Η ταλάντωση μιας μεμβράνης.

Όταν μπροστά από ένα μικρόφωνο πάλλεται μια ηχητική πηγή Π₁, η μεμβράνη του μικροφώνου, μάζας 2g, εκτελεί ταλάντωση με εξίσωση απομάκρυνσης  x₁=3∙ημ(20πt)  (mm). Αν ταυτόχρονα φέρουμε δίπλα και μια δεύτερη ηχητική πηγή Π₂ και θέσουμε ταυτόχρονα σε λειτουργία και τις  δύο πηγές, τότε η μεμβράνη εκτελεί ταλάντωση με εξίσωση απομάκρυνσης x=4∙ ημ(20πt+3π/2)  (mm).

i)  Να βρεθεί η εξίσωση της απομάκρυνσης της μεμβράνης, αν αντί να πάλλονται και οι δύο, σιγήσει η πρώτη πηγή.

ii) Να υπολογιστεί η μέγιστη κινητική ενέργεια της μεμβράνης, όταν:

α) πάλλεται μόνο η πηγή Π₁.

β) πάλλεται μόνο η πηγή Π₂.

γ) πάλλονται και οι δύο πηγές.

iii) Να βρεθεί ο ρυθμός μεταβολής της κινητικής ενέργειας της μεμβράνης, στην περίπτωση που πάλλονται και οι δύο πηγές, τη χρονική στιγμή t₁=1/30s.

Απάντηση:

ή

 Η ταλάντωση μιας μεμβράνης.

Μια περίεργη περιοδική κίνηση σαν σύνθεση ταλαντώσεων.

Ένα σώμα μάζας 0,5kg κινείται με εξίσωση κίνησης:

x= 0,1∙ημ(20πt+5π/3) +  0,1∙ημ(22πt)   (S.Ι.)

i) Να αποδείξετε ότι το σώμα εκτελεί μια περιοδική αλλά όχι αρμονική κίνηση, της οποίας να βρείτε τη συχνότητα.

ii) Να βρεθεί η χρονική στιγμή t₁ που το «πλάτος» μηδενίζεται για πρώτη φορά, καθώς και η στιγμή t₂ που μεγιστοποιείται επίσης για πρώτη φορά.

iii) Να βρεθεί η ταχύτητα του σώματος τη χρονική στιγμή t₁=4/3s.

iv) Ποιος ο ρυθμός μεταβολής της κινητικής ενέργειας του σώματος την παραπάνω χρονική στιγμή;

Δίνεται π²≈10.

Απάντηση:

ή

Μια περίεργη περιοδική κίνηση σαν σύνθεση ταλαντώσεων.

Μια κίνηση και η μελέτη της σαν σύνθετη Ταλάντωση.

Ένα σώμα μάζας 0,2kg κινείται παλινδρομικά γύρω από μια θέση Ο και η εξίσωση κίνησής του είναι:

x= 0,5∙συν(20t) + 0,5√3∙ημ(20t)   μονάδες στο S.Ι.

όπου x η απομάκρυνση από το σημείο Ο.

i) Ν’ αποδειχθεί ότι η κίνηση του σώματος είναι αρμονική συνάρτηση του χρόνου.

ii) Να υπολογιστεί η ταχύτητα του σώματος τη χρονική στιγμή t₁= π/12 s.

iii) Αν επιπλέον η κίνηση του σώματος είναι ΑΑΤ, να υπολογιστεί η ενέργεια ταλάντωσής του. Μπορεί η παραπάνω κίνηση να μην είναι ΑΑΤ, αλλά κάποια άλλη κίνηση; Εξηγείστε.

Απάντηση:

ή

Μια κίνηση και η μελέτη της σαν σύνθετη Ταλάντωση.

Απώλεια ενέργειας σε μια φθίνουσα ταλάντωση

Ένα ελατήριο σταθεράς k=40Ν/m  κρέμεται κατακόρυφα έχοντας φυσικό μήκος l₀=0,5m. Δένουμε στο κάτω άκρο του ένα σώμα μάζας 2kg και το αφήνουμε να κινηθεί, οπότε αυτό εκτελεί φθίνουσα ταλάντωση, εξαιτίας της αντίστασης του αέρα. Σε μια στιγμή t₁ το σώμα κινείται προς τα κάτω και το ελατήριο έχει μήκος l₁=1,2m. Στη θέση αυτή το σώμα έχει ταχύτητα υ₁= 2m/s ενώ επιβραδύνεται με ρυθμό 4,1m/s². Να βρείτε:

i)  Την μηχανική ενέργεια που μετατράπηκε σε θερμική από 0-t₁.

ii) Τη σταθερά απόσβεσης b.

iii) Την ενέργεια ταλάντωσης τη στιγμή t₁.

iv) Τον ρυθμό με τον οποίο μειώνεται η ενέργεια ταλάντωσης τη στιγμή t₁.

Θεωρείται γνωστό ότι για την ταλάντωση που θα επακολουθήσει D=k και g=10m/s².

Απάντηση:

ή

Αμείωτη και φθίνουσα ηλεκτρική ταλάντωση.

Αμείωτη και φθίνουσα ηλεκτρική ταλάντωση.

Για το κύκλωμα του διπλανού σχήματος δίνονται ότι Ε=100V, C=80μF, το ιδανικό πηνίο έχει συντελεστή αυτεπαγωγής L=0,2Η, ενώ R=5Ω, και οι διακόπτες δ₁, δ₂ είναι κλειστοί για μεγάλο χρονικό διάστημα. Υπενθυμίζεται ότι κλειστός διακόπτης δ₂ σημαίνει βραχυκυκλωμένη αντίσταση, άρα σαν να μην υπάρχει στο κύκλωμα.

i)  Πόση ενέργεια είναι αποθηκευμένη στο πηνίο και πόση στον πυκνωτή;

ii) Σε μια στιγμή που θεωρούμε t₀=0, ανοίγουμε τον διακόπτη δ₁.

α)  Εξηγείστε γιατί θα φορτιστεί ο πυκνωτής. Ποιος από τους οπλισμούς  του πυκνωτή θα αποκτήσει πρώτος θετικό φορτίο;

β)  Βρείτε την εξίσωση της έντασης του ρεύματος που διαρρέει το κύκλωμα σε συνάρτηση με το χρόνο, θεωρώντας θετική την αρχική ένταση.

iii)  Τη χρονική στιγμή t₁=134π/3 ms ανοίγουμε και το διακόπτη δ₂. Για αμέσως μετά το άνοιγμα του διακόπτη, να βρεθούν:

 α) Το φορτίο του πυκνωτή και η ένταση του ρεύματος που διαρρέει τον αντιστάτη.

 β) Ο ρυθμός μεταβολής της έντασης του ρεύματος που διαρρέει τον αντιστάτη με αντίσταση R₁=10√3Ω.

 γ) Οι ρυθμοί μεταβολής των ενεργειών του πηνίου και του πυκνωτή.

Απάντηση:

ή

Αμείωτη και φθίνουσα ηλεκτρική ταλάντωση.

Πεδίο δύναμης και ελατήριο.

Στην προηγούμενη τοποθέτησή μου, με τίτλο «Τα μαθηματικά και το διάβασμά τους, παρέα με τη φύση.» είχα περιλάβει το παρακάτω απόσπασμα:

Ας πάρουμε το παράδειγμα των δύο ελατηρίων, που είχα δώσει στο 6) ερώτημα της προηγούμενης τοποθέτησης. Και ας εφαρμόσουμε τη λογική που λέει, όλες οι ενέργειες, ως προς το ίδιο επίπεδο (και κυρίως όσον αφορά την δυναμική ενέργεια του ελατηρίου).

Τα δυο σώματα ηρεμούν και εμείς υπολογίζουμε τις μηχανικές ενέργειες κάθε συστήματος, ως προς το ίδιο οριζόντιο επίπεδο.

Στο (α) σχήμα, η μηχανική ενέργεια του συστήματος, είναι:

Ε_μ/1=0.

Στο (β) σχήμα αντίστοιχα για την μηχανική ενέργεια του συστήματος έχουμε:

Η συνέχεια σε pdf.

Τα μαθηματικά και το διάβασμά τους, παρέα με τη φύση.

"Τα  μαθηματικά  για τον Φυσικό δεν είναι και δεν πρέπει να είναι ανέκφραστα. Ή για να το πω αλλιώς, κόπος του φυσικού είναι, όχι µόνο να βγάλει τις εξισώσεις όπως ο μαθηματικός, αλλά και να τις διαβάσει µε τη Φύση παρέα."                                                                                                                              Θρασύβουλος Μαχαίρας.

Αν ένα σώμα κινείται σε ένα πεδίο δυνάμεων, τότε δεν έχω κανένα περιορισμό και σύμφωνα με την θεωρητική μηχανική, πράγματι μπορώ να ορίσω αυθαίρετα το σημείο στο οποίο θα πάρω μηδενική τη δυναμική ενέργεια.

Έτσι αν πάρουμε το παράδειγμα του βαρυτικού πεδίου, όπου στο σημείο Α αφήνεται ένα σώμα και όπου ορίζουμε ότι U=0. Την τιμή U=0 την δώσαμε αυθαίρετα προφανώς. Το σώμα θα κινηθεί και θα έχουμε εμφάνιση κινητικής ενέργειας, πράγμα που σημαίνει απλά ότι θα μεταβεί σε μια νέα θέση με αρνητική τιμή δυναμικής ενέργειας.  Θα υπάρξει δηλαδή μείωση της δυναμικής ενέργειας. Δεν μου δημιουργεί κανένα πρόβλημα στην φυσική μου ερμηνεία η ενεργειακή αντιμετώπιση του προβλήματος. Άλλωστε γνωρίζω ότι αυτό που έχει φυσική αξία είναι η μεταβολή της δυναμικής ενέργειας και όχι  η ίδια η τιμή της.

Αλλά, ας πάρω ένα σημείο Α, όπου η δυναμική ενέργεια είναι διάφορη του μηδενός και η δύναμη μηδενική. Αφήνουμε το σώμα στη θέση αυτή και δεν κινείται.

Εδώ για μένα δημιουργείται πρόβλημα στη  φυσική μου διαίσθηση και λογική. Τι σημαίνει το σώμα έχει δυναμική ενέργεια; Βέβαια θα μπορούσε να αντιταχθεί ένα παράδειγμα ενός γραμμικού μέσου, που το δυναμικό σε συνάρτηση με το x να δίνεται από μια από τις δύο παρακάτω γραφικές παραστάσεις.

....

Η συνέχεια από εδώ.

ή

 Τα μαθηματικά και το διάβασμά τους, παρέα με τη φύση.

Δυναμική-Μηχανική-Ενέργεια Ταλάντωσης.

Κάνω μια προσπάθεια κωδικοποίησης της άποψης, που από την αρχή είχα εκφράσει ότι, δεν πρέπει να  συγχέουμε τη μηχανική ενέργεια με την ενέργεια ταλάντωσης.

1)      Δυναμική ενέργεια.

Αν μια δύναμη είναι συντηρητική, το έργο της είναι ανεξάρτητο της διαδρομής και εξαρτάται μόνο από την αρχική και τελική θέση. Αλλά αυτό μας επιτρέπει να ορίσουμε μια ποσότητα, που ονομάζουμε δυναμική ενέργεια σε κάθε θέση, έτσι ώστε να ισχύει:

W_Α→Β= U_Α-U_Β.

Ο παραπάνω ορισμός, δεν μας λέει πού η δυναμική ενέργεια είναι μηδενική και πόση πραγματικά είναι αυτή η ενέργεια. Η δυναμική ενέργεια παίρνει μια αυθαίρετη τιμή, αφού αυτό που μας ενδιαφέρει δεν είναι η τιμή της, αλλά η μεταβολή της.

Παράδειγμα. Όταν βρίσκομαι στην Τρίπολη και πρόκειται να ανέβω στον Πάρνωνα  κατά 500m, αυτό που με ενδιαφέρει είναι αυτή η υψομετρική διαφορά και η βενζίνη που θα χρειαστώ για την ανάβαση και όχι πόσο υψόμετρο έχει από την επιφάνεια της θάλασσας η Τρίπολη ή ο Μαλεβός!!! (Μαλεβός=Πάρνωνας).

2)      Μηδενική δυναμική ενέργεια.

Η προηγούμενη θέση μας επιτρέπει να θέσουμε το μηδέν της δυναμικής ενέργειας όπου εμείς θέλουμε και μπορούμε να το κάνουμε. Αλλά αν δεν υπάρχει κάποιος σημαντικός λόγος εξαίρεσης, ο ορισμός δεν πρέπει να προσβάλλει τη φυσική μας διαίσθηση.

Η συνέχεια εδώ.

ή

Δυναμική-Μηχανική-Ενέργεια Ταλάντωσης.