Ένα σύστημα δύο σωμάτων σε ταλάντωση

Τα σώματα Σ₁ και Σ₂ με μάζες m₁=1kg και m₂=3kg ηρεμούν σε λείο οριζόντιο επίπεδο, σε επαφή, δεμένα στα άκρα δύο οριζόντιων ιδανικών ελατηρίων με σταθερές k₁=100Ν/m και k₂=60Ν/m αντίστοιχα. Το Σ₁ διατηρεί το ελατήριο k₁ συσπειρωμένο κατά Δl₁=0,4m, με τη βοήθεια ενός νήματος που το συνδέει με κατακόρυφο τοίχο, ενώ το δεύτερο ελατήριο έχει το φυσικό μήκος του.

i)  Να υπολογιστεί  η τάση το νήματος, καθώς και η δύναμη F₁₂ που ασκείται στο σώμα Σ₁ από το Σ₂.

Σε μια στιγμή t₀=0 κόβουμε το νήμα.

ii) Να υπολογίστε την αρχική επιτάχυνση α₀ που θα αποκτήσουν τα δυο σώματα, καθώς και το μέτρο της δύναμης F₁₂, αμέσως μόλις κοπεί το νήμα.

iii) Αφού αποδειχθεί ότι το σύστημα  των δύο σωμάτων εκτελεί ΑΑΤ, να υπολογισθεί η περίοδος της ταλάντωσης, καθώς και η μέγιστη ταχύτητα του συστήματος των δύο σωμάτων.

iv) Υποστηρίζεται ότι τα δυο σώματα κάποια στιγμή της διάρκειας της ταλάντωσης αποχωρίζονται. Για να εξετάσουμε την υπόθεση αυτή, βρίσκουμε την δύναμη αλληλεπίδρασης μεταξύ των σωμάτων. Στη θέση που αυτή μηδενίζεται, τα σώματα θα αποχωρίζονται κινούμενα αυτόνομα. Να βρεθεί λοιπόν η δύναμη F₂₁ σε συνάρτηση με την απομάκρυνση από τη θέση ισορροπίας και να γίνει η γραφική της παράσταση. Τι συμπεραίνετε, αποχωρίζονται τα σώματα, εκτελώντας από κάποια θέση και μετά, το καθένα τη δική του ταλάντωση;

Δίνεται π²≈10.

Απάντηση:

ή

 Ένα σύστημα δύο σωμάτων σε ταλάντωση

Ένα σύστημα δύο σωμάτων σε ταλάντωση

Οι ταλαντώσεις και ένα διάγραμμα

Τα σώματα Σ₁ και Σ₂ του  σχήματος, είναι δεμένα στα άκρα δύο οριζόντιων ιδανικών ελατηρίων και ισορροπούν σε επαφή, πάνω σε ένα λείο οριζόντιο επίπεδο.

i)  Αν το πρώτο ελατήριο σταθεράς k₁ έχει το φυσικό μήκος του, να αποδείξτε ότι και το δεύτερο ελατήριο k₂, έχει επίσης το φυσικό του μήκος.

Εκτρέπουμε το σώμα Σ₁ προς τα δεξιά συμπιέζοντας το ελατήριο κατά Α₀ και το αφήνουμε να ταλαντωθεί. Στο κάτω σχήμα δίνεται η απομάκρυνση του σώματος Σ₁ σε συνάρτηση με το χρόνο, όπου τις στιγμές t₁ και t₂ συγκρούεται κεντρικά και ελαστικά με το σώμα Σ₂.

ii) Για τις παραπάνω χρονικές στιγμές ισχύει:

α)  t₂ < 3t₁,    β)  t₂ = 3t₁,    γ)  t₂ > 3t₁.

iii) Για τις μάζες m₁ και m₂ των σωμάτων Σ₁ και Σ₂ αντίστοιχα ισχύει:

α) m₁ < m₂,    β) m₁ = m₂,    γ) m₁ > m₂.

iv) Αν m₂=2m₁ να υπολογίσετε τα πλάτη ταλάντωσης των δύο σωμάτων, μετά την πρώτη μεταξύ τους κρούση, σε συνάρτηση με το αρχικό πλάτος Α₀ του Σ₁.

Δίνεται ότι οι κινήσεις των σωμάτων μεταξύ των δύο κρούσεων είναι τμήματα ΑΑΤ, ενώ ούτε και το σώμα Σ₂ έχει ολοκληρώσει μια πλήρη ταλάντωση μεταξύ πρώτης και δεύτερης κρούσης.

Απάντηση:

ή

 Οι  ταλαντώσεις και ένα διάγραμμα

Οι  ταλαντώσεις και ένα διάγραμμα

Θέματα Επαναληπτικών εξετάσεων στη Φυσική

Δύο ιδανικά ελατήρια Α και Β με σταθερές k₁ και k₂ αντίστοιχα κρέμονται από δύο ακλόνητα σημεία (Σχήμα 3). Στα κάτω άκρα των ελατηρίων Α και Β είναι δεμένα και ισορροπούν δύο σώματα Σ₁ μάζας m₁ και Σ₂ μάζας m₂ .

Στην κατάσταση αυτή το ελατήριο Α έχει διπλάσια επιμήκυνση από το ελατήριο Β. Εκτρέπουμε τα σώματα Σ₁ και Σ₂ κατακόρυφα μέχρις ότου τα ελατήρια αποκτήσουν το φυσικό τους μήκος και τα αφήνουμε ελεύθερα. Τα σώματα Σ1 και Σ₂ εκτελούν απλή αρμονική ταλάντωση με ενέργειες ταλάντωσης E₁ και E₂ =2E₁  αντίστοιχα.

Ο λόγος των σταθερών k₁ και k₂ των δύο ελατηρίων Α και Β είναι ίσος με:

Δείτε όλα τα θέματα από εδώ.

Ελαστική κρούση και ίδιες αποστάσεις

Σε οριζόντιο επίπεδο ηρεμούν δύο σώματα Α, Β με μάζες m₁ και m₂ αντίστοιχα, σχήματος κύβου, της ίδιας ακμής και διαφορετικής πυκνότητας. Σε μια στιγμή το σώμα Α δέχεται στιγμιαίο κτύπημα με αποτέλεσμα να αποκτήσει κάποια ταχύτητα υ₀ με κατεύθυνση προς το σώμα Β, με το οποίο συγκρούεται κεντρικά και ελαστικά, μετά από λίγο. Αν τα σώματα εμφανίζουν τον ίδιο συντελεστή τριβής ολίσθησης με το επίπεδο και μετά την κρούση, σταματούν αφού διανύσουν ίσες αποστάσεις, τότε για τις μάζες των σωμάτων ισχύει:

α) m₁=2m₂,   β) m₁=3m₂,    γ)  m₂=2m₁,   δ)  m₂=3m₁.

Να δικαιολογήσετε την επιλογή σας.

Απάντηση:

ή

 Ελαστική κρούση και ίδιες αποστάσεις

Ελαστική κρούση και ίδιες αποστάσεις

Μια διερεύνηση για πολλαπλές κρούσεις

Σε λείο οριζόντιο επίπεδο ηρεμούν δύο σφαίρες Α, Β, της ίδιας ακτίνας και με μάζες m και Μ αντίστοιχα, σε ευθεία x κάθετη σε κατακόρυφο τοίχο. Σε μια στιγμή t₀=0, η Α σφαίρα δέχεται στιγμιαίο κτύπημα με τη βοήθεια του οποίου αποκτά ταχύτητα υ_ο στη διεύθυνση x. Θεωρώντας ως αρχή ενός άξονα x τη θέση του τοίχου, παίρνουμε το διάγραμμα x(t) του διπλανού σχήματος, για τη θέση της Α σφαίρας.

i)   Να περιγράψετε την ακριβή εξέλιξη της κίνησης της Α σφαίρας με βάση το διπλανό διάγραμμα x(t).

ii)  Αν όλες οι κρούσεις που συνέβησαν ήταν κεντρικές και ελαστικές, να δικαιολογήσετε γιατί για τις μάζες των δύο σφαιρών ισχύει m < Μ.

iii) Αν η σφαίρα Α έχει μάζα m=1kg να υπολογιστεί η μάζα Μ της Β σφαίρας.

iv) Να υπολογιστεί η απόσταση των δύο σφαιρών τη χρονική στιγμή t₁=23s, συναρτήσει του x₀.

v) Θα υπάρξει νέα κρούση μεταξύ των δύο σφαιρών μετά τη  στιγμή t₁; Αν ναι, να βρείτε:

 α) Τη χρονική στιγμή t₂ όπου θα συμβεί αυτό.

  β) Τις νέες ταχύτητες των σφαιρών (συναρτήσει του xo),  μετά την κρούση αυτή.

vi) Για ποιες τιμές της μάζας Μ της σφαίρας Β, δεν θα είχαμε δεύτερη κρούση μεταξύ των σφαιρών;

 Απάντηση:

ή

   Μια διερεύνηση για πολλαπλές κρούσεις

Μια διερεύνηση για πολλαπλές κρούσεις

Πόσες κρούσεις πρόκειται να συμβούν

Σε λείο οριζόντιο επίπεδο ηρεμούν τρεις σφαίρες Α, Β και Γ, της ίδιας ακτίνας και με μάζες m, 4m και 5m αντίστοιχα, στην ίδια ευθεία. Η σφαίρα Α απέχει την ίδια απόσταση α, από τις δυο άλλες, όπως στο σχήμα. Σε μια στιγμή t₀=0, η Α σφαίρα δέχεται στιγμιαίο κτύπημα με τη βοήθεια του οποίου αποκτά ταχύτητα μέτρου υ₀, με κατεύθυνση προς την σφαίρα Β, με αποτέλεσμα να ακολουθήσουν μια σειρά κρούσεων της σφαίρας Α με τις άλλες δύο σφαίρες. Όλες οι κρούσεις θεωρούνται  κεντρικές και ελαστικές.

i) Πόσες τέτοιες κρούσεις πρόκειται να συμβούν;

ii) Τι ποσοστό της αρχικής κινητικής ενέργειας της σφαίρας Α, θα έχει τελικά κάθε σφαίρα, μετά την ολοκλήρωση των κρούσεων;

iii) Αν α=6m, ενώ υ₀=3m/s, να κάνετε τη γραφική παράσταση της απόστασης μεταξύ των σφαιρών Α και Β σε συνάρτηση με το χρόνο.

Απάντηση:

ή

 Πόσες κρούσεις πρόκειται να συμβούν;

Πόσες κρούσεις πρόκειται να συμβούν;

Δύο διαδοχικές ελαστικές κρούσεις.

Τα σώματα Α και Β του σχήματος, με μάζες m₁=4kg και m₂=1kg εμφανίζουν με το οριζόντιο επίπεδο τον ίδιο συντελεστή τριβής ολίσθησης μ=0,5. Το σώμα Β ηρεμεί δεμένο στο άκρο οριζόντιου ιδανικού ελατηρίου σταθεράς k=40Ν/m, το οποίο έχει το φυσικό του μήκος. Το σώμα Α κινείται κατά μήκος του άξονα του ελατηρίου και φτάνει στο σώμα Β με ταχύτητα u₀=5m/s. Η κρούση που ακολουθεί είναι κεντρική και ελαστική. Μετά την κρούση το σώμα Β συμπιέζει το ελατήριο, ενώ μετά από λίγο ακολουθεί δεύτερη κεντρική και ελαστική κρούση μεταξύ των δύο σωμάτων. Ελάχιστα πριν την 2^η κρούση το σώμα Α έχει ταχύτητα μέτρου v₁=1,14m/s, ενώ αμέσως μετά, ταχύτητα μέτρου v₁΄=1,32m/s. Ζητούνται:

i)  Οι ταχύτητες των δύο σωμάτων αμέσως μετά την πρώτη κρούση.

ii) Η επιτάχυνση κάθε σώματος, όταν το καθένα έχει μετατοπισθεί κατά Δx=0,2m, από τη θέση της πρώτης κρούσης.

iii) Η ταχύτητα του Β σώματος πριν και μετά την 2^η κρούση.

iv) Η απόσταση x μεταξύ των θέσεων των δύο κρούσεων.

v) Η απόσταση που διανύει το σώμα Β μεταξύ των δύο κρούσεων.

Δίνεται g=10m/s², ενώ τα σώματα θεωρούνται υλικά σημεία αμελητέων διαστάσεων.

Απάντηση:

ή

 Δύο διαδοχικές ελαστικές κρούσεις.

 Δύο διαδοχικές ελαστικές κρούσεις.
ξανά

Δύο επίπεδα και μια ελαστική κρούση

Σε μη λείο οριζόντιο επίπεδο (1) ηρεμούν δύο σώματα Α και Β, όπου το δεύτερο είναι δεμένο στο άκρο οριζόντιου ιδανικού ελατηρίου σταθεράς k=20Ν/m, το οποίο έχει το φυσικό του μήκος, απέχοντας κατά s=1,6m. Σε μια στιγμή εκτοξεύεται το σώμα Α, μάζας m₁=2kg, με αρχική ταχύτητα u₀=5m/s, προς το σώμα Β, όπως στο σχήμα. Ο συντελεστής τριβής μεταξύ του σώματος Α και του επιπέδου είναι μ₁=0,5. Μετά από λίγο τα σώματα συγκρούονται κεντρικά και ελαστικά, με αποτέλεσμα το Β να αποκτά ταχύτητα υ₀=3m/s και να αρχίζει να συμπιέζει το ελατήριο. Μόλις το ελατήριο συμπιεστεί κατά x=0,4m, το σώμα Β, έχοντας ταχύτητα υ₁=2m/s, περνά σε ένα δεύτερο λείο οριζόντιο επίπεδο (2), στο οποίο κινείται, μέχρι να προκαλέσει μέγιστη συμπίεση του ελατηρίου κατά Δl. Να βρεθούν:

i)  Η μάζα του σώματος Β.

ii) Η τριβή που δέχεται το Β σώμα από το επίπεδο 1.

iii) Η μέγιστη συμπίεση Δl το ελατηρίου.

iv) Να εξετασθεί αν τα δυο σώματα θα συγκρουσθούν για δεύτερη φορά.

Δίνεται g=10m/s².

Απάντηση:

ή

  Δύο επίπεδα και μια ελαστική κρούση

Δύο επίπεδα και μια ελαστική κρούση