Το φρενάρισμα του κυλίνδρου.

Σε οριζόντιο επίπεδο κυλίεται (χωρίς ολίσθηση) ένας βαρύς κύλινδρος μάζας Μ=200kg και ακτίνας R=0,4m με σταθερή ταχύτητα κέντρου μάζας υ_0cm=4m/s. Προκειμένου να ακινητοποιήσουμε τον κύλινδρο, τοποθετούμε πάνω του μια δοκό μήκους 4m και μάζας m=30kg, συγκρατώντας την με το χέρι μας στο ένα της άκρο Α, φροντίζοντας να είναι διαρκώς σε οριζόντια θέση και να στηρίζεται στον κύλινδρο σε απόσταση (ΓΒ)= d=1m από το άλλο της άκρο Β, όπως στο σχήμα. Ο συντελεστής τριβής μεταξύ δοκού και κυλίνδρου είναι μ=0,3, ενώ ο κύλινδρος επιβραδύνεται χωρίς να ολισθαίνει στο έδαφος, μέχρι τη θέση που ακινητοποιείται.

i) Να υπολογιστεί η κάθετη δύναμη  στήριξης καθώς και η τριβή ολίσθησης που ασκείται στη δοκό στο σημείο Γ από τον κύλινδρο.

ii) Να βρεθεί η επιτάχυνση (επιβράδυνση) του κέντρου μάζας του κυλίνδρου.

iii) Να υπολογιστεί η στατική τριβή που ασκείται στον κύλινδρο από το έδαφος κατά τη διάρκεια της επιβράδυνσης.

iv) Να βρεθεί ο ρυθμός μεταβολής της στροφορμής του κυλίνδρου ως προς τον άξονά του (μέτρο και κατεύθυνση).

v) Να υπολογιστούν η οριζόντια συνιστώσα της δύναμης που ασκούμε στο άκρο Α της ράβδου, στη διάρκεια της παραπάνω επιβράδυνσης του κυλίνδρου.

Δίνεται η ροπή αδράνειας του κυλίνδρου ως προς τον άξονά του Ι_cm= ½ ΜR² και και g=10m/s².

Απάντηση:

ή

Το φρενάρισμα του κυλίνδρου.

Πόσο τελικά θα απέχουν τα δυο σώματα;

Σε ένα οριζόντιο επίπεδο ηρεμούν δυο σώματα Α και Β με μάζες m₁=1kg και m₂=2kg αντίστοιχα απέχοντας κατά d=1m. Το Β σώμα είναι δεμένο στο άκρο οριζοντίου ελατηρίου σταθεράς k=40Ν/m, το οποίο έχει το φυσικό μήκος του. Ο συντελεστής τριβής των σωμάτων με το επίπεδο είναι μ=0,8, ενώ g=10m/s². Σε μια στιγμή εκτοξεύεται το σώμα Α με αρχική ταχύτητα υ₀=5m/s, με κατεύθυνση προς το σώμα Β και κατά μήκος του άξονα του ελατηρίου, όπως στο σχήμα.

i)  Να υπολογίστε την ταχύτητα του σώματος Α ελάχιστα πριν την κρούση.

ii) Ποιες οι ταχύτητες των δύο σωμάτων μετά την μετωπική ελαστική τους κρούση;

iii) Ποια θα είναι τελικά η απόσταση των δύο σωμάτων όταν ακινητοποιηθούν;

iv) Τι ποσοστό της αρχικής κινητικής ενέργειας του Α σώματος μετατρέπεται συνολικά σε θερμική ενέργεια εξαιτίας της τριβής;

Απάντηση:

ή

Πόσο τελικά θα απέχουν τα δυο σώματα;

Μέχρι να πέσει το σώμα…

Γύρω από έναν κύλινδρο μάζας Μ=20kg και ακτίνας R=0,5m είναι τυλιγμένο ένα νήμα, στο άκρο του οποίου έχει δεθεί ένα σώμα Σ μάζας 1kg το οποίο θεωρούμε υλικό σημείο. Το σώμα Σ είναι τοποθετημένο σε  τραπέζι, ενώ ο κύλινδρος στο λείο έδαφος, με τέτοιο τρόπο ώστε το νήμα που συνδέει τα δυο σώματα να είναι οριζόντιο και τεντωμένο. Το σώμα Σ απέχει κατά d=1m από το άκρο του τραπεζιού, ενώ παρουσιάζει συντελεστή τριβή μ=0,09 με την επιφάνεια του τραπεζιού. Σε μια στιγμή t₀=0 ασκούμε στο κέντρο του κυλίνδρου οριζόντια σταθερή δύναμη F=5Ν. Να υπολογιστούν:

i)  Η επιτάχυνση του σώματος Σ και η επιτάχυνση του άξονα του κυλίνδρου.

ii) Το έργο της δύναμης F, μέχρι τη στιγμή που το σώμα Σ εγκαταλείπει το τραπέζι.

iii) Την κινητική ενέργεια κάθε σώματος την παραπάνω στιγμή.

Δίνεται η ροπή αδράνειας του κυλίνδρου ως προς τον άξονά του Ι= ½ ΜR² και g=10m/s².

Απάντηση:

ή

Μέχρι να πέσει το σώμα…

Συμπαγής κύλινδρος και κυλινδρικό κέλυφος.

Σε ένα κεκλιμένο επίπεδο αφήνονται δύο κύλινδροι Α και Β από το ίδιο υλικό και της ίδιας ακτίνας. Ο Α είναι συμπαγής,  ενώ από τον δεύτερο έχει αφαιρεθεί ένας ομοαξονικός κύλινδρος με ακτίνα r= ½ R. Οι δυο κύλινδροι κυλίονται χωρίς ολίσθηση και παρατηρούμε ότι μετά από λίγο οι κύλινδροι συγκρούονται. Οι αρχικές θέσεις των δύο κυλίνδρων είναι αυτή του σχήματος (α) ή του σχήματος (β);

Δίνεται η ροπή αδράνειας ενός ομογενούς κυλίνδρου Ι= ½ ΜR².

Απάντηση:

ή

Συμπαγής κύλινδρος και κυλινδρικό κέλυφος.

Ένας κύλινδρος σε κεκλιμένο επίπεδο.

Γύρω από έναν ομογενή κύλινδρο μάζας Μ=2kg και ακτίνας R=0,1m έχουμε τυλίξει ένα αβαρές νήμα. Τοποθετούμε τον κύλινδρο σε κεκλιμένο επίπεδο κλίσεως θ, όπου ημθ=0,8 και τη στιγμή t₀=0 τον αφήνουμε να κινηθεί, ασκώντας σταθερή δύναμη μέτρου F=5Ν, στο άκρο Α του νήματος παράλληλη στο επίπεδο, όπως στο σχήμα. Αν ο κύλινδρος παρουσιάζει με  το επίπεδο συντελεστές τριβής μ=μ_s=0,25, για τη στιγμή t₁=1s. Ζητούνται:

i)  Να διερευνήσετε προς τα που θα κινηθεί ο κύλινδρος, αν θα ολισθαίνει ή αν θα κυλίεται και τη φορά περιστροφής του.

ii)  Η επιτάχυνση του κέντρου μάζας του κυλίνδρου και η μετατόπιση του άξονά του.

iii) Η ταχύτητα του κέντρου μάζας και η γωνιακή ταχύτητα του κυλίνδρου.

iv) η ισχύς κάθε δύναμης που ασκείται στον κύλινδρο.

v) Οι ρυθμοί μεταβολής:

 α) της στροφορμής του κυλίνδρου, ως προς τον άξονα περιστροφής του.

 β) της κινητικής ενέργειας του κυλίνδρου.

 γ) της κινητικής ενέργειας λόγω περιστροφής του κυλίνδρου

Δίνεται η ροπή αδράνειας του κυλίνδρου ως προς τον άξονά του Ι_cm= ½ MR² και g=10m/s².

Απάντηση:

η

 Ένας κύλινδρος σε κεκλιμένο επίπεδο.

Ένα δεύτερο θέμα με δυο κυλίνδρους.

Διαθέτουμε δύο κυλίνδρους Α και Β ίσων ακτίνων, από το ίδιο υλικό, αλλά ο Β έχει διπλάσιο ύψος του Α. Αφήνουμε την ίδια στιγμή τους  δύο κυλίνδρους να κυλίσουν κατά μήκος του ίδιου επιπέδου από ύψος h. Οι κύλινδροι κυλίονται χωρίς να ολισθαίνουν ενώ η ροπή αδράνειας ενός κυλίνδρου ως προς τον άξονα που συνδέει τα κέντρα των δύο βάσεων είναι Ι_cm= ½ ΜR².

i) Πρώτος θα φτάσει στη βάση του επιπέδου:

α) ο κύλινδρος Α                  β) ο κύλινδρος Β      γ) θα φτάσουν ταυτόχρονα.

ii) Μεγαλύτερη ταχύτητα κέντρου μάζας θα αποκτήσει:

α) ο κύλινδρος Α                  β) ο κύλινδρος Β      γ) θα αποκτήσουν ίσες ταχύτητες cm.

iii) Μεγαλύτερη κινητική ενέργεια θα αποκτήσει:

α) ο κύλινδρος Α                  β) ο κύλινδρος Β      γ) θα αποκτήσουν ίσες κινητικές ενέργειες.

iv) Σε μια στιγμή στη διάρκεια της καθόδου, μεγαλύτερη στροφορμή, ως προς τον άξονά του έχει:

α) ο κύλινδρος Α                  β) ο κύλινδρος Β      γ) θα έχουν ίσες στροφορμές.

v) Σε μια στιγμή στη διάρκεια της καθόδου, μεγαλύτερο ρυθμό μεταβολής της στροφορμής, ως προς τον άξονά του έχει:

α) ο κύλινδρος Α                  β) ο κύλινδρος Β      γ) οι δυο ρυθμοί είναι ίσοι.

Απάντηση:

ή

Ένα δεύτερο θέμα με δυο κυλίνδρους.

Μια πτώση σφαίρας.

Μια σφαίρα μάζας Μ=20kg και ακτίνας R=0,5m έχει προσκολληθεί  στο άκρο ομογενούς ράβδου μάζας m=16kg μήκους ℓ=0,75m, με αποτέλεσμα να έχει σχηματισθεί ένα στερεό Σ, το οποίο μπορεί να στρέφεται χωρίς τριβές, γύρω από σταθερό οριζόντιο άξονα ο οποίος περνά από το άκρο Ο της ράβδου. Φέρνουμε το στερεό σε τέτοια θέση, ώστε η ράβδος να είναι οριζόντια και το αφήνουμε να κινηθεί.

i) Να βρεθεί η μέγιστη ταχύτητα του κέντρου Κ της σφαίρας.

ii) Αν μειώσουμε τη μάζα της ράβδου, θα αυξηθεί ή θα μειωθεί η μέγιστη ταχύτητα της  σφαίρας;

iii) Σε ποια τιμή τείνει η ταχύτητα του κέντρου Κ της σφαίρας, αν η ράβδος θεωρηθεί αβαρής;

iv) Να βρεθεί η μέγιστη ταχύτητα του κέντρου Κ της σφαίρας στην περίπτωση που, η αβαρής ράβδος αντικατασταθεί με αβαρές νήμα  μήκους ℓ=1,25m. (Το νήμα συνδέεται στα άκρα μιας διαμέτρου, που ουσιαστικά είναι ισοδύναμο με το να έχει συνδεθεί στο κέντρο της σφαίρας).

Δίνεται για την σφαίρα Ι_cm= 2/5ΜR², για τη ράβδο Ι_cm= 1/12 mℓ²  και g=10m/s².

Απάντηση:

ή

Μια πτώση σφαίρας.

Ένα δεύτερο θέμα με τροχούς.

Διαθέτουμε δύο όμοιους τροχούς σε μη λείο οριζόντιο επίπεδο. Στον Α μπορούμε μέσω νήματος να ασκούμε δύναμη στο κέντρο μάζας Ο, στον Β έχουμε  τυλίξει γύρω του ένα νήμα, οπότε μπορούμε να ασκούμε δύναμη τραβώντας το νήμα, όπως στο σχήμα. Ασκούμε ίσες δυνάμεις F στα άκρα Ν των δύο νημάτων, μέχρι να μετακινήσουμε το άκρο του νήματος κατά x=1m, ενώ οι τροχοί κυλίονται χωρίς να ολισθαίνουν.

i) Μεγαλύτερη κινητική ενέργεια αποκτά:

 α) Ο τροχός Α           β) ο τροχός Β,         γ) αποκτούν ίσες κινητικές ενέργειες.

ii) Σε μια στιγμή η κινητική ενέργεια του Β τροχού αυξάνεται με ρυθμό 4J/s. Την ίδια στιγμή η κινητική ενέργεια του Α τροχού αυξάνεται με ρυθμό:

α) 1J/s              β) 2J/s          γ) 4J/s,                   δ) 8J/s.

iii) Να κάνετε στο ίδιο διάγραμμα τις γραφικές παραστάσεις της ισχύος κάθε δύναμης σε συνάρτηση με το χρόνο.

Να δικαιολογήσετε τις απαντήσεις σας.

Απάντηση:

ή

Ένα δεύτερο θέμα με τροχούς.