Μια ράβδος, δεμένη και σε ελατήριο.

Επανέρχομαι σε μια παραλλαγή  της άσκησης «Ρυθμός μεταβολής στροφορμής μιας ράβδου, δεμένης σε ελατήριο.» για να δούμε κάποια δυσκολότερα ερωτήματα.

Μια ομογενής ράβδος μήκους ℓ=2m και μάζας 18kg μπορεί να στρέφεται σε κατακόρυφο επίπεδο γύρω από οριζόντιο άξονα που περνά από το άκρο της Α. Η ράβδος ισορροπεί οριζόντια, όταν το άλλο της άκρο Β δένεται με ιδανικό ελατήριο σταθεράς k=350Ν/m και φυσικού μήκους ℓ₀=1,4m, το άλλο άκρο του οποίου δένεται σε σταθερό σημείο Γ, όπου (ΑΓ)=3,4m, ενώ είναι δεμένη στο άκρο κατακόρυφου νήματος όπως στο σχήμα.

Κόβουμε το νήμα και η ράβδος πέφτει. Για τη θέση που σχηματίζει γωνία θ=30° με τον ορίζοντα, ζητούνται:

i)    Η στροφορμή της ράβδου ως προς (κατά τον) άξονα περιστροφής της.

ii)   Ο ρυθμός μεταβολής της στροφορμής της ράβδου ως προς (κατά τον) άξονα περιστροφής της.

iii)  Η ισχύς της δύναμης του ελατηρίου

iv)  Ο ρυθμός μεταβολής της κινητικής ενέργειας της ράβδου.

v)  Ο ρυθμός μείωσης της δυναμικής ενέργειας της ράβδου.

Δίνεται η ροπή αδράνειας της ράβδου ως προς τον άξονα περιστροφής της Ι= 1/3 mℓ²και g=10m/s².

Απάντηση

Μια ράβδος, δεμένη και σε ελατήριο

Αν το νήμα τυλίγεται, τότε….

Σε συνέχεια της ανάρτησης «Δύο πειράματα», ας ασχοληθούμε λίγο παραπέρα με το τύλιγμα του νήματος στο πρώτο πείραμα.

Σε λείο οριζόντιο επίπεδο κινείται ένα σώμα Σ μάζας 2kg, δεμένο στο ένα άκρο νήματος, το άλλο άκρο του οποίου είναι δεμένο σε ένα κατακόρυφο κυλινδρικό στύλο ακτίνας R=0,2m. Για t=0 το σώμα έχει ταχύτητα υ=2m/s, κάθετη στο νήμα το οποίο έχει  ελεύθερο μήκος r₀=1m, όπως στο διπλανό σχήμα (κάτοψη).

i)   Για τη χρονική στιγμή t=0 να βρείτε:

α)  Τη στροφορμή και το ρυθμό μεταβολής της στροφορμής του σώματος Σ, ως προς το σημείο Ο που βρίσκεται πάνω στον άξονα του κυλίνδρου και στο  ίδιο οριζόντιο επίπεδο με το σώμα Σ.

β)  Το ρυθμό μείωσης του μήκους του νήματος.

ii)   Ποιος ο  ρυθμός μεταβολής της στροφορμής του σώματος Σ, τη χρονική στιγμή όπου το μήκος του νήματος μειώνεται με  ρυθμό 0,5m/s;  Πόσο είναι το μήκος του νήματος τη στιγμή αυτή;

iii)  Πόσο είναι το μήκος της τροχιάς που διαγράφει το σώμα Σ σε χρονικό διάστημα Δt=0,8s;

Απάντηση

Αν το νήμα τυλίγεται, τότε….

Ρυθμός μεταβολής στροφορμής μιας ράβδου, δεμένης σε ελατήριο.

Μια ομογενής ράβδος  μήκους ℓ=2m και μάζας 84kg μπορεί να στρέφεται σε κατακόρυφο επίπεδο γύρω από οριζόντιο άξονα που περνά από το άκρο της Α. Η ράβδος ισορροπεί οριζόντια, όταν το άλλο της άκρο Β δένεται με ιδανικό ελατήριο φυσικού μήκους ℓ₀=1m, το άλλο άκρο του οποίου δένεται σε σταθερό σημείο Γ, όπου (ΑΓ)=3,4m, ενώ είναι δεμένη στο άκρο κατακόρυφου νήματος όπως στο σχήμα όπου (ΑΔ)=1,5m.

 

i)   Να βρεθεί η τάση του νήματος.

ii)  Σε μια στιγμή κόβουμε το νήμα, οπότε η ράβδος αρχίζει να πέφτει και σταματά στιγμιαία την πτώση της, στη θέση που σχηματίζει γωνία θ=30° με την οριζόντια διεύθυνση.

α)   Ποιος ο αρχικός ρυθμός μεταβολής της στροφορμής της ράβδου ως προς τον άξονα περιστροφής της, αμέσως μετά το κόψιμο του νήματος;

β)  Να βρεθεί η σταθερά του ελατηρίου.

γ)   Ποιος  ο ρυθμός μεταβολής της στροφορμής της ράβδου, ως προς τον άξονα περιστροφής της στο άκρο Α, στη θέση που σταματά η πτώση της;

Δίνεται g=10m/s² και √3= 1,7.

Απάντηση

Ρυθμός μεταβολής στροφορμής μιας ράβδου, δεμένης σε ελατήριο

Δύο πειράματα.

Ένα σώμα μάζας m είναι δεμένο στο άκρο ενός νήματος μήκους r και κινείται σε οριζόντιο επίπεδο με αρχική ταχύτητα υ₀.

Στο α΄ πείραμα, το νήμα δένεται σε κατακόρυφο στύλο ακτίνας R₁ και καθώς το σώμα κινείται το νήμα μαζεύεται. Ζητείται η ταχύτητα του σώματος, όταν το νήμα έχει μήκοςr₁.

Στο β΄ πείραμα το νήμα περνά από μια τρύπα και στο άλλο άκρο του ασκούμε μια δύναμη F. Ποια είναι η ταχύτητα του σώματος όταν η ακτίνα της τροχιάς γίνει r₁;

Απάντηση: 

Δύο πειράματα

Ρυθμοί μεταβολής ενέργειας.

Μια σφαίρα μάζας 2kg και ακτίνας 5cm αφήνεται από ύψος h=9m να κινηθεί κατά μήκος ενός κεκλιμένου επιπέδου, κλίσεως 30°. Η ταχύτητα του κέντρου της σφαίρας τη στιγμή που φτάνει στη βάση του επιπέδου είναι υ=12m/s.

α)  Να βρεθεί η τριβή που ασκήθηκε στη σφαίρα κατά την κίνησή της.

β)  Για τη χρονική στιγμή που η ταχύτητα της σφαίρας έχει τιμή υ₁=8m/s, να βρεθούν:

i)    Η γωνιακή ταχύτητα της σφαίρας.

ii)   Η ισχύς της τριβής. Τι ενεργειακή μετατροπή εκφράζει η ισχύς αυτή;

iii)  Ο ρυθμός μεταβολής της μεταφορικής κινητικής ενέργειας της σφαίρας.

iv)  Ο ρυθμός μεταβολής της περιστροφικής κινητικής ενέργειας της σφαίρας.

v)   Ο ρυθμός μείωσης της δυναμικής ενέργειας της σφαίρας.

Δίνεται η ροπή αδράνειας  της σφαίρας ως προς μια διάμετρό της Ι= 2/5 mR².

Απάντηση:

Ρυθμοί μεταβολής ενέργειας

Ολίσθηση μιας σφαίρας

Μια σφαίρα μάζας 2kg και ακτίνας R= 0,1m αφήνεται για t=0, σε ένα κεκλιμένο επίπεδο κλίσεως θ, όπου ημθ=0,8, με το οποίο παρουσιάζει συντελεστές τριβής μ_s=μ=1/6.

i) Να αποδειχθεί ότι η σφαίρα θα ολισθήσει κατά μήκος του επιπέδου.

ii) Για τη χρονική στιγμή t₁=2s ζητούνται:

α)  Η ταχύτητα του κέντρου της σφαίρας καθώς και η μετατόπισή της.

β)  Η γωνία κατά την οποία έχει περιστραφεί η σφαίρα και η γωνιακή της ταχύτητα.

γ)  Η μεταφορική και η περιστροφική κινητική ενέργεια της σφαίρας.

iii)  Να βρεθούν για το παραπάνω χρονικό διάστημα:

α)  Η μείωση της δυναμικής ενέργειας της σφαίρας.

β)  Πόσο γλίστρησε η σφαίρα.

γ)  Η θερμότητα που παρήχθη εξαιτίας της τριβής.
Δίνεται Ι=0,4mR² και g=10m/s².

Απάντηση

Ολίσθηση μιας σφαίρας

Ολίσθηση μιας σφαίρας.

Μια ισορροπία αλλά και τι συμβαίνει αν κοπεί το νήμα;

Η ομογενής ράβδος ΑΒ μήκος 4m και μάζας 30kg ισορροπεί οριζόντια, όπως στο σχήμα, στηριζόμενη σε τρίποδο στο σημείο Γ, όπου (ΒΓ)=1m και δεμένη στο άλλο άκρο της Α με νήμα, που σχηματίζει με τη ράβδο γωνία θ, όπου ημθ=0,8.

i)   Βρείτε την τριβή που ασκείται στη ράβδο από το τρίποδο.

ii)  Υπολογίστε τον ελάχιστο συντελεστή οριακής στατικής τριβής μεταξύ τρίποδου και ράβδου για να εξασφαλίζεται η ισορροπία.

Σε μια στιγμή κόβουμε το νήμα. Για τη στιγμή αμέσως μετά το κόψιμο του νήματος, να βρεθούν:

iii)  Η επιτάχυνση του άκρου Α.

iv)  Η δύναμη που ασκεί το τρίποδο στη ράβδο.

Δίνεται η ροπή αδράνειας μιας ομογενούς ράβδου ως προς κάθετο άξονα που περνά από το μέσον της Ι=mℓ²/12  και g=10m/s².

Απάντηση

Μια ισορροπία αλλά και τι συμβαίνει αν κοπεί το νήμα

Ένας δακτύλιος και ένας δίσκος

Ένας δακτύλιος και ένας δίσκος έχουν την ίδια  μάζα και την ίδια ακτίνα και ηρεμούν πάνω σε ένα λείο τραπέζι, απέχοντας εξίσου από την πλευρά ΑΒ του τραπεζιού. Με τη βοήθεια δύο νημάτων που έχουμε τυλίξει γύρω τους, ασκούμε πάνω τους δυο ίσες σταθερές δυνάμεις, όπως στο σχήμα.
   i)  Ποιο σώμα θα φτάσει πρώτο στη πλευρά ΑΒ του τραπεζιού;

ii) Ποιο σώμα τη στιγμή που φτάνει στη πλευρά ΑΒ έχει μεγαλύτερη στροφορμή (κατά μέτρο);

iii) Ποιο σώμα τη στιγμή που φτάνει στη πλευρά ΑΒ έχει μεγαλύτερη κινητική ενέργεια;

Να δικαιολογήστε τις απαντήσεις σας.

Απάντηση

Ένας δακτύλιος και ένας δίσκος