Η επιτάχυνσης μιας σανίδας στον πάγο

Σε μια παγωμένη λίμνη ηρεμεί οριζόντια, μια ομογενής σανίδα ΑΒ μήκους l=4m και μάζας m=12kg. Σε μια στιγμή t₀=0, δέχεται την επίδραση μιας σταθερής οριζόντιας δύναμης μέτρου F=6Ν, η οποία ασκείται στο σημείο Κ, όπου (ΒΚ)=1m και αρχικά είναι κάθετη στη σανίδα. Τη χρονική στιγμή t₁=2s το σημείο εφαρμογής της δύναμης Κ, έχει μετατοπισθεί κατά x_Κ=1,6m στην διεύθυνση της ασκούμενης δύναμης, ενώ η σανίδα έχει περιστραφεί κατά γωνία θ, όπως στο σχήμα. Κατά την κίνηση της σανίδας δεν εμφανίζονται τριβές.

i) Να βρεθεί η επιτάχυνση του σημείου Κ, αμέσως μόλις ασκηθεί η δύναμη (για t=0⁺).

ii) Να υπολογιστεί η γωνία περιστροφής θ της σανίδας.

iii) Πόση ενέργεια μεταφέρεται στη σανίδα μέσω του έργου της δύναμης από 0-t₁;

iv) Με ποιο ρυθμό μεταφέρεται ενέργεια στη σανίδα τη στιγμή t₁;

Απάντηση:

ή

Η επιτάχυνσης μιας σανίδας στον πάγο

Η πτώση της ράβδου.

Μια ομογενής ράβδος μάζας 12kg και μήκους 2,5m συγκρατείται όπως στο σχήμα, σχηματίζοντας με την οριζόντια διεύθυνση γωνία θ=60°, ενώ το κέντρο της Κ απέχει h=4,2m από το λείο οριζόντιο επίπεδο. Σε μια στιγμή αφήνεται να πέσει.

i) Η κίνηση της ράβδου θα είναι:

α) μεταφορική,   β) σύνθετη

Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας.

ii) Να υπολογιστεί η ταχύτητα του κέντρου μάζας, τη στιγμή που η ράβδος κτυπάει στο επίπεδο.

iii) Αν η κρούση είναι ελαστική και το κέντρο Κ αποκτήσει (μετά την κρούση) ταχύτητα μέτρου υ₂=1,15m/s, διαφορετικής κατεύθυνσης από την κατεύθυνση της ταχύτητας πριν  την κρούση:

 α) Ποια η κατεύθυνση της ταχύτητας υ₂;

 β) Να υπολογίσετε τη γωνιακή ταχύτητα της ράβδου μετά την κρούση.

iv) Να υπολογιστούν οι μεταβολές:

  α) της ορμής

  β) της στροφορμής της ράβδου ως προς οριζόντιο άξονα, κάθετο στη ράβδο που διέρχεται από το Κ 
που οφείλονται στην κρούση.

Δίνεται η ροπή αδράνειας της ράβδου ως προς κάθετο άξονα που περνάει από το μέσον της
Ι= 1/12 Μl² και g=10m/s².

Απάντηση:

ή

Η πτώση της ράβδου.

Η τροχαλία και η κρούση

Στο σχήμα εμφανίζεται το ίδιο σύστημα σε ισορροπία, με την μόνη διαφορά ότι το αβαρές νήμα έχει πολλές φορές τυλιχθεί στο αυλάκι της Α τροχαλίας, σε αντίθεση με το δεύτερο νήμα, που απλά περνά από το αυλάκι της Β.

i) Για την ισορροπία του συστήματος ασκούμε κατακόρυφες δυνάμεις στο μικρότερο σώμα Σ₂. Για τα μέτρα τους ισχύει:

ii) Αν καταργήσουμε τις ασκούμενες δυνάμεις, τότε το σώμα Σ₁ πέφτει και μετά από λίγο προσκολλάται στο έδαφος, ενώ τα νήματα δεν γλιστρούν στα αυλάκια των τροχαλιών. Στη διάρκεια της πτώσης:

α) Μεγαλύτερη γωνιακή επιτάχυνση αποκτά η τροχαλία Α.

β) Μεγαλύτερη γωνιακή επιτάχυνση αποκτά η τροχαλία Β.

γ) Οι δύο τροχαλίες αποκτούν την ίδια γωνιακή επιτάχυνση.

iii) Αμέσως μετά την πρόσκρουση του Σ₁ με το έδαφος, μεγαλύτερη κατά μέτρο γωνιακή επιτάχυνση αποκτά:

α) Η Α τροχαλία,  β) Η Β τροχαλία,  γ) αποκτούν γωνιακές επιταχύνσεις με ίδιο μέτρο.

Απάντηση.

ή

Η τροχαλία και η κρούση

Άλλη μια ράβδος στρέφεται

Η ομογενής ράβδος του σχήματος μάζας Μ=3kg και μήκους l=2m, είναι αρθρωμένη στο άκρο της Ο, γύρω από το οποίο μπορεί να στρέφεται χωρίς τριβές. Η ράβδος ισορροπεί, κρεμασμένη στο άκρο κατακόρυφου νήματος, το οποίο έχει προσδεθεί στο σημείο Β, όπου (ΒΑ)=0,4m, σχηματίζοντας γωνία θ με την οριζόντια διεύθυνση. Σε μια στιγμή κόβουμε το νήμα, οπότε η ράβδος κατέρχεται και τη στιγμή που γίνεται οριζόντια, το άκρο της Α έχει ταχύτητα υ_Α=6m/s.

i)  Για την αρχική θέση (πριν να κοπεί το νήμα), να βρεθεί η τάση του νήματος, καθώς και η γωνία θ που σχηματίζει η ράβδος με την οριζόντια διεύθυνση.

ii) Να βρεθεί η κατακόρυφη επιτάχυνση του μέσου Κ της ράβδου καθώς και η οριζόντια και κατακόρυφη συνιστώσα της δύναμης που ασκείται στη ράβδο από την άρθρωση, στην οριζόντια θέση.

iii) Αναφερόμενοι στην οριζόντια θέση, δυο μαθητές, ο Χ και ο Υ, θέλουν να υπολογίσουν τη στροφορμή και το ρυθμό μεταβολής της στροφορμής ως προς το άκρο Ο (ισοδύναμα ως προς σταθερό οριζόντιο άξονα z κάθετο στο επίπεδο περιστροφής που περνά από το άκρο Ο). Ο Χ θεωρεί την κίνηση στροφική γύρω από τον άξονα z, ο Υ θεωρεί την κίνηση σύνθετη, μια μεταφορική του κέντρου μάζας και μια περιστροφή γύρω από κάθετο άξονα που περνά από το Κ.

Ποιες είναι οι απαντήσεις που θα δώσουν;

iv) Να υπολογιστεί επίσης η στροφορμή και ο αντίστοιχος ρυθμός μεταβολής της ως προς:

 α) σταθερό οριζόντιο άξονα, κάθετο στο επίπεδο περιστροφής που περνά από το μέσον της Κ της ράβδου.

 β) σταθερό οριζόντιο άξονα, κάθετο στο επίπεδο περιστροφής, ο οποίος περνά από το άκρον Α της ράβδου.

Δίνεται η ροπή αδράνειας της ράβδου ως προς κάθετο άξονα που περνά από το μέσον της Ι_cm= (1/12)∙ Μl² και g=10m/s².

Απάντηση:

ή

Άλλη μια ράβδος στρέφεται

Ένας τροχός σε κεκλιμένο επίπεδο

Ένας τροχός μάζας 8kg ισορροπεί σε κεκλιμένο επίπεδο κλίσεως θ, με την επίδραση δύναμης F, η οποία μέσω κατάλληλου μηχανισμού, ασκείται στο κέντρο του Ο, όπως στο σχήμα.

i)  Να υπολογιστούν οι δυνάμεις που ασκούνται στον τροχό.

ii) Σε μια στιγμή (t₀=0) αυξάνουμε το μέτρο της δύναμης στην τιμή F₁=60Ν. Να υπολογιστεί η ταχύτητα του κέντρου Ο του τροχού τη στιγμή t₁=4s.

iii) Τη στιγμή t₁, το μέτρο της δύναμης αυξάνεται στην τιμή F₂=160Ν.

 α) Να γίνει η γραφική παράσταση της ταχύτητας υ_cm του κέντρου Ο, σε συνάρτηση με το χρόνο από 0-6s.

β) Να υπολογιστούν τα έργα της δύναμης και της τριβής, από t₀ μέχρι τη στιγμή t₂=6s.

γ) Να υπολογιστεί ο ρυθμός μεταβολής της κινητικής ενέργειας λόγω περιστροφής του τροχού, τη στιγμή t₂.

Δίνονται: Για τον τροχό Ι= ½ ΜR²  ως προς οριζόντιο άξονα, κάθετο στο επίπεδό του που περνά από το κέντρο του Ο, ημθ=0,6 και συνθ=0,8, g=10m/s², ενώ για τους συντελεστές τριβής μεταξύ τροχού και επιπέδου μ=μ_s=0,5.

Απάντηση:

ή

Ένας τροχός σε κεκλιμένο επίπεδο

Μια σφαίρα παίρνει την ανηφόρα

Σε οριζόντιο επίπεδο κυλίεται μια σφαίρα με ταχύτητα κέντρου μάζας υ_0cm=6m/s. Σε μια στιγμή συναντά στην πορεία της ένα κεκλιμένο επίπεδο κλίσεως θ (ημθ=0,6), στο οποίο συνεχίζει την κίνησή της, χωρίς να αναπηδήσει.

i)  Αν το κεκλιμένο επίπεδο είναι λείο, σε πόσο ύψος θα ανέβη το κέντρο Ο της σφαίρας;

ii) Αν υπήρχε τριβή, με αποτέλεσμα να συνεχίσει η σφαίρα την κύλισή της, ποιο θα ήταν το αντίστοιχο μέγιστο ύψος ανόδου;

iii) Ποιος ο ελάχιστος συντελεστής οριακής στατικής τριβής, μεταξύ σφαίρας και κεκλιμένου επιπέδου, για την παραπάνω άνοδο;

iii) Αν μεταξύ σφαίρας και κεκλιμένου επιπέδου είχαμε συντελεστές τριβής μ=μ_ορ=0,125, πόση θερμική ενέργεια αναπτύσσεται κατά την άνοδο της σφαίρας κατά μήκος του επιπέδου, αν η ακτίνα της σφαίρας ήταν R=0,2m και η μάζα της 1kg.

Δίνεται η ροπή αδράνειας της σφαίρας Ι= 2/5 mR², ενώ g=10m/s².

Απάντηση:

ή

Μια σφαίρα παίρνει την ανηφόρα

Μια ράβδος κρέμεται και μετά γλιστράει

Μια ομογενής ράβδος ΑΒ μήκους 2m και μάζας 4kg, κρέμεται μέσω νήματος, το οποίο  δένεται στο άκρο της Β, από σταθερό σημείο Ο, ενώ στηρίζεται σε λείο οριζόντιο επίπεδο (1) με το άκρο της Α.

i)  Σε ποια ή σε ποιες από τις παραπάνω θέσεις μπορεί να ισορροπεί η ράβδος; Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας, εξηγώντας και την ισορροπία και τη μη ισορροπία, για κάθε περίπτωση.

ii) Η ράβδος αυτή τοποθετείται σε άλλο οριζόντιο επίπεδο (2) με το οποίο σχηματίζει γωνία θ, και αφήνεται να πέσει, ξεκινώντας από την ηρεμία. Αν το άκρο της Α μετατοπισθεί κατά 0,2m, μέχρι που το άκρο Β να φτάσει στο επίπεδο:

 α) Να αποδείξετε ότι το επίπεδο (2) είναι λείο.

 β) Να βρεθεί η αρχική επιτάχυνση του άκρου Α.

γ) Να υπολογιστεί η κινητική ενέργεια της ράβδου τη στιγμή που γίνεται οριζόντια (που το άκρο Β φτάνει στο επίπεδο…).

Δίνεται η ροπή αδράνειας της ράβδου ως προς κάθετο άξονα που περνά από το μέσον της Ι= 1/12 Μl² , g=10m/s², ενώ συνθ=0,8 και ημθ=0,6.

Απάντηση:

ή

Μια ράβδος κρέμεται και μετά γλιστράει

Ισορροπίες και τριβές

Γύρω από έναν τροχό  ακτίνας R και μάζας  Μ=10kg, τυλίγουμε ένα αβαρές νήμα, το οποίο αφού το περάσουμε από μια αβαρή τροχαλία, στο άλλο άκρο του κρεμάμε έναν αβαρή δίσκο. Ο τροχός ηρεμεί σε οριζόντιο επίπεδο με το οποίο παρουσιάζει συντελεστές τριβής μ=μ_s=0,6, ενώ εμποδίζεται να κινηθεί από ένα ακλόνητο εμπόδιο ύψους h=R, με το οποίο ο τροχός δεν εμφανίζει τριβές.

i) Να βρείτε τις δυνάμεις που ασκούνται στον τροχό, πριν βάλουμε κάποια σταθμά στο δίσκο.

ii) Μπορεί ο τροχός να υπερπηδήσει το εμπόδιο, αν τοποθετήσουμε στο δίσκο κατάλληλα σταθμά;

iii) Τοποθετούμε στο δίσκο σταθμά μάζας m=2kg. Να εξετάσετε αν ο δίσκος θα κατέβει ή όχι, υπολογίζοντας και την δύναμη που ασκεί το εμπόδιο  στον τροχό.

iv) Αν το οριζόντιο επίπεδο ήταν λείο, ενώ αντίθετα αναπτυσσόταν τριβές μεταξύ τροχού και εμποδίου με συντελεστές τριβής μ=μ_s=0,6, τότε:

α) Να υπολογιστεί η δύναμη στον τροχό από το οριζόντιο επίπεδο, όταν στο  δίσκο βάζαμε σταθμά m₁=2,5kg.

β) Ποια η μάζα των σταθμών που πρέπει να τοποθετηθούν στο δίσκο, ώστε ο τροχός να χάσει την επαφή του με το οριζόντιο επίπεδο;

Δίνεται η ροπή αδράνειας του τροχού ως προς κάθετο άξονα που περνά από το κέντρο μάζας του Ι= ½ ΜR² και g=10m/s².

Απάντηση:

ή

Ισορροπίες και τριβές