Γωνιακή επιτάχυνση και στροφορμή

Σαν συνέχεια της ανάρτησης Στροφορμή και μεταβολή στροφορμής. Και με αφορμή ένα σχόλιο του Νίκου Ανδρεάδη, ας δούμε μια «προχωρημένη» εκδοχή, που απευθύνεται βέβαια μόνο σε συναδέλφους και όχι για μαθητές.

Η ομογενής ράβδος ΟΑ του σχήματος, έχει μήκος ℓ=2m και μάζα Μ=3kg και μπορεί να στρέφεται σε οριζόντιο επίπεδο χωρίς τριβές, γύρω από κατακόρυφο άξονα z ο οποίος περνά από το άκρο της Ο. Στο μέσον της ράβδου έχει προσδεθεί ένα σώμα Σ που θεωρείται υλικό σημείο  μάζας m₁=4kg. Το στερεό Π, που δημιουργήσαμε με τον τρόπο στρέφεται έχοντας γωνιακή ταχύτητα ω₁=1,25rad/s.

Σε μια στιγμή το σώμα Σ ξεκολλά από τη θέση του και γλιστρά κατά μήκος της ράβδου. Σε μια στιγμή απέχει x=1,5m από το Ο και κινείται με ταχύτητα υ=0,169m/s ως προς τη ράβδο. Για τη στιγμή αυτή, να υπολογιστεί η γωνιακή επιτάχυνση του συστήματος.

Δίνεται η ροπή αδράνειας της ράβδου ως προς τον άξονα z,  Ι=1/3 Μℓ².

Απάντηση

Γωνιακή επιτάχυνση και στροφορμή

Στροφορμή και μεταβολή στροφορμής.

Η ομογενής ράβδος ΟΑ του σχήματος, έχει μήκος ℓ=2m και μάζα Μ=3kg και μπορεί να στρέφεται σε οριζόντιο επίπεδο χωρίς τριβές, γύρω από κατακόρυφο άξονα z ο οποίος περνά από το άκρο της Ο. Στο μέσον της ράβδου έχει προσδεθεί ένα σώμα Σ που θεωρείται υλικό σημείο  μάζας m₁=4kg. Το στερεό Π, που δημιουργήσαμε με τον τρόπο αυτό ηρεμεί.

Για t=0 ασκείται στο άκρο Α της ράβδου μια οριζόντια σταθερού μέτρου δύναμη F=5Ν, που η διεύθυνσή της σχηματίζει γωνία θ=30° με τη ράβδο, όπως στο σχήμα, μέχρι τη χρονική στιγμή t=2s, όπου η δύναμη καταργείται.

i)   Η στροφορμή που αποκτά το στερεό Π ως προς (κατά τον ) άξονα περιστροφής z.

ii)  Σε μια στιγμή t>2s, το σώμα Σ ξεκολλά από τη θέση του και γλιστρώντας κατά μήκος της ράβδου, καρφώνεται σε ένα μικρό καρφί που υπάρχει στο άκρο Α της ράβδου.

Να βρεθούν για την παραπάνω μετακίνηση:

α) Η μεταβολή της στροφορμής του σώματος Σ ως προς το άκρο Ο.

β)  Η αντίστοιχη μεταβολή της στροφορμής της ράβδου.

γ)  Η απώλεια της μηχανικής ενέργειας.

Δίνεται η ροπή αδράνειας της ράβδου ως προς τον άξονα z Ι=1/3 Μℓ².

Απάντηση

Στροφορμή και μεταβολή στροφορμής.

Γωνιακή επιτάχυνση και επιταχύνσεις σημείων.

Κατασκευάζουμε ένα στερεό συνδέοντας δύο όμοιες ομογενείς ράβδους ΓΑ και ΑΔ με ενωμένα τα δύο άκρα τους στο σημείο Α, σχηματίζοντας γωνία 90°. Οι δύο ράβδοι έχουν μάζες m₁=m₂=m=10kg και μήκος ;=6m. Το στερεό μπορεί να στρέφεται σε κατακόρυφο επίπεδο, γύρω από οριζόντιο άξονα ο οποίος περνά από ένα σημείο Ο της ράβδου ΓΑ, όπου (ΟΑ)=4m. Φέρνουμε το στερεό σε τέτοια θέση ώστε η ράβδος ΓΑ να είναι οριζόντια και το αφήνουμε να κινηθεί.

i)   Ποια η αρχική γωνιακή επιτάχυνση του στερεού;

ii)  Βρείτε τις αντίστοιχες επιταχύνσεις του άκρου Α καθώς και του μέσου Μ της ράβδου ΑΔ.

iii) Να υπολογίστε την ταχύτητα του άκρου Α, στη θέση που η ράβδος ΓΑ γίνεται κατακόρυφη.

iv)  Ποιος ο ρυθμός μεταβολής της στροφορμής της ράβδου ΑΔ, ως προς τον άξονα περιστροφής που περνά από το Ο, στην παραπάνω θέση;

Δίνεται η ροπή αδράνειας μιας ράβδου ως προς άξονα που διέρχεται από το μέσον της Ι=ml²/12  και g=10m/s².

Απάντηση

Γωνιακή επιτάχυνση και επιταχύνσεις σημείων

Η στροφορμή και η μεταβολή της σε μια κρούση.

Μια σφαίρα Σ μάζας 2kg που θεωρείται υλικό σημείο, είναι δεμένη στο άκρο νήματος μήκους ℓ=1,8m, το άλλο άκρο Ο του οποίου δένεται σε σταθερό σημείο. Φέρνουμε τη σφαίρα στη θέση Α, ώστε το νήμα να είναι τεντωμένο και οριζόντιο και την αφήνουμε να κινηθεί. Μετά από λίγο περνά από μια θέση Β, έχοντας ταχύτητα υ=3m/s.

i)    Για τη θέση αυτή Β, να βρεθούν:

α)  Ο ρυθμός μεταβολής της στροφορμής της σφαίρας ως προς το Ο,

β)  Η γωνιακή επιτάχυνση της σφαίρας.

ii)  Μόλις η σφαίρα Σ φτάσει στην κατακόρυφη θέση συγκρούεται κεντρικά και ελαστικά με άλλη ακίνητη σφαίρα διπλάσιας μάζας. Να βρεθεί η μεταβολή της στροφορμής της σφαίρας Σ ως προς το Ο, που οφείλεται στην κρούση.

Απάντηση

Η στροφορμή και η μεταβολή της σε μια κρούση

Η στροφορμή παραμένει σταθερή;

Ένα υλικό σημείο Σ μάζας 2kg είναι δεμένο στο άκρο νήματος μήκους ℓ=2,5√2 m και διαγράφει οριζόντιο κύκλο, κέντρου Κ και ακτίνας R=2,5m, όπως στο σχήμα, όπου το άλλο άκρο του νήματος έχει δεθεί σε σταθερό σημείο Ο.

Ζητούνται:

i)     Η ταχύτητα του Σ.

ii)  Η στροφορμή του Σ ως προς τα σημεία Κ και Ο. Να σχεδιαστούν τα αντίστοιχα διανύσματα.

iii)  Ποιος ο ρυθμός μεταβολής της στροφορμής ως προς το Κ και ποιος ο αντίστοιχος ρυθμός ως προς το Ο;

iv) Να βρεθεί η μεταβολή της στροφορμής σε χρόνο ίσο με τη μισή περίοδο περιστροφής, ως προς τα σημεία Κ και Ο.

Δίνεται ότι η ταχύτητα του Σ είναι κάθετη τόσο στην ακτίνα R, όσο και στο νήμα και g=10m/s².

Απάντηση

Η στροφορμή παραμένει σταθερή

Φαινόμενο Doppler, συχνότητες και μήκη κύματος.

Ένα τρένο κινείται ευθύγραμμα με ταχύτητα υ_s=34m/s. Πάνω του υπάρχει μια ηχητική πηγή που παράγει ήχο συχνότητας f_s=680Ηz, ενώ δυο επιβάτες Α και Β βρίσκονται εναλλάξ της πηγής, όπως στο σχήμα, ακίνητοι ως προς το τρένο.

i)  Ποιας συχνότητας ήχο ακούει καθένας επιβάτης;

ii)  Να βρεθεί το μήκος κύματος του ήχου που ακούνε οι δυο επιβάτες.

Δίνεται η ταχύτητα του ήχου υ=340m/s.

Απάντηση

Φαινόμενο Doppler, συχνότητες και μήκη κύματος.

Καλό Πάσχα

Μετατροπή ολίσθησης σε κύλιση.

Μια σφαίρα εκτοξεύεται σε οριζόντιο επίπεδο με ταχύτητα κέντρου μάζας υ₀ και χωρίς γωνιακή ταχύτητα. 

i)  Να βρεθεί ο χρόνος που απαιτείται μέχρι να πάψει η ολίσθηση της σφαίρας, σε συνάρτηση με τον συντελεστή τριβής ολίσθησης μεταξύ σφαίρας και επιπέδου.

ii)   Ποια η τελική ταχύτητα υ_cm που αποκτά η σφαίρα;

Δίνεται η ροπή αδράνειας της σφαίρας ως προς μια διάμετρό της Ι=2mR²/5.

Απάντηση

Μετατροπή ολίσθησης σε κύλιση