  x=Αημωt                                          β)       x=Αημ(ωt+π/4)

γ)  x= Αημ(ωt-π/4)                                 δ)       x=Αημ(ωt+3π/4)

2)      Ένα σώμα εκτελεί ταυτόχρονα δύο α.α.τ. του ίδιου πλάτους και της ίδιας διεύθυνσης, οι συχνότητες των οποίων f₁ και f₂ διαφέρουν λίγο μεταξύ τους.     
Ποιες από τις παρακάτω προτάσεις είναι σωστές και ποιες λάθος.

α)  Το σώμα εκτελεί α.α.τ.

β)  Το πλάτος της ταλάντωσης μεταβάλλεται εκθετικά με το χρόνο.

γ)  Η μέγιστη τιμή του πλάτους είναι 2Α.

δ)  Ο χρόνος που μεσολαβεί μεταξύ δύο διαδοχικών μηδενισμών του πλάτους, εξαρτάται από τη διαφορά f₁-f₂ και μεγαλώνει όταν η διαφορά αυτή ελαττώνεται.

3)      Στο άκρο ενός ιδανικού ελατηρίου ταλαντώνεται ένα σώμα Σ₁ μάζας 1kg με πλάτος Α και ενέργεια ταλάντωσης 10J. Αν στο άκρο του ίδιου ελατηρίου συνδέσουμε σώμα Σ₂ μάζας 4kg το οποίο ταλαντώνεται με το ίδιο πλάτος Α, τότε:

i)     Η περίοδος ταλάντωσης του Σ₂ θα ήταν τετραπλάσια αυτής του Σ₁.

ii)    Η ενέργεια ταλάντωσης θα τετραπλασιαζόταν.

iii)  Η ενέργεια ταλάντωσης θα ήταν διπλάσια.

iv)  Η ενέργεια ταλάντωσης παραμένει σταθερή.

 συνέχεια...

Φθίνουσα ταλάντωση και σταθερά απόσβεσης.

Στα κάτω άκρα δύο όμοιων κατακόρυφων ελατηρίων δένουμε δύο σώματα Α και Β της ίδιας μάζας και τα αφήνουμε να κινηθούν από τις θέσεις φυσικού μήκους των ελατηρίων, όπως στο παρακάτω σχήμα. 

Τα σώματα εκτελούν φθίνουσα ταλάντωση εξαιτίας του αέρα.

Στο παρακάτω διάγραμμα δίνεται η γραφική παράσταση της απομάκρυνσης του Α σώματος σε συνάρτηση με το χρόνο.

i)  Τη χρονική στιγμή t₁ το Α σώμα έχει επιτάχυνση ή όχι; Αν ναι ποια η κατεύθυνσή της;

ii) Την παραπάνω στιγμή το Β βρίσκεται στη θέση x=0 ή όχι;

iii)  Πάνω στο παραπάνω διάγραμμα ...

Απάντηση

Φθίνουσα ταλάντωση και σταθερά απόσβεσης

Φθίνουσα ταλάντωση και απώλεια ενέργειας.

Στα κάτω άκρα δύο όμοιων κατακόρυφων ελατηρίων δένουμε δύο σώματα Α και Β από το ίδιο υλικό και με τις ίδιες μετωπικές επιφάνειες με μάζες Μ και 2Μ και τα αφήνουμε να κινηθούν από τις θέσεις φυσικού μήκους των ελατηρίων.

Τα σώματα εκτελούν φθίνουσες ταλαντώσεις εξαιτίας της αντίστασης του αέρα και τελικά σταματούν.

i)  Να παραστήσετε γραφικά την απομάκρυνση σε συνάρτηση με το χρόνο (ποιοτικά διαγράμματα), στους ίδιους άξονες x-t και για τα δύο σώματα.

ii)  Αν η μηχανική ενέργεια που μετατρέπεται ...

συνέχεια...

Και μία και δύο ΑΑΤ…

Ένα σώμα μάζας 2kg ηρεμεί σε λείο οριζόντιο επίπεδο, δεμένο στο άκρο οριζόντιου ελατηρίου σταθεράς 200Ν/m, το άλλο άκρο του οποίου είναι σταθερά δεμένο σε έναν κατακόρυφο τοίχο.

Για t=0 ασκούμε πάνω του μια σταθερή οριζόντια δύναμη μέτρου F=80Ν, μέχρι τη θέση που το σώμα αποκτά μέγιστη ταχύτητα, όπου η δύναμη F καταργείται.

i)   Σε ποια θέση το σώμα αποκτά μέγιστη ταχύτητα;

ii)  Πόση είναι η ταχύτητα αυτή;

iii) Για πόσο χρόνο ασκείται ...

Απάντηση

Και μια και δύο ΑΑΤ.