Η κίνηση μιας τετράγωνης πλάκας.

Στην οριζόντια επιφάνεια μιας παγωμένης λίμνης κινείται μια οριζόντια ομογενής τετράγωνη πλάκα πλευράς α=1m, χωρίς να μεταβάλλεται η κίνησή της. Σε μια στιγμή t₀=0, η πλάκα βρίσκεται στη θέση που φαίνεται στο διπλανό σχήμα, ενώ οι ταχύτητες της κορυφής Α και του μέσου Μ της πλευράς ΓΔ, έχουν μέτρα υ₁=1m/s και υ₂=2m/s και κατευθύνσεις όπως στο σχήμα (κάτοψη).

i) Να βρείτε την ταχύτητα του κέντρου Κ της τετράγωνης πλάκας.

ii) Να υπολογιστεί η ταχύτητα της κορυφής Β, την ίδια στιγμή (t₀).

iii) Ποιες οι ταχύτητες της κορυφής Α και του σημείου Μ, τη χρονική στιγμή t₁=4,71s;

Απάντηση:

ή

 Η κίνηση μιας τετράγωνης πλάκας.
Η κίνηση μιας τετράγωνης πλάκας.

Η δύναμη στον πυθμένα και η πίεση…

Στο παραπάνω σχήμα, ένα μεγάλο κυλινδρικό δοχείο περιέχει νερό, ενώ κοντά στην βάση του υπάρχει ένας οριζόντιος σωλήνας, μεταβλητής διατομής, μέσω του οποίου εκρέει το νερό σε μια μόνιμη και στρωτή ροή. Στο σημείο Α του σχήματος η ταχύτητα ροής είναι υ και η πίεση p₁.

i) Η δύναμη F που ασκεί το νερό στον πυθμένα του δοχείου εμβαδού Α, έχει με μέτρο:

α) F< p_ατμ+ρgh,   β) F= p_ατμ+ρgh,   γ) F > p_ατμ+ρgh

ii) Κλείνουμε με τάπα το δεξιό άκρο του σωλήνα και η ροή σταματά. Τότε η πίεση p₂ στο σημείο Α θα αποκτήσει τιμή:

α) p₂ < p₁ + ½ ρυ²,   β) p₂ = p₁ + ½ ρυ²,    γ) p₂ > p₁ + ½ ρυ².

Απάντηση:

ή

 Η δύναμη στον πυθμένα και η πίεση…

Η δύναμη στον πυθμένα και η πίεση…

Πού οφείλεται η κίνηση σώματος και πού η ροή;

1) Ένα σώμα μάζας m=2kg, κατέρχεται κατά μήκος ενός λείου κεκλιμένου επιπέδου κλίσεως θ=30°. Σε μια στιγμή περνά από τη θέση Α με ταχύτητα υ₁, ενώ μετά από λίγο φτάνει στη βάση του επιπέδου με ταχύτητα μέτρου υ₂=4m/s, όπως στο σχήμα. Η κατακόρυφη απόσταση των σημείων Α και Β είναι h=0,6m.

i) Να υπολογιστεί η απαραίτητη σταθερή δύναμη F, παράλληλη στο επίπεδο, που πρέπει να ασκηθεί στο σώμα, αν η ταχύτητα  έχει μέτρο:

α) υ₁=4m/s,   β) υ₁=2m/s,   γ) υ₁=5m/s.

ii) Πού οφείλεται η κίνηση του σώματος σε κάθε περίπτωση;

2)  Στο διπλανό σχήμα δίνεται ένας πλάγιος σωλήνας, τμήμα ενός δικτύου ύδρευσης, όπου το νερό στο σημείο Β ρέει με ταχύτητα μέτρου υ₂=4m/s. Στο σημείο Α το οποίο απέχει κατακόρυφη απόσταση h=0,6m από το σημείο Β, η ταχύτητα ροής είναι υ₁. Το νερό θεωρείται ιδανικό ρευστό πυκνότητας ρ=1.000kg/m³, η ροή μόνιμη και στρωτή, ενώ p_Β=20.000Ρα και g=10m/s².

α) Να υπολογιστεί η πίεση στο σημείο Α, όταν:

i)  Ο σωλήνας έχει σταθερή διατομή, όπως στο σχήμα.

ii)  Η ταχύτητα στο σημείο Α είναι υ₁=1m/s. Ποια μορφή πρέπει να έχει ο σωλήνας στην περίπτωση αυτή;

iii) Η ταχύτητα στο σημείο Α είναι υ₁=6m/s. Ποια η αντίστοιχη μορφή του σωλήνα;

β) Πού οφείλεται η ροή του νερού από το σημείο Α στο Β σε κάθε περίπτωση;

Απαντήσεις:

ή

 Πού οφείλεται η κίνηση σώματος και πού η ροή;

Πού οφείλεται η κίνηση σώματος και πού η ροή;

Τρεις διαφορετικές κινήσεις ενός τροχού.

3) Ένας οριζόντιος δίσκος (ένας τροχός…ξαπλωμένος!), κέντρου Κ και ακτίνας R=0,5m, κινείται σε λείο οριζόντιο επίπεδο. Έστω ένα σύστημα ορθογωνίων αξόνων με αρχή το Κ. Το σημείο Α του δίσκου, στη θέση (x,y)=(-0,5m,0) έχει ταχύτητα στη διεύθυνση x, μέτρου υ₁=2m/s, ενώ το σημείο Β, στη θέση (x,y)=(0,-0,5m) έχει ταχύτητα υ₂ η οποία σχηματίζει με τη διεύθυνση x γωνία θ, όπου εφθ=0,5.

i) Να βρεθεί η ταχύτητα του κέντρου μάζας Κ του δίσκου.

ii) Να υπολογιστεί το μέτρο της ταχύτητας του σημείου Β.

Απάντηση:

ή

 Τρεις  διαφορετικές κινήσεις ενός τροχού.

Τρεις διαφορετικές κινήσεις ενός τροχού.

Η τριβή εξασφαλίζει την ισορροπία;

Η ομογενής ράβδος ΑΒ του σχήματος, βάρους w, ισορροπεί σε οριζόντια θέση, δεμένη στο άκρο της Β με νήμα, το οποίο σχηματίζει γωνία θ με τη ράβδο όπου εφθ=0,5, ενώ το άλλο της άκρο Α, στηρίζεται σε μη λείο κατακόρυφο τοίχο.

i)  Να υπολογιστεί ο ελάχιστος συντελεστής οριακής στατικής τριβής μεταξύ ράβδου και τοίχου, για την παραπάνω ισορροπία.

Δίνεται ο συντελεστής οριακής στατικής τριβής μεταξύ ράβδου και τοίχου μ_s=0,5.

ii)  Αν στο άκρο Β κρεμάσουμε μέσω νήματος, μια σφαίρα βάρους w₁ τότε:

α) Η ασκούμενη τριβή θα αυξηθεί.

β) Το σύστημα θα συνεχίσει να ισορροπεί.

γ) Η ράβδος θα γλιστρήσει στο άκρο της Α.

iii) Ποια η ελάχιστη απόσταση x, από το άκρο Α της ράβδου, στην οποία μπορούμε να τοποθετήσουμε ένα σώμα Σ βάρους  w₁, χωρίς να ολισθήσει η ράβδος.

Απάντηση:

ή

 Η τριβή εξασφαλίζει την ισορροπία;
Η τριβή εξασφαλίζει την ισορροπία;

Ένα έμβολο κλείνει το δοχείο.

Στο σχήμα βλέπετε ένα μεγάλο δοχείο, το οποίο περιέχει νερό και το οποίο κλείνεται με βαρύ έμβολο, το οποίο μπορεί να κινείται χωρίς τριβές και πάνω στο οποίο έχουμε τοποθετήσει ένα βαρύ σώμα. Σε βάθος h από την πάνω επιφάνεια του νερού υπάρχει ένας οριζόντιος σωλήνας μεταβλητής διατομής, το δεξιό άκρο του οποίου κλείνεται με τάπα. Αν p_ατ η ατμοσφαιρική πίεση, ενώ το νερό θεωρείται ιδανικό ρευστό, με πυκνότητα ρ, τότε:

i) Η πίεση στο σημείο Κ έχει τιμή:

α) p_Κ=p_ατ,   β) p_Κ=p_ατ+ρgh   γ) p_Κ > p_ατ+ρgh   δ) p_Κ < p_ατ+ρgh

Βγάζουμε την τάπα και αποκαθίσταται μια μόνιμη ροή με ταχύτητα εκροής στο άκρο του σωλήνα υ.

ii) Για την ταχύτητα εκροής υ ισχύει:

α) υ< √2gh     β)  υ=  √2gh  ,      γ) υ>  √2gh  .

iii) Για την πίεση τώρα στο σημείο Κ:

α) Παρέμεινε σταθερή και ίση με αυτήν του i) ερωτήματος.

β) Είναι μικρότερη της ατμοσφαιρικής πίεσης

γ) Είναι ίση με την ατμοσφαιρική πίεση.

δ) Είναι μεγαλύτερη της ατμοσφαιρικής πίεσης.

ε) Έχει τιμή p_Κ=ρgh.

 Απάντηση:

ή
  Ένα έμβολο κλείνει το δοχείο.
Ένα έμβολο κλείνει το δοχείο.

Τέσσερις τρόποι άντλησης νερού.

Στα παραπάνω σχήματα βλέπουμε 4 τρόπους για εκροή νερού από μια μεγάλη δεξαμενή, όπου ο οριζόντιος σωλήνας στο σχήμα (α) και οι τρεις άλλοι σωλήνες (σιφώνια), όπου η άντληση γίνεται με αναρρόφηση, έχουν ίσες διατομές.

i) Για τις ταχύτητες εκροής στα σχήματα (α) και (β) ισχύει:

1) υ_α < υ_β,   2)  υ_α = υ_β,   3) υ_α > υ_β.

ii) Για τις  παροχές στα δοχεία (β) και (γ) ισχύει:

1) Π_β < Π_γ,   2)  Π_β = Π_γ,   3) Π_β > Π_γ.

iii) Η σύγκριση των ταχυτήτων εκροής μεταξύ των δοχείων (γ) και (δ) μας δίνει:

1) υ_γ < υ_δ,   2)  υ_γ = υ_δ,   3) υ_γ > υ_δ.

iv) Να συγκριθούν οι συνολικοί χρόνοι εκροής νερού από τα δοχεία (γ) και (δ).

Να δικαιολογήσετε αναλυτικά τις απαντήσεις σας, θεωρώντας τις ροές ως μόνιμες και στρωτές ροές, ενός ιδανικού ρευστού.

Απάντηση:

ή

 Τέσσερις τρόποι άντλησης νερού.

Τέσσερις τρόποι άντλησης νερού.

Δύο εναλλακτικοί τρόποι άντλησης νερού

 

Από ένα υπερυψωμένο μεγάλο ντεπόζιτο, το οποίο περιέχει νερό σε ύψος h, πρόκειται να αντλήσουμε νερό για να γεμίσουμε ένα άδειο δοχείο όγκου V.  Στο σχήμα βλέπουμε δύο ενδεχόμενα, όπου στο (1) στο κάτω μέρος του δοχείου υπάρχει ένας μικρός οριζόντιος σωλήνας διατομής Α. Στο (2) έχουμε συνδέσει, στην ίδια θέση  ένα λάστιχο εσωτερικής διατομής Α, το οποίο καταλήγει στον πυθμένα του δοχείου.

i) Μόλις αρχίσει η ροή, το νερό θα φτάσει με μεγαλύτερη ταχύτητα στον πυθμένα:

α) του πρώτου δοχείου,  β) του δεύτερου δοχείου,  γ) θα φτάσει με την ίδια ταχύτητα και στα δυο δοχεία.

ii) Η αρχική παροχή θα είναι ίση και στις δυο περιπτώσεις ή όχι;

iii) Η ταχύτητα ανόδου της επιφάνειας του νερού στο πρώτο δοχείο παραμένει σταθερή ή όχι;

iv) Ποιο δοχείο θα γεμίσει πρώτο;

Να δικαιολογήσετε αναλυτικά τις απαντήσεις σας, θεωρώντας τις ροές μόνιμες και στρωτές ροές ενός ιδανικού ρευστού.

Απάντηση:

 ή
  Δύο εναλλακτικοί τρόποι άντλησης νερού
Δύο εναλλακτικοί τρόποι άντλησης νερού