Δυο κύματα με την ίδια εξίσωση κύματος.

Κατά μήκος δύο γραμμικών ελαστικών μέσων και από αριστερά προς τα  δεξιά (θετική κατεύθυνση) διαδίδονται δύο αρμονικά κύματα με το ίδιο πλάτος Α=0,2m και την ίδια ταχύτητα διάδοσης υ=2m/s. Τη στιγμή t_ο=0, το πρώτο κύμα (Ι) φτάνει στο σημείο Ο, στη θέση x=0, ενώ το δεύτερο (ΙΙ) στο σημείο Κ, στη θέση x=2m, όπως παρουσιάζονται στο διπλανό σχήμα.

i)   Να υπολογιστεί η περίοδος ταλάντωσης των σημείων των δύο μέσων.

ii)  Ποια η εξίσωσης της απομάκρυνσης σε συνάρτηση με το χρόνο, για την ταλάντωση που πρόκειται να ξεκινήσουν τα σημεία Ο και Κ, στα οποία φτάνουν τα δύο κύματα, με δεδομένο ότι η προς τα πάνω κατεύθυνση θεωρείται θετική;

iii) Να βρεθούν οι εξισώσεις των δύο κυμάτων.

iv) Ποια η εξίσωση της απομάκρυνσης σε συνάρτηση με το χρόνο, του σημείου Ο΄ στη θέση x=0, του δεύτερου κύματος;

Απάντηση:

ή

 Δυο κύματα με την ίδια εξίσωση κύματος.

Δυο κύματα με την ίδια εξίσωση κύματος.

Ένα κύμα σε άπειρο μέσον

Κατά μήκος ενός γραμμικού ελαστικού μέσου, πολύ μεγάλου μήκους, διαδίδεται από αριστερά προς τα δεξιά (θετική φορά) ένα αρμονικό κύμα, πλάτους Α=0,2m και μήκους κύματος λ=2m, με ταχύτητα υ=1m/s. Στο διπλανό σχήμα βλέπετε ένα «παράθυρο» που μας επιτρέπει να βλέπουμε μια μικρή περιοχή του κύματος (το οποίο έχει διαδοθεί πολύ πέρα του δεξιού άκρου του παραθύρου). Για να γράψουμε εξίσωση για το κύμα αυτό, παίρνουμε ένα σύστημα αξόνων x,y με αρχή το σημείο Ο και θεωρούμε επίσης τη στιγμή που έχουμε το παραπάνω στιγμιότυπο, ως αρχή μέτρησης των χρόνων (t₀=0).

i) Να γράψετε την εξίσωση που περιγράφει το παραπάνω κύμα.

ii) Ποια η φάση της απομάκρυνσης των σημείων Ο και Σ τη στιγμή t₀=0;

iii) Να κάνετε τη γραφική παράσταση της φάσης της απομάκρυνσης του σημείου Σ σε συνάρτηση με το χρόνο (φ=f(t)).

iv) Να σχεδιάστε το στιγμιότυπο του κύματος τη χρονική στιγμή t₁=7,5s, για την ίδια περιοχή του μέσου.

v) Να παραστήστε επίσης γραφικά την ταχύτητα ταλάντωσης του σημείου Σ σε συνάρτηση με το χρόνο, από t₀ έως t₁.

Απάντηση:

ή

 Ένα κύμα σε άπειρο μέσον

Ένα κύμα σε άπειρο μέσον

Ένα κύμα και οι φάσεις της απομάκρυνσης σημείων

Κατά μήκος ενός γραμμικού ελαστικού μέσου που ταυτίζεται με έναν προσανατολισμένο άξονα x και από αριστερά προς τα δεξιά (προς τη θετική κατεύθυνση), διαδίδεται ένα αρμονικό κύμα. Η εικόνα του μέσου τη στιγμή t=0, είναι αυτή του διπλανού σχήματος, όπου το κύμα έχει φτάσει στο σημείο Κ, στη θέση x=1,5m. 

Αν η επιτάχυνση, τη στιγμή αυτή, του σημείου Ο, στη θέση x=0, είναι ίση με 12m/s², ζητούνται:

i) Η εξίσωση της απομάκρυνσης σε συνάρτηση με το χρόνο (y=y(t)) των σημείων Κ και Ο.

ii) Η εξίσωση του κύματος.

iii) Η φάση της απομάκρυνσης του σημείου Κ, σε συνάρτηση με το χρόνο και να παρασταθεί γραφικά.

iv) Η γραφική παράσταση της φάσης του σημείου Ο, σε συνάρτηση με το χρόνο.

v) Η γραφική παράσταση της φάσης των διαφόρων σημείων του μέσου τη χρονική στιγμή t₁=3,5s.

Δίνεται π² ≈10.

Απάντηση:

ή

 Ένα κύμα και οι φάσεις της απομάκρυνσης σημείων

Ένα κύμα και οι φάσεις της απομάκρυνσης σημείων

Αν το κύμα οδεύει προς τα αριστερά.

Σε γραμμικό ελαστικό μέσο και από τα δεξιά προς τ’ αριστερά (προς την αρνητική κατεύθυνση) διαδίδεται ένα αρμονικό κύμα με στιγμιότυπο τη στιγμή t₀=0, όπως στο πρώτο από τα διπλανά διαγράμματα. Το αντίστοιχο στιγμιότυπο τη στιγμή t₁=0,5s είναι όπως στο δεύτερο διάγραμμα.

i) Χρησιμοποιώντας πληροφορίες από τα διαγράμματα αυτά να βρείτε:

α) το πλάτος και το μήκος του κύματος,

β) τη συχνότητα και την ταχύτητα διάδοσης του κύματος.

ii) Ποια η εξίσωση του κύματος;

iii) Να σχεδιάστε το στιγμιότυπο του κύματος τη χρονική στιγμή t₂=2,5s και μέχρι τη θέση x_Β=2,5m στον θετικό ημιάξονα.

iv) Για το σημείο Β,  στη θέση x_Β=2,5m:

α)   Να βρεθεί η εξίσωση της απομάκρυνσης σε συνάρτηση με το χρόνο (y-t) και να κάνετε τη γραφική της παράσταση.

β) Να κάνετε τη γραφική παράσταση της ταχύτητας ταλάντωσης του σημείου Β, σε συνάρτηση με το χρόνο.

Απάντηση:

ή

 Αν το κύμα οδεύει προς τα αριστερά.

Αν το κύμα οδεύει προς τα αριστερά.

Ένα οδεύον προς τα δεξιά κύμα

Κατά μήκος ενός γραμμικού ελαστικού μέσου και από τα αριστερά προς τα δεξιά διαδίδεται χωρίς απώλειες ένα αρμονικό κύμα, το οποίο τη στιγμή t₀=0 φτάνει σε ένα σημείο Ο, το οποίο λαμβάνουμε ως αρχή ενός προσανατολισμένου άξονα x, με την προς τα δεξιά κατεύθυνση ως θετική. Το σημείο Ο ξεκινά την ταλάντωσή του προς τα πάνω (θετική φορά του άξονα y) και φτάνει σε μέγιστη απομάκρυνση 0,2m τη στιγμή t₁=0,2s. Το κύμα φτάνει σε ένα σημείο Κ, στη θέση x_Κ=x₂=3,5m τη χρονική στιγμή t₂=1,4s.

 i)  Να γράψετε τις εξισώσεις για την απομάκρυνση σε συνάρτηση με το χρόνο, για τις ταλαντώσεις που θα εκτελέσουν τα σημεία Ο και Κ.

ii) Να βρεθεί η εξίσωση του κύματος.

iii) Να σχεδιάστε το στιγμιότυπο του κύματος τη στιγμή  t₂ που το κύμα φτάνει στο σημείο Κ και για την περιοχή του θετικού ημιάξονα. Ποια η απομάκρυνση του σημείου Ο την παραπάνω χρονική στιγμή;

iv) Ένα σημείο Λ, βρίσκεται στη θέση x_Λ= 4/3 m.

 α) Να βρεθούν η απομάκρυνση από τη θέση ισορροπίας του, η ταχύτητα και η επιτάχυνση του σημείου Λ τη στιγμή t₂.

 β) Να κάνετε τη γραφική παράσταση της ταχύτητας ταλάντωσης του σημείου Λ και για το χρονικό διάστημα από 0-t₂.

Απάντηση:

ή

  Ένα οδεύον προς τα δεξιά κύμα

Ένα οδεύον προς τα δεξιά κύμα

Μια ΑΑΤ και μια σύνθετη ταλάντωση

 Ένα σώμα μάζας 1kg ηρεμεί σε λείο οριζόντιο επίπεδο, δεμένο στο άκρο ιδανικού ελατηρίου. Το σώμα συγκρούεται στιγμιαία με άλλο κινούμενο σώμα, με αποτέλεσμα να τίθεται σε ταλάντωση με εξίσωση απομάκρυνσης x₁=0,4∙ημ(7t), (μονάδες στο S.Ι.).

i)  Να βρεθεί η σταθερά του ελατηρίου, καθώς και η ενέργεια ταλάντωσης.

ii)  Ακινητοποιούμε το σώμα στη θέση x=0 και κάποια στιγμή (t₀=0) ασκούμε πάνω του μια οριζόντια μεταβλητή δύναμη της μορφής F=F_ο∙ημ(8t), όπως στο κάτω σχήμα. Το σώμα τίθεται σε εξαναγκασμένη ταλάντωση με εξίσωση κίνησης:

x= 0,27∙ημ(7t) - 0,3∙ημ(8t)  (μονάδες στο S.Ι.)

α)  Να υπολογίσετε την απομάκρυνση από τη θέση ισορροπίας (x=0) και την ταχύτητα του σώματος τις χρονικές στιγμές t₁ =π/3 s και t₂= π s.

β)  Να υπολογιστεί η κινητική και η δυναμική ενέργεια του σώματος τις παραπάνω στιγμές.

γ)  Στο παρακάτω διάγραμμα δίνεται η απομάκρυνση του σώματος σε συνάρτηση με το χρόνο.

 

Παρατηρούμε ότι η κίνηση παρουσιάζει διακροτήματα.  Ποια η περίοδος του διακροτήματος και πόσες ταλαντώσεις εκτελεί το σώμα σε χρόνο ίσο με την περίοδο του διακροτήματος;

Απάντηση:

ή

  Μια ΑΑΤ και μια σύνθετη ταλάντωση

Μια ΑΑΤ και μια σύνθετη ταλάντωση

Η ενέργεια σε μια περίοδο στην εξαναγκασμένη

i)  Ένα σώμα ηρεμεί σε λείο οριζόντιο επίπεδο. Σε μια στιγμή δέχεται μια δύναμη, η ισχύς της οποίας μεταβάλλεται με το χρόνο, όπως στο διπλανό διάγραμμα.

Να υπολογιστεί η κινητική ενέργεια του σώματος τη στιγμή t=2s.

ii) Ένα σώμα μάζας m=0,5kg εκτελεί εξαναγκασμένη ταλάντωση με την εξάσκηση αρμονικής εξωτερικής δύναμης, ενώ δέχεται και δύναμη απόσβεσης της μορφής F_απ=-0,25∙υ (S.Ι.). Μετά το πέρας των μεταβατικών φαινομένων, λαμβάνοντας κάποια στιγμή ως t₀=0, παίρνουμε ως εξίσωση απομάκρυνσης την x=0,5∙ημ(4t)  (S.Ι.).

 α) Κάποια στιγμή t₁ το σώμα περνά από τη θέση x₁=0,3m με θετική ταχύτητα, ενώ η εξωτερική δύναμη έχει τιμή F₁=1 Ν. Να υπολογιστούν τη στιγμή t₁:

α₁) Η ισχύς της εξωτερικής δύναμης και ο ρυθμός με τον οποίο η μηχανική ενέργεια μετατρέπεται σε θερμική εξαιτίας της δύναμης απόσβεσης.

α₂) Η δύναμη επαναφοράς που ασκείται στο σώμα.

α₃) Η κινητική και η δυναμική ενέργεια του σώματος.

β) Να υπολογιστούν στη διάρκεια μιας περιόδου, τα έργα της δύναμης επαναφοράς, της δύναμης απόσβεσης και της διεγείρουσας εξωτερικής δύναμης.

Απάντηση:

ή

 Η ενέργεια σε μια περίοδο στην εξαναγκασμένη

Η ενέργεια σε μια περίοδο στην εξαναγκασμένη

Αλλαγή του άξονα περιστροφής. Πώς εφαρμόζεται η ΑΔΣ.

Σε λείο οριζόντιο επίπεδο περιστρέφεται μια ομογενής ράβδος μάζας Μ=3kg και μήκους l=2m με γωνιακή ταχύτητα μέτρου ω₀=1rαd/s, όπως στο σχήμα (κάτοψη). Μια σφαίρα μάζας m=Μ=3kg κινείται στο ίδιο επίπεδο με ταχύτητα υ₀ =4m/s και συγκρούεται πλαστικά στο άκρο Α της ράβδου, τη στιγμή που η σφαίρα έχει ταχύτητα κάθετη στη ράβδο.

Να υπολογιστεί η γωνιακή ταχύτητα του στερεού s που προκύπτει, καθώς και η ταχύτητα της σφαίρας, αμέσως μετά την κρούση.

Δίνεται η ροπή αδράνειας της ράβδου ως προς κάθετο άξονα που περνά από το μέσον της Ο, Ι_ο= (1/12)Μl².

Απάντηση:

ή

 Πώς εφαρμόζεται η αρχή διατήρησης Στροφορμής (ΑΔΣ)

Πώς εφαρμόζεται η αρχή διατήρησης Στροφορμής (ΑΔΣ)