Συμβολή σε γραμμικό ελαστικό μέσο.

Δύο σύγχρονες πηγές Ο₁ και Ο₂ παράγουν αρμονικά κύματα που διαδίδονται με ταχύτητα υ=2m/s κατά μήκος ενός γραμμικού ελαστικού μέσου με άκρα τα σημείο Ο₁ και Ο₂ όπου (Ο₁Ο₂)=4m. Η εξίσωση ταλάντωσης των πηγών είναι:

y= 5 ημ2πt (y σε cm, t σε s)

i)    Να βρεθούν οι εξισώσεις των δύο κυμάτων που παράγονται θεωρώντας x=0 τη θέση της πηγής Ο₁.

ii)   Να σχεδιάστε στιγμιότυπα που να δείχνει την απομάκρυνση των διαφόρων σημείων του μέσου, σε συνάρτηση με την θέση τους x, ...   

Απάντηση.

Συμβολή σε γραμμικό ελαστικό μέσο

Εξίσωση κύματος και φάσεις

Δίνεται ένα στιγμιότυπο ενός κύματος που διαδίδεται προς τα δεξιά και η εξίσωση του οποίου είναι:

y=0,2ημ2π(t-x+3/4)  (S.Ι.)

Τη στιγμή που ελήφθη το στιγμιότυπο η ταχύτητα του σημείου Ο στη θέση x=0 είναι μηδενική.

α) Να βρεθούν η περίοδος και το μήκος του κύματος.

β)   Ποια η φάση του σημείου Ο την στιγμή αυτή;

γ)  Σε ποια χρονική στιγμή ......... συνέχεια.

Στιγμιότυπο κύματος προς τα αριστερά.

Εγκάρσιο αρμονικό κύμα διαδίδεται σε γραμμικό ελαστικό μέσο, που ταυτίζεται με τον άξονα x΄Οx και προς την αρνητική κατεύθυνση, με ταχύτητα υ=2m/s. Τη χρονική στιγμή  t=0 το κύμα φτάνει στο υλικό σημείο που βρίσκεται στην αρχή Ο του άξονα, το οποίο αρχίζει να ταλαντώνεται προς τα πάνω (θετική κατεύθυνση) και διανύει απόσταση 0,2m πριν σταματήσει στιγμιαία σε χρονικό διάστημα 0,25s.

i)   Να βρεθεί η εξίσωση του κύματος.

ii)  Για τη χρονική στιγμή t₁=2,5s να σχεδιάστε ένα στιγμιότυπο του κύματος, μεταξύ του σημείου Κ, που έχει φτάσει το κύμα και του  σημείου Λ στη θέση x_Λ=3,5m.

iii)  Να κάνετε τη γραφική παράσταση της απομάκρυνσης ... συνέχεια.

Ένα αρμονικό κύμα και η εξίσωση απομάκρυνσης ενός σημείου.

Κατά μήκος ενός γραμμικού ελαστικού μέσου που ταυτίζεται με τον άξονα x΄Οx, διαδίδεται αρμονικό κύμα με ταχύτητα υ=2m/s προς τη θετική κατεύθυνση και για t=0 φτάνει στο σημείο Ο στην αρχή (x=0) του άξονα. Το υλικό σημείο που βρίσκεται στο Ο αρχίζει την ταλάντωσή του κινούμενο με μέγιστη θετική ταχύτητα. Η εξίσωση της απομάκρυνσης ενός υλικού σημείου Κ που βρίσκεται στη θέση x_Κ δίνεται από την εξίσωση:

y_Κ= 0,1∙ημ(4πt-2,5π)

α)  Ποια είναι η θέση του υλικού σημείου Κ;

β)  Ποια η ταχύτητα ταλάντωσης ενός υλικού σημείου που βρίσκεται στην αρχή Ο του άξονα, τη χρονική στιγμή t₁ όπου το Κ έχει μηδενική ....συνέχεια.

Ένα κύμα προς τ’ αριστερά.

Κατά μήκος ενός γραμμικού ελαστικού μέσου που ταυτίζεται με τον άξονα x΄Οx, διαδίδεται αρμονικό κύμα με μήκος κύματος λ=2m προς την αρνητική κατεύθυνση. Το σημείο Ο στην αρχή (x=0) του άξονα εκτελεί α.α.τ. με εξίσωση:

y= 2∙ημ2πt. (S.I.)

α)  Να γράψετε τις εξισώσεις της απομάκρυνσης σε συνάρτηση με το χρόνο για δύο υλικά σημεία Β και Γ που βρίσκονται στις θέσεις x₁=+1m και x₂= -2,5m.

β)  Τη στιγμή t₁ το υλικό σημείο Β έχει ταχύτητα ...

συνέχεια.

Σύνθετη ταλάντωση, φάσεις και διαφορές φάσεων.

Ένα σώμα εκτελεί ταυτόχρονα δύο αρμονικές ταλαντώσεις στην ίδια διεύθυνση και γύρω από την ίδια θέση ισορροπίας με εξισώσεις:

y₁= 0,2∙ημ(20πt+5π/6) και

y₂= 0,2∙ημ(21πt)   (S.Ι.)

i)   Ποια η αρχική φάση και η αρχική απομάκρυνση του σώματος εξαιτίας της σύνθετης ταλάντωσης;

ii)  Να βρεθεί η εξίσωση της απομάκρυνσης σε συνάρτηση με το χρόνο για την σύνθετη ταλάντωση.

iii)  Να βρεθεί η χρονική στιγμή t₁ που το πλάτος μηδενίζεται για πρώτη φορά, καθώς και η στιγμή t₂ που μεγιστοποιείται επίσης για πρώτη φορά.

iv)  Να βρεθούν οι φάσεις των δύο ταλαντώσεων και η διαφορά φάσης μεταξύ τους τις παραπάνω χρονικές στιγμές.

v)  Να σχεδιάστε τα περιστρεφόμενα διανύσματα τις χρονικές στιγμές  t₁ και t₂.

Απάντηση:

Ποια η εξίσωση και ποιο το στιγμιότυπο του κύματος;

Σαν συνέχεια της ανάρτησης Γνωρίζοντας την εξίσωση του κύματος μπορούμε να χαράξουμε το στιγμιότυπο; Ας δούμε άλλο ένα παράδειγμα, που ενισχύει την θέση που υποστηρίχθηκε εκεί.

Ένα αρμονικό κύμα διαδίδεται προς την θετική κατεύθυνση του άξονα με ταχύτητα υ=4m/s και για t=0 η μορφή του μέσου φαίνεται στο παρακάτω σχήμα.

i)  Να βρεθεί η εξίσωση του κύματος.

ii)  Να σχεδιασθεί το στιγμιότυπο του κύματος τη χρονική στιγμή t₁=1s

iii) Να σχολιασθούν τα αποτελέσματα.

Απάντηση:

i)   Από την θεμελιώδη εξίσωση της κυματικής της κυματικής παίρνουμε:

υ=λf → f=υ/λ=2Ηz και Τ=0,5s

Το σημείο Σ στο οποίο έχει φτάσει το κύμα, βρίσκεται στη θέση ισορροπίας και θα κινηθεί προς την αρνητική κατεύθυνση, συνεπώς έχει αρχική φάση φ₀=π και η εξίσωση της απομάκρυνσής του θα είναι:

y= 0,1∙ημ(4πt+π) (S.Ι.)

Στο τυχαίο σημείο Τ στη θέση x, το κύμα θα καθυστερήσει να φτάσει το κύμα κατά:

t₁= d/υ = (x+1)/4  s

και η εξίσωση της απομάκρυνσής του από τη θέση ισορροπίας...

 συνέχεια...

Ένα κύμα, χωρίς … τέλος.

Ένα αρμονικό κύμα διαδίδεται κατά μήκος ενός γραμμικού ελαστικού μέσου και από αριστερά προς τα δεξιά (προς την θετική κατεύθυνση) και σε μια στιγμή t₀=0, πήραμε ένα στιγμιότυπο σε μια περιοχή του μέσου (το κύμα έχει διαδοθεί και πέρα από τη θέση x=6m).

Το σημείο Β στη θέση x₁=2m τη στιγμή αυτή έχει ταχύτητα μέτρου 1,57m/s και φτάνει για πρώτη φορά στη μέγιστη θετική απομάκρυνση τη στιγμή t₁=1,5s.

i)   Ποια η ταχύτητα του κύματος;

ii)  Να βρεθεί η εξίσωση του κύματος.

iii)  Να σχεδιαστεί το αντίστοιχο στιγμιότυπο .... 

Απάντηση:

Ένα κύμα, χωρίς … τέλος.