Τρίτη, 30 Απριλίου 2013

Μέγιστη στροφορμή και ρυθμός μεταβολής της.


Μια ομογενής ράβδος μάζας Μ και μήκους ℓ, μπορεί να στρέφεται χωρίς τριβές, γύρω από οριζόντιο άξονα που περνά από το μέσον της Ο, διαγράφοντας κατακόρυφο επίπεδο. Στο ένα της άκρο έχει προσδεθεί μια σημειακή μάζα Μ, οπότε έτσι έχουμε δημιουργήσει ένα στερεό S. Φέρνουμε το στερεό S, στη θέση που φαίνεται στο σχήμα και το αφήνουμε ελεύθερο να κινηθεί.
i) Ο μέγιστος ρυθμός μεταβολής της στροφορμής του στερεού, ως προς τον άξονα περιστροφής του στο Ο, έχει μέτρο:
α) 1/3 Μgℓ             β) ½ Μgℓ       γ) 1/3 Μgℓ2    δ) 1/3 Μgℓ2∙ω
ii) Αν η σημειακή μάζα αποκτήσει μέγιστη ταχύτητα μέτρου υ, τότε η μέγιστη στροφορμή του στερεού, ως προς τον άξονα περιστροφής του στο Ο, έχει μέτρο:
α)  1/3 Μℓυ   β) 2/3 Μℓυ     γ) 1/3 Μℓ2υ    δ) 2/3 Μℓ2υ.
Να δικαιολογήστε τις απαντήσεις σας.
Δίνεται η ροπή αδράνειας ομογενούς ράβδου ως προς κάθετο σε αυτήν άξονα που περνά από το μέσον της Ι= Μℓ2/12
ή

Πέμπτη, 25 Απριλίου 2013

Ένα δεύτερο θέμα με δυο ταλαντώσεις.

Ένα σώμα ηρεμεί στο κάτω άκρο ενός κατακόρυφου ελατηρίου, όπως στο σχήμα, θέση (1). Σε μια στιγμή ασκούμε πάνω του μια σταθερή κατακόρυφη δύναμη F, μέχρι τη θέση (2) που μηδενίζεται η ταχύτητα του σώματος, όπου και η δύναμη παύει να ασκείται.
i) Αν η διάρκεια της κίνησης προς τα κάτω, από την θέση (1) μέχρι τη θέση (2), με την επίδραση της δύναμης F είναι t1, ενώ η διάρκεια της επιστροφής, μέχρι την αρχική του θέση (1) είναι t2, τότε για το λόγο t1/t2 ισχύει:
α) t1/t2= ½              β) t1/t2 = 1            γ) t1/t2=2         δ) t1/t2= 1/3
ii) Αν υ1 η τιμή της μέγιστης ταχύτητας του σώματος κατά την κάθοδο και υ2 η μέγιστη ταχύτητα κατά την κάθοδο, τότε ισχύει:
α) υ12=  ½      β) υ12= 1       γ) υ12=2
Να δικαιολογήσετε τις απαντήσεις σας.
ή

Τρίτη, 23 Απριλίου 2013

Προσπαθώντας να υπερπηδήσει το εμπόδιο…

Γύρω από έναν κύλινδρο τυλίγουμε ένα νήμα στο άκρο του οποίου ασκούμε οριζόντια δύναμη F1, με στόχο να υπερπηδήσει ο κύλινδρος ένα πακτωμένο εμπόδιο, ύψους h=R, όπως στο σχήμα. Το οριζόντιο επίπεδο είναι λείο και ο κύλινδρος ισορροπεί.
i) Σχεδιάστε τη δύναμη που ασκείται στον κύλινδρο στο σημείο επαφής του με το εμπόδιο Κ, δικαιολογώντας την κατεύθυνσή της.
ii) Η κάθετη αντίδραση του επιπέδου είναι:
α)  Μεγαλύτερη από το βάρος του κυλίνδρου.
β)  Ίση με το βάρος του κυλίνδρου.
γ)  Μικρότερη από το βάρος.    
iii) Αυξάνουμε σιγά-σιγά το μέτρο της δύναμης F1. Τη στιγμή που ο κύλινδρος είναι έτοιμος να υπερπηδήσει το εμπόδιο, το μέτρο της δύναμης F1 είναι:
α) Ίσο με το βάρος του κυλίνδρου.
β) Μεγαλύτερο από το βάρος.
γ) Μικρότερο από το βάρος.
iv) Αν δεν αναπτύσσεται τριβή μεταξύ εμποδίου και κυλίνδρου, να εξετάσετε αν μπορεί και με ποιες προϋποθέσεις, ο κύλινδρος να υπερπηδήσει το εμπόδιο.
Να δικαιολογήσετε τις απαντήσεις σας.
ή

Δευτέρα, 22 Απριλίου 2013

Θα μετακινήσουμε και την βάση της τροχαλίας;

Δίνεται μια τροχαλία, μάζας m=2kg, η οποία στηρίζεται σε βάση μάζας Μ=2kg και η οποία μπορεί να περιστρέφεται γύρω από τον οριζόντιο άξονά της χωρίς τριβές. Γύρω από την τροχαλία, έχουμε τυλίξει αρκετές φορές ένα αβαρές νήμα, το άλλο άκρο του οποίου έχει δεθεί σε σώμα Σ μάζας 1kg, με το νήμα τεντωμένο. Τα σώματα ηρεμούν σε οριζόντιο επίπεδο με το οποίο παρουσιάζουν συντελεστές τριβής μ=μs=0,2. Σε μια στιγμή t=0, ασκούμε στο σώμα Σ μια σταθερή οριζόντια δύναμη F, όπως στο σχήμα.
i) Να υπολογιστεί το έργο της  δύναμης F σε χρονικό διάστημα t1=4s στις παρακάτω περιπτώσεις:
α) Αν F=1Ν
β) Αν F=6Ν
Να βρεθεί σε κάθε περίπτωση η κινητική ενέργεια που αποκτά η τροχαλία.
ii) Ποια η μέγιστη τιμή της δύναμης που μπορούμε να ασκήσουμε στο σώμα Σ, χωρίς να μετακινηθεί η βάση της τροχαλίας;
iii) Ασκώντας μια μεγαλύτερη δύναμη, μετακινείται και η βάση της τροχαλίας, αποκτώντας σταθερή επιτάχυνση α2=1m/s2.
α) Να βρεθεί η κινητική ενέργεια που θα αποκτήσει η τροχαλία σε χρονικό διάστημα 2s, στην περίπτωση αυτή.  
β) Πόση η αντίστοιχη κινητική ενέργεια του σώματος Σ;
Δίνεται η ροπή αδράνεια της τροχαλίας ως προς τον άξονά της Ι= ½ mR2 και g=10m/s2.
ή

Κυριακή, 21 Απριλίου 2013

Μια ελαστική κρούση και η στροφορμή.

Μια μικρή σφαίρα μάζας m=0,1kg ηρεμεί δεμένη στο κάτω άκρο νήματος μήκους ℓ=3m, το άλλο άκρο του οποίου έχει δεθεί σε σταθερό σημείο Ο,  ενώ εφάπτεται σε ένα σώμα , το οποίο ηρεμεί σε οριζόντιο επίπεδο. Εκτρέπουμε τη σφαίρα φέρνοντάς την στο σημείο Α, σε ύψος h=1,25m και την αφήνουμε να κινηθεί.  Μετά την μετωπική και ελαστική κρούση της σφαίρας με το σώμα Σ, η σφαίρα επιστρέφει φτάνοντας σε ύψος h1=0,45m, ενώ το σώμα Σ διανύει απόσταση x=2m, μέχρι να σταματήσει. Να υπολογιστούν:
i)   Η μάζα M του σώματος Σ.
ii)  Η μεταβολή της ορμής της σφαίρας που οφείλεται στην κρούση.
iii) Ο συντελεστής τριβής ολίσθησης μεταξύ του σώματος Σ και του επιπέδου.
iv) Τη στιγμή που η σφαίρα βρίσκεται σε ύψος h2=0,25m κατά την άνοδό της, να βρεθούν:
α) Η  στροφορμή της σφαίρας (μέτρο και κατεύθυνση) ως προς το σημείο Ο, καθώς και ο ρυθμός μεταβολής της αντίστοιχης στροφορμής.
β) Ο ρυθμός μεταβολής της κινητικής ενέργειας της σφαίρας.
Δίνεται g=10m/s2.
ή


Τετάρτη, 17 Απριλίου 2013

Φαινόμενο Doppler σε μια ευθύγραμμη κίνηση.

Ένα αυτοκίνητο κινείται ευθύγραμμα με σταθερή ταχύτητα. Ο συνοδηγός του αυτοκινήτου κρατά στο χέρι του ένα ευαίσθητο μικρόφωνο, με την βοήθεια του οποίου μπορεί να μετρά τη συχνότητα του ήχου. Μια πηγή s αρμονικού ήχου, απέχει κατά (ΚΟ)= d=30m από τον δρόμο και κάποια στιγμή εκπέμπει έναν απλό ήχο, ορισμένης διάρκειας. Το μικρόφωνο αρχίζει να καταμετρά τον ήχο τη στιγμή, που απέχει απόσταση  (ΒΟ)=d1= 40m από το Ο με αρχική ένδειξη 7.120Ηz, ενώ η ένδειξη αυτή ελαττώνεται, φτάνοντας σε ελάχιστη τιμή 6.800Ηz, τη στιγμή που φτάνει στο σημείο Ο, όπου και σταματά να ακούγεται ήχος.
i)  Να ερμηνεύσετε την μείωση της συχνότητας του ήχου που μετράει ο συνοδηγός.
ii)  Ποια η συχνότητα του ήχου που παράγει η πηγή s;
iii) Να υπολογιστεί η ταχύτητα του αυτοκινήτου.
iv) Να βρεθεί ο αριθμός των ταλαντώσεων που εκτέλεσε η πηγή του ήχου.
Δίνεται η ταχύτητα του ήχου στον αέρα υ=340m/s.
ή


Τρίτη, 16 Απριλίου 2013

Τρία αυτοκίνητα και φαινόμενο Doppler.

Σε ένα ευθύγραμμο δρόμο κινούνται τρία αυτοκίνητα Α,Β και Γ με την ίδια σταθερή ταχύτητα υ0=10m/s, όπως στο σχήμα. Το μεσαίο αυτοκίνητο διαθέτει μια σειρήνα, εκπέμποντας έναν αρμονικό ήχο συχνότητας fs=3500Ηz, για ένα μεγάλο χρονικό διάστημα.
i) Να βρεθούν οι συχνότητες των ήχων που ακούνε οι οδηγοί των αυτοκινήτων Α και Γ.
ii) Να βρεθεί η απόσταση των αυτοκινήτων Α και Γ, από το αυτοκίνητο Β, αν γνωρίζουμε ότι η απόσταση (ΑΒ) είναι ίση με 7.000 μήκη κύματος του ήχου που ακούει ο οδηγός του Α, ενώ η απόσταση (ΒΓ) είναι ίση με 7.000 μήκη κύματος του ήχου που ακούει ο οδηγός του Γ αυτοκινήτου.
iii) Σε μια στιγμή, έστω t0=0, το αυτοκίνητο Α επιταχύνεται με επιτάχυνση α=2m/s2 μέχρι να αποκτήσει ταχύτητα υ1=30m/s, οπότε και συνεχίζει πλέον με σταθερή ταχύτητα μέχρι τη στιγμή t1=15s.
α) Να κάνετε τη γραφική παράσταση της συχνότητας του ήχου που ακούει ο οδηγός του Α αυτοκινήτου σε συνάρτηση με το χρόνο, μέχρι τη στιγμή t1.
β) Πόσες ταλαντώσεις εκτέλεσε το τύμπανο του αυτιού του οδηγού του αυτοκινήτου Α από 0-t1;
γ) Με πόσα μήκη κύματος, του ήχου που ακούει ο οδηγός του Α, είναι ίση η απόσταση μεταξύ των αυτοκινήτων Α και Β την στιγμή t1;

Δίνεται η ταχύτητα του ήχου στον αέρα υ=340m/s.
ή

Σάββατο, 13 Απριλίου 2013

Ένα δεύτερο θέμα στις κρούσεις.

Αφήνουμε από ένα σημείο Ο ενός λείου κεκλιμένου επιπέδου μια μικρή σφαίρα Α να κινηθεί και φτάνει στη βάση του επιπέδου έχοντας ταχύτητα V.
Επαναλαμβάνουμε τη διαδικασία, αλλά κάποια στιγμή στη διάρκεια της καθόδου, που η σφαίρα Α έχει ταχύτητα υ1, συγκρούεται κεντρικά και ελαστικά με μια δεύτερη σφαίρα Β της ίδιας μάζας, η οποία κινείται προς τα πάνω και ελάχιστα πριν την κρούση έχει ταχύτητα μέτρου υ2. Τελικά η Α σφαίρα φτάνει στη βάση του επιπέδου με ταχύτητα ξανά V.
i)  Κατά την κρούση η Α σφαίρα:
α) κέρδισε ενέργεια
β) έχασε ενέργεια
γ) τίποτα από τα δύο.
ii) Η Β σφαίρα θα φτάσει στη βάση του επιπέδου με ταχύτητα V2, όπου: 
α) V< V       β) V2 = V        γ) V2 > V
Να δικαιολογήσετε τις απαντήσεις σας.
ή

Παρασκευή, 12 Απριλίου 2013

Δυο κρούσεις μεταξύ των ίδιων σωμάτων.

Σε ένα σημείο Ο ενός κεκλιμένου επιπέδου κλίσεως θ, όπου ημθ=0,6 είναι πακτωμένο ένα σώμα Β, μάζας Μ. Ένα άλλο σώμα Α μάζας m=1kg αφήνεται από απόσταση s=4m, πάνω από το Ο, να κινηθεί. Μετά από λίγο το σώμα Α συγκρούεται μετωπικά και ελαστικά με το Β και στη συνέχεια κινείται προς τα πάνω διανύοντας απόσταση d1=0,8m, μέχρι να μηδενιστεί η ταχύτητά του.
Απελευθερώνουμε το σώμα Β και το συγκρατούμε με το χέρι μας, μέχρι να συγκρουστεί μετωπικά και ελαστικά με το σώμα Α, το οποίο αφέθηκε ξανά από την ίδια απόσταση. Τη στιγμή που αρχίζει η κρούση, αφήνουμε το σώμα Β. Μετά την κρούση το σώμα Α κινείται επίσης προς τα πάνω φτάνοντας σε μέγιστη απόσταση  d2=0,2m από το σημείο Ο. Αν τα δυο σώματα παρουσιάζουν τον ίδιο συντελεστή τριβής ολίσθησης με το κεκλιμένο επίπεδο και g=10m/s2, να βρεθούν:
i) Ο συντελεστής τριβής ολίσθησης μεταξύ των σωμάτων και του επιπέδου.
ii) Η μάζα του σώματος Β.
iii) Ο ρυθμός μεταβολής της ορμής κάθε σώματος, αμέσως μετά την κρούση.
ή

Πέμπτη, 11 Απριλίου 2013

Χθες, έδωσα το τελευταίο μου Διαγώνισμα...

Σε οριζόντιο επίπεδο κυλίεται (χωρίς ολίσθηση) ένας βαρύς κύλινδρος μάζας Μ=100kg και ακτίνας R=0,4m με σταθερή ταχύτητα κέντρου μάζας υ0cm=6m/s. Γύρω από τον κύλινδρο έχουμε  τυλίξει ένα αβαρές νήμα και ασκώντας, στο άκρο του Α, τη στιγμή t=0, μια σταθερή οριζόντια δύναμη F, τον ακινητοποιούμε, μετά από λίγο. Το «φρενάρισμα» αυτό διαρκεί χρονικό διάστημα Δt=10s, στη διάρκεια του οποίου ο κύλινδρος κυλίεται (χωρίς να ολισθαίνει). Να βρεθούν:
i) Η επιτάχυνση (επιβράδυνση) του κυλίνδρου και η απόσταση που διανύει, μέχρι να σταματήσει.
ii) Το μέτρο της ασκούμενης δύναμης F, καθώς και η τριβή που ασκείται στον κύλινδρο από το έδαφος.
iii) Η ισχύς της δύναμης F και ο ρυθμός μεταβολής της στροφορμής (μέτρο και κατεύθυνση) του κυλίνδρου ως προς τον άξονά του, τη χρονική στιγμή t2=5s
Δίνεται η ροπή αδράνειας του κυλίνδρου ως προς τον άξονά του Ιcm= ½ ΜR2 .
Δείτε όλο το διαγώνισμα σε docx αλλά και σε  doc.
Και οι απαντήσεις εδώ.

Τετάρτη, 10 Απριλίου 2013

Δυο σφαίρες που δεν αφέθηκαν ταυτόχρονα.

Δυο μικρές μεταλλικές σφαίρες Α και Β ηρεμούν στα κάτω άκρα δύο ίσων νημάτων με το ίδιο μήκος. Τα νήματα έχουν δεθεί στο ίδιο σημείο Ο, σε ύψος h=1,8m από το έδαφος. Εκτρέπουμε τις  δυο σφαίρες ώστε τα νήματα να γίνουν οριζόντια, όπως στο διπλανό σχήμα. Σε μια στιγμή αφήνουμε πρώτα την Α σφαίρα και μετά από λίγο την Β να κινηθούν. Οι σφαίρες συγκρούονται κεντρικά και ελαστικά σε μια ενδιάμεση θέση. Στη διάρκεια της κρούσης κόβεται το νήμα που συγκρατεί τη σφαίρα Β, η οποία τελικά φτάνει στο έδαφος με ταχύτητα υ=6m/s.
i)  Να υπολογιστεί το έργο της δύναμης που ασκήθηκε στην Β σφαίρα από την Α, στη διάρκεια της κρούσης.
ii) Να εξετάσετε αν η Α σφαίρα θα φτάσει ποτέ στην οριζόντια θέση από την οποία αφέθηκε η Β σφαίρα.
iii)  Επαναλαμβάνουμε το πείραμα αντικαθιστώντας την Β σφαίρα με άλλη ίσης ακτίνας και διπλάσιας μάζας (αλλάζουμε και το νήμα, για να μην κοπεί!!!). Μετά την κεντρική και ελαστική κρούση των δύο σφαιρών, περίπου στην ίδια με την προηγούμενη θέση, οι σφαίρες θα ξαναφτάσουν στις αρχικές θέσεις τους, στην οριζόντια διεύθυνση;
ή


Δευτέρα, 8 Απριλίου 2013

Τι κίνηση κάνει η ράβδος;

Μια λεπτή ομογενής ράβδος (ΑΒ)  μήκους ℓ ηρεμεί σε μια παγωμένη λίμνη. Σε μια στιγμή δέχεται την επίδραση δύο σταθερών οριζόντιων δυνάμεων F1 και F2, όπου F2=2F1, κάθετων  στην ράβδο, όπου (ΑΓ)= ¼ ℓ.   
i) Η ράβδος θα εκτελέσει:
α) μόνο μεταφορική κίνηση
β) μόνο στροφική κίνηση
γ) Θα εκτελέσει σύνθετη κίνηση.
ii) Να εξετάσετε την ορθότητα ή μη της πρότασης:       
«Αφού η ράβδος δεν στρέφεται θα ισχύει Στ=0, ως προς οποιοδήποτε σημείο».
ή


Κυριακή, 7 Απριλίου 2013

Το φρενάρισμα του κυλίνδρου.

Σε οριζόντιο επίπεδο κυλίεται (χωρίς ολίσθηση) ένας βαρύς κύλινδρος μάζας Μ=200kg και ακτίνας R=0,4m με σταθερή ταχύτητα κέντρου μάζας υ0cm=4m/s. Προκειμένου να ακινητοποιήσουμε τον κύλινδρο, τοποθετούμε πάνω του μια δοκό μήκους 4m και μάζας m=30kg, συγκρατώντας την με το χέρι μας στο ένα της άκρο Α, φροντίζοντας να είναι διαρκώς σε οριζόντια θέση και να στηρίζεται στον κύλινδρο σε απόσταση (ΓΒ)= d=1m από το άλλο της άκρο Β, όπως στο σχήμα. Ο συντελεστής τριβής μεταξύ δοκού και κυλίνδρου είναι μ=0,3, ενώ ο κύλινδρος επιβραδύνεται χωρίς να ολισθαίνει στο έδαφος, μέχρι τη θέση που ακινητοποιείται.
i) Να υπολογιστεί η κάθετη δύναμη  στήριξης καθώς και η τριβή ολίσθησης που ασκείται στη δοκό στο σημείο Γ από τον κύλινδρο.
ii) Να βρεθεί η επιτάχυνση (επιβράδυνση) του κέντρου μάζας του κυλίνδρου.
iii) Να υπολογιστεί η στατική τριβή που ασκείται στον κύλινδρο από το έδαφος κατά τη διάρκεια της επιβράδυνσης.
iv) Να βρεθεί ο ρυθμός μεταβολής της στροφορμής του κυλίνδρου ως προς τον άξονά του (μέτρο και κατεύθυνση).
v) Να υπολογιστούν η οριζόντια συνιστώσα της δύναμης που ασκούμε στο άκρο Α της ράβδου, στη διάρκεια της παραπάνω επιβράδυνσης του κυλίνδρου.
Δίνεται η ροπή αδράνειας του κυλίνδρου ως προς τον άξονά του Ιcm= ½ ΜR2 και και g=10m/s2.
ή

Πέμπτη, 4 Απριλίου 2013

Πόσο τελικά θα απέχουν τα δυο σώματα;

Σε ένα οριζόντιο επίπεδο ηρεμούν δυο σώματα Α και Β με μάζες m1=1kg και m2=2kg αντίστοιχα απέχοντας κατά d=1m. Το Β σώμα είναι δεμένο στο άκρο οριζοντίου ελατηρίου σταθεράς k=40Ν/m, το οποίο έχει το φυσικό μήκος του. Ο συντελεστής τριβής των σωμάτων με το επίπεδο είναι μ=0,8, ενώ g=10m/s2. Σε μια στιγμή εκτοξεύεται το σώμα Α με αρχική ταχύτητα υ0=5m/s, με κατεύθυνση προς το σώμα Β και κατά μήκος του άξονα του ελατηρίου, όπως στο σχήμα.
i)  Να υπολογίστε την ταχύτητα του σώματος Α ελάχιστα πριν την κρούση.
ii) Ποιες οι ταχύτητες των δύο σωμάτων μετά την μετωπική ελαστική τους κρούση;
iii) Ποια θα είναι τελικά η απόσταση των δύο σωμάτων όταν ακινητοποιηθούν;
iv) Τι ποσοστό της αρχικής κινητικής ενέργειας του Α σώματος μετατρέπεται συνολικά σε θερμική ενέργεια εξαιτίας της τριβής;
ή