Ένας τροχός σε κεκλιμένο επίπεδο

Ένας τροχός μάζας 8kg ισορροπεί σε κεκλιμένο επίπεδο κλίσεως θ, με την επίδραση δύναμης F, η οποία μέσω κατάλληλου μηχανισμού, ασκείται στο κέντρο του Ο, όπως στο σχήμα.

i)  Να υπολογιστούν οι δυνάμεις που ασκούνται στον τροχό.

ii) Σε μια στιγμή (t₀=0) αυξάνουμε το μέτρο της δύναμης στην τιμή F₁=60Ν. Να υπολογιστεί η ταχύτητα του κέντρου Ο του τροχού τη στιγμή t₁=4s.

iii) Τη στιγμή t₁, το μέτρο της δύναμης αυξάνεται στην τιμή F₂=160Ν.

 α) Να γίνει η γραφική παράσταση της ταχύτητας υ_cm του κέντρου Ο, σε συνάρτηση με το χρόνο από 0-6s.

β) Να υπολογιστούν τα έργα της δύναμης και της τριβής, από t₀ μέχρι τη στιγμή t₂=6s.

γ) Να υπολογιστεί ο ρυθμός μεταβολής της κινητικής ενέργειας λόγω περιστροφής του τροχού, τη στιγμή t₂.

Δίνονται: Για τον τροχό Ι= ½ ΜR²  ως προς οριζόντιο άξονα, κάθετο στο επίπεδό του που περνά από το κέντρο του Ο, ημθ=0,6 και συνθ=0,8, g=10m/s², ενώ για τους συντελεστές τριβής μεταξύ τροχού και επιπέδου μ=μ_s=0,5.

Απάντηση:

ή

Ένας τροχός σε κεκλιμένο επίπεδο

Μια σφαίρα παίρνει την ανηφόρα

Σε οριζόντιο επίπεδο κυλίεται μια σφαίρα με ταχύτητα κέντρου μάζας υ_0cm=6m/s. Σε μια στιγμή συναντά στην πορεία της ένα κεκλιμένο επίπεδο κλίσεως θ (ημθ=0,6), στο οποίο συνεχίζει την κίνησή της, χωρίς να αναπηδήσει.

i)  Αν το κεκλιμένο επίπεδο είναι λείο, σε πόσο ύψος θα ανέβη το κέντρο Ο της σφαίρας;

ii) Αν υπήρχε τριβή, με αποτέλεσμα να συνεχίσει η σφαίρα την κύλισή της, ποιο θα ήταν το αντίστοιχο μέγιστο ύψος ανόδου;

iii) Ποιος ο ελάχιστος συντελεστής οριακής στατικής τριβής, μεταξύ σφαίρας και κεκλιμένου επιπέδου, για την παραπάνω άνοδο;

iii) Αν μεταξύ σφαίρας και κεκλιμένου επιπέδου είχαμε συντελεστές τριβής μ=μ_ορ=0,125, πόση θερμική ενέργεια αναπτύσσεται κατά την άνοδο της σφαίρας κατά μήκος του επιπέδου, αν η ακτίνα της σφαίρας ήταν R=0,2m και η μάζα της 1kg.

Δίνεται η ροπή αδράνειας της σφαίρας Ι= 2/5 mR², ενώ g=10m/s².

Απάντηση:

ή

Μια σφαίρα παίρνει την ανηφόρα

Μια ράβδος κρέμεται και μετά γλιστράει

Μια ομογενής ράβδος ΑΒ μήκους 2m και μάζας 4kg, κρέμεται μέσω νήματος, το οποίο  δένεται στο άκρο της Β, από σταθερό σημείο Ο, ενώ στηρίζεται σε λείο οριζόντιο επίπεδο (1) με το άκρο της Α.

i)  Σε ποια ή σε ποιες από τις παραπάνω θέσεις μπορεί να ισορροπεί η ράβδος; Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας, εξηγώντας και την ισορροπία και τη μη ισορροπία, για κάθε περίπτωση.

ii) Η ράβδος αυτή τοποθετείται σε άλλο οριζόντιο επίπεδο (2) με το οποίο σχηματίζει γωνία θ, και αφήνεται να πέσει, ξεκινώντας από την ηρεμία. Αν το άκρο της Α μετατοπισθεί κατά 0,2m, μέχρι που το άκρο Β να φτάσει στο επίπεδο:

 α) Να αποδείξετε ότι το επίπεδο (2) είναι λείο.

 β) Να βρεθεί η αρχική επιτάχυνση του άκρου Α.

γ) Να υπολογιστεί η κινητική ενέργεια της ράβδου τη στιγμή που γίνεται οριζόντια (που το άκρο Β φτάνει στο επίπεδο…).

Δίνεται η ροπή αδράνειας της ράβδου ως προς κάθετο άξονα που περνά από το μέσον της Ι= 1/12 Μl² , g=10m/s², ενώ συνθ=0,8 και ημθ=0,6.

Απάντηση:

ή

Μια ράβδος κρέμεται και μετά γλιστράει

Ισορροπίες και τριβές

Γύρω από έναν τροχό  ακτίνας R και μάζας  Μ=10kg, τυλίγουμε ένα αβαρές νήμα, το οποίο αφού το περάσουμε από μια αβαρή τροχαλία, στο άλλο άκρο του κρεμάμε έναν αβαρή δίσκο. Ο τροχός ηρεμεί σε οριζόντιο επίπεδο με το οποίο παρουσιάζει συντελεστές τριβής μ=μ_s=0,6, ενώ εμποδίζεται να κινηθεί από ένα ακλόνητο εμπόδιο ύψους h=R, με το οποίο ο τροχός δεν εμφανίζει τριβές.

i) Να βρείτε τις δυνάμεις που ασκούνται στον τροχό, πριν βάλουμε κάποια σταθμά στο δίσκο.

ii) Μπορεί ο τροχός να υπερπηδήσει το εμπόδιο, αν τοποθετήσουμε στο δίσκο κατάλληλα σταθμά;

iii) Τοποθετούμε στο δίσκο σταθμά μάζας m=2kg. Να εξετάσετε αν ο δίσκος θα κατέβει ή όχι, υπολογίζοντας και την δύναμη που ασκεί το εμπόδιο  στον τροχό.

iv) Αν το οριζόντιο επίπεδο ήταν λείο, ενώ αντίθετα αναπτυσσόταν τριβές μεταξύ τροχού και εμποδίου με συντελεστές τριβής μ=μ_s=0,6, τότε:

α) Να υπολογιστεί η δύναμη στον τροχό από το οριζόντιο επίπεδο, όταν στο  δίσκο βάζαμε σταθμά m₁=2,5kg.

β) Ποια η μάζα των σταθμών που πρέπει να τοποθετηθούν στο δίσκο, ώστε ο τροχός να χάσει την επαφή του με το οριζόντιο επίπεδο;

Δίνεται η ροπή αδράνειας του τροχού ως προς κάθετο άξονα που περνά από το κέντρο μάζας του Ι= ½ ΜR² και g=10m/s².

Απάντηση:

ή

Ισορροπίες και τριβές

Τι κίνηση θα κάνει ο δίσκος;

Σε ένα λείο οριζόντιο επίπεδο ηρεμεί ένας ομογενής οριζόντιος δίσκος κέντρου Ο. Σε μια στιγμή στο δίσκο ασκούνται δυο οριζόντιες δυνάμεις όπως στο σχήμα, όπου θ=60°. Στο σχήμα δίνεται ένα σύστημα οριζόντιων ορθογωνίων αξόνων xy, όπου οι δυνάμεις έχουν τη διεύθυνση του άξονα y. Ο δίσκος θα εκτελέσει:

i)   σύνθετη κίνηση προς τη θετική κατεύθυνση του άξονα y και με θετική φορά περιστροφής.

ii)  σύνθετη κίνηση προς τη θετική κατεύθυνση του άξονα y και με αρνητική φορά περιστροφής.

iii) μεταφορική κίνηση προς τη θετική κατεύθυνση του άξονα y.

iv) μεταφορική κίνηση σε  διαφορετική διεύθυνση από αυτές των δύο αξόνων.

Απάντηση:

ή

Τι κίνηση θα κάνει ο δίσκος;

Τρία βαρέλια ισορροπούν

Τρία κυλινδρικά δοχεία ισορροπούν όπως στο σχήμα, όπου δυο εμπόδια (τάκοι…) εμποδίζουν τα κάτω να κινηθούν. Στο σχήμα βλέπετε τις τρεις βάσεις των δοχείων, όπου τα δυο κάτω έχουν ίσες ακτίνες R₂=R₃=1,6m, ενώ το πάνω ακτίνα R=0,4m. Η επιφάνεια του Β δοχείου είναι λεία, ενώ μεταξύ Α και Γ ο συντελεστής οριακής  στατικής τριβής έχει τιμή μ_s=0,8. Το δοχείο Α έχει μάζα m=160kg, ενώ g=10m/s².

i)  Να βρείτε τις δυνάμεις που ασκούνται στο πάνω δοχείο Α.

ii)  Γύρω από το Α έχουμε τυλίξει έναν αβαρή ιμάντα, μέσω του οποίου ασκούμε πάνω του  μια οριζόντια δύναμη F=40Ν. Να βρείτε την τριβή που εμφανίζεται μεταξύ των δοχείων Α και Γ.

iii) Να εξετάσετε αν μπορούμε, αυξάνοντας το μέτρο της ασκούμενης δύναμης F, να μηδενίσουμε τη δύναμη που ασκείται στο δοχείο Α από το Β, χωρίς να έχουμε περιστροφή.

iv) Αν η δύναμη πάρει την τιμή F₃=1.000Ν, να εξετάσετε αν ο κύλινδρος θα γλιστρήσει ή όχι, αμέσως μετά.

Απάντηση:

ή

Τρία βαρέλια ισορροπούν

Ισορροπίες και μια αντίστροφη κύλιση.

Πάνω σε μια μισοβυθισμένη στο έδαφος  σφαίρα, ακτίνας R=(3/π)m, στηρίζεται μια ομογενής δοκός ΑΒ μήκους 6m και βάρους 300Ν, η οποία ισορροπεί οριζόντια με την επίδραση μιας κατακόρυφης δύναμης F, η οποία ασκείται στο άκρο της Β, όπως στο σχήμα.

i) Αν (ΑΓ)=2m, όπου Γ το σημείο της ράβδου το οποίο εφάπτεται της σφαίρας, να υπολογιστεί η δύναμη F, για την παραπάνω ισορροπία.

ii)Αυξάνουμε το μέτρο της ασκούμενης  δύναμης F, διατηρώντας την κατακόρυφη, με αποτέλεσμα το άκρο Β της ράβδου να αρχίσει να ανέρχεται, χωρίς η δοκός να γλιστράει πάνω στη σφαίρα. Με τον τρόπο αυτό, φέρνουμε τη δοκό να ισορροπεί όπως στο σχήμα, ενώ F₁=100Ν.

α) Πόσο απέχει το σημείο Δ, σημείο επαφής της δοκού με τη σφαίρα, από το άκρο Α;

β) Ποια γωνία σχηματίζει η δοκός με την οριζόντια διεύθυνση;

γ) Να υπολογιστεί το μέτρο της τριβής που ασκείται στη δοκό.

δ) Ποιος ο ελάχιστος συντελεστής οριακής στατικής τριβής μεταξύ δοκού και σφαίρας για την παραπάνω ισορροπία;

Απάντηση:

ή

Ισορροπίες και αντίστροφη κύλιση.

Μια οριζόντια ράβδος.

Μια λεπτή ομογενής ράβδος ΑΒ μήκους 4m, ισορροπεί οριζόντια με την επίδραση μιας κατακόρυφης δύναμης F, μέτρου F=40Ν, η οποία ασκείται στο άκρο της Β, ενώ στηρίζεται σε τρίποδο σε σημείο Σ, όπου (ΑΣ)=1m, όπως στο σχήμα. Ο συντελεστής οριακής τριβής μεταξύ ράβδου και τρίποδου είναι μ_ορ=0,5.

i)  Να βρεθεί το βάρος της ράβδου καθώς και η δύναμη που ασκείται στη ράβδο από το τρίποδο;

ii) Αυξάνουμε το μέτρο της δύναμης στην τιμή F₁=50Ν, μεταβάλλοντας και την κατεύθυνσή της, ώστε η ράβδος να ισορροπεί οριζόντια. Να υπολογίσετε τη δύναμη που δέχεται η ράβδος από το τρίποδο.

iii) Να βρεθεί η μέγιστη πλάγια δύναμη F₂, την οποία μπορούμε να ασκήσουμε στη ράβδο, χωρίς αυτή να γλιστρήσει, παραμένοντας οριζόντια.

Απάντηση:

ή

Μια οριζόντια ράβδος.