Μια ισορροπία και μια περιστροφική κίνηση.

Ένα στερεό Κ αποτελείται από δύο ομοαξονικούς κυλίνδρους και μπορεί να στρέφεται χωρίς τριβές γύρω από σταθερό οριζόντιο άξονα, που συμπίπτει με τον άξονα των δύο κυλίνδρων, ακτίνων R=0,5m και r=0,2m. Γύρω από τον κύλινδρο με την μικρότερη ακτίνα έχουμε τυλίξει ένα αβαρές νήμα στο κάτω άκρο του οποίου έχουμε δέσει ένα σώμα Σ₁ μάζας 2kg. Το στερεό Κ ισορροπεί, όταν πάνω του στηρίζεται μια ομογενής  δοκός (ΑΒ) μήκους 4m και μάζας 6kg, η οποία συνδέεται με άρθρωση στο άκρο της Α. Η δοκός είναι οριζόντια και στηρίζεται στο  στερεό σε σημείο Γ, όπου (ΓΒ)=1m, όπως στο σχήμα. Ο συντελεστής τριβής ολίσθησης μεταξύ δοκού και στερεού Κ είναι μ=0,3.

i)  Να βρεθεί η οριζόντια και κατακόρυφη συνιστώσα της δύναμης που δέχεται η δοκός από την άρθρωση.

Λύνουμε το σώμα Σ₁ και το αντικαθιστούμε με άλλο σώμα Σ μάζας 10kg, το οποίο αφήνουμε να κινηθεί, από ύψος h=2m από το έδαφος. Το σώμα Σ χρειάζεται 2s για να φτάσει στο έδαφος.

ii)   Να αποδειχθεί ότι η κίνηση του σώματος Σ είναι ευθύγραμμη ομαλά επιταχυνόμενη.

iii)  Να βρεθεί η γωνιακή επιτάχυνση του στερεού Κ στη διάρκεια της πτώσης.

iv)  Να υπολογιστεί η ροπή αδράνειας του στερεού Κ.

v)  Τι ποσοστό της αρχικής δυναμικής ενέργειας του σώματος Σ, μετατρέπεται σε θερμική ενέργεια εξαιτίας της τριβής;

 Θεωρείστε μηδενική τη δυναμική ενέργεια στο έδαφος και g=10m/s².

Μια ισορροπία και μια περιστροφική κίνηση

Μια ισορροπία και μια περιστροφική κίνηση.

Διάθλαση και νόμος του Snell.

ΘΕΜΑ 2^ο:

Δίνεται η πορεία μιας μονοχρωματικής ακτίνας, καθώς διέρχεται από ένα ορθογώνιο πρίσμα όπου φ=60°.

i) Ο δείκτης διάθλασης του πρίσματος για την ακτνοβολία αυτή είναι ίσος με:

ii) Η γωνία διάθλασης στο σημείο Δ είναι ίση με:

α)  30°,   β)  45°,   γ)  60°,   δ) άλλη τιμή.

iii) Για τη γωνία πρόσπτωσης θ στο σημείο Δ ισχύει

Να δικαιολογήσετε τις απαντήσεις σας.

Δίνονται ημ30°=συν60°= ½ και συν30°=ημ60°= √3/2 .

Διάθλαση και νόμος του Snell

Διάθλαση και νόμος του Snell.

Κίνηση κυλίνδρου σε κεκλιμένο επίπεδο.

Ένας κύλινδρος μάζας 10kg και ακτίνας 0,2m αφήνεται για t=0 να κινηθεί σε μη λείο κεκλιμένο επίπεδο κλίσεως θ, όπου ημθ=0,8. Ο άξονας του κυλίνδρου μετατοπίζεται κατά x=27m, μέχρι τη στιγμή  t₁=3s.

i)   Να υπολογίσετε την τριβή που ασκείται στον κύλινδρο.

ii)  Πόση είναι η ταχύτητα τη στιγμή t₁ ενός σημείου Α επαφής του κυλίνδρου με το επίπεδο;

iii) Να υπολογίστε το έργο της τριβής για την παραπάνω μετατόπιση του κυλίνδρου;

iv) Ποιος ο ρυθμός μεταβολής της περιστροφικής κινητικής ενέργειας του κυλίνδρου και με ποιο ρυθμό παράγεται θερμότητα εξαιτίας της τριβής, τη χρονική στιγμή t₁;

Δίνεται η ροπή αδράνειας του κυλίνδρου ως προς τον άξονα περιστροφής του Ι= ½ ΜR² και g=10m/s².

Κίνηση κυλίνδρου σε κεκλιμένο επίπεδο

Κίνηση κυλίνδρου σε κεκλιμένο επίπεδο.

Μια κρούση και μια φθίνουσα ταλάντωση.

Ένα σώμα Σ₁ μάζας m₁= 0,5kg εκτοξεύεται με αρχική ταχύτητα υ₀=5m/s από απόσταση d=0,9m προς ακίνητο σώμα Σ₂ μάζας m₂=2kg, το οποίο ηρεμεί στο άκρο οριζόντιου ιδανικού ελατηρίου σταθεράς k=28Ν/m που έχει το φυσικό του μήκος. Η ταχύτητα υ₀ έχει την διεύθυνση του άξονα του ελατηρίου. Το σώμα Σ₂ βρίσκεται στο όριο δύο επιπέδων, δεξιά του το επίπεδο είναι λείο, ενώ τα σώματα παρουσιάζουν συντελεστή τριβής ολίσθησης μ=0,5 με το επίπεδο στα αριστερά της αρχικής θέσης του Σ₂.

i)  Ποιες οι ταχύτητες των δύο σωμάτων μετά την κεντρική και ελαστική μεταξύ τους κρούση;

ii) Πόσο θα απέχουν μεταξύ τους τα δυο σώματα, όταν σταματήσουν την κίνησή τους;

Δίνεται g=10m/s².

Μια κρούση και μια φθίνουσα ταλάντωση.

Μια κρούση και μια φθίνουσα ταλάντωση.

Στερεό με κυκλική διατομή.

ΘΕΜΑ 2^ο:

Κατά μήκος ενός κεκλιμένου επιπέδου αφήνεται να κινηθεί ένα στερεό με κυκλική διατομή (σφαίρα, δίσκος, στεφάνη ή κύλινδρος) ακτίνας R και μάζας Μ, η ροπή αδράνειας του οποίου δίνεται από τη σχέση Ι=λ∙ΜR². Το στερεό κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει.

i)  Η επιτάχυνση του κέντρου μάζας του στερεού δίνεται από την εξίσωση:

ii)  Καθώς το στερεό κατέρχεται ο λόγος της μεταφορικής προς την περιστροφική κινητική του ενέργεια:

α) αυξάνεται   β) μειώνεται        γ) παραμένει σταθερός.

iii) Είναι σωστό ότι στο στερεό ασκείται  τριβή, το μέτρο της οποίας δίνεται από τη σχέση Τ=μΝ, όπου μ ο συντελεστής τριβής ολίσθησης;

Να δικαιολογήσετε τις απαντήσεις  σας.

Στερεό με κυκλική διατομή

Στερεό με κυκλική διατομή.

Ένας κοίλος κύλινδρος.

Δίνεται ένας κύλινδρος ακτίνας R=1m από τον οποίο έχει αφαιρεθεί ένας ομοαξονικός κύλινδρος ακτίνας r=R/2. Ο κοίλος αυτός κύλινδρος (στερεό Κ) έχει μάζα m= 40kg.

i) Αν δίνεται η ροπή αδράνειας ενός κυλίνδρου ως προς τον άξονα που συνδέει τα κέντρα των δύο βάσεών του Ι= ½ ΜR², να υπολογισθεί η ροπή αδράνειας του στερεού Κ.

ii) Γύρω από το στερεό Κ έχουμε τυλίξει ένα αβαρές νήμα, στο άκρο του οποίου ασκούμε σταθερή οριζόντια δύναμη F=26N. Αν το στερεό κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει σε οριζόντιο επίπεδο όπως στο σχήμα, να βρείτε:

α) Το ρυθμό μεταβολής της στροφορμής του στερεού Κ, ως προς τον άξονα περιστροφής του.

β) Το λόγο της περιστροφικής προς τη μεταφορική κινητική ενέργεια του στερεού.

γ) Τη μετατόπιση του άξονα περιστροφής του στερεού, τη στιγμή που το στερεό έχει κινητική ενέργεια 130J.

Ένας κοίλος κύλινδρος

 Ένας κοίλος κύλινδρος.

Μια στεφάνη σε λείο επίπεδο.

Μια στεφάνη ακτίνας R και μάζας M η οποία θεωρείται συγκεντρωμένη στην περιφέρειά της, ηρεμεί σε λείο οριζόντιο επίπεδο. Γύρω από τη  στεφάνη έχουμε τυλίξει αβαρές νήμα, στο άκρο Α του οποίου ασκούμε σταθερή οριζόντια δύναμη F, όπως στο σχήμα.

Α) Ποιες προτάσεις είναι σωστές και ποιες λανθασμένες. Να δικαιολογήσετε τις απαντήσεις σας.

i)   Η στεφάνη κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει.

ii)  Για μετακίνηση του κέντρου Ο κατά x₁ το έργο της δύναμης είναι ίσο με F∙x₁.

iii) Όταν το άκρο Α του νήματος μετατοπισθεί κατά x η στεφάνη θα έχει μεταφορική κινητική ενέργεια  ½ F∙x.

Β) Ποιες οι αντίστοιχες απαντήσεις αν το οριζόντιο επίπεδο δεν ήταν λείο;

Μια στεφάνη σε λείο επίπεδο

Μια στεφάνη σε λείο επίπεδο.

Μια κρούση σε ταλάντωση.

Σε λείο οριζόντιο επίπεδο ηρεμεί ένα σώμα Σ₁ μάζας m₁=2kg δεμένο στο άκρο οριζόντιου ιδανικού ελατηρίου σταθεράς k=80Ν/m. Εκτρέπουμε το Σ₁ προς τ’ αριστερά φέρνοντάς το σε σημείο Β, που απέχει κατά d=0,9m από ένα σημείο Γ, στο οποίο βρίσκεται ένα δεύτερο σώμα Σ₂. Τη στιγμή t=0 εκτοξεύουμε το σώμα Σ₂ με ταχύτητα υ₂=3m/s που έχει την διεύθυνση του άξονα του ελατηρίου, αφήνοντας ταυτόχρονα το Σ₁ να ταλαντωθεί. Τα δύο σώματα συγκρούονται κεντρικά και ελαστικά τη στιγμή t₁=0,5s, ενώ το Σ₂ φτάνει ξανά στο σημείο Γ τη στιγμή t₂=2s.

i)   Να βρεθεί το αρχικό πλάτος ταλάντωσης του σώματος Σ₁.

ii)  Πόση είναι η μάζα του σώματος Σ₂;

iii) Να βρεθεί το έργο της δύναμης που ασκήθηκε στο Σ₂ κατά τη διάρκεια της κρούσης.

iv) Να υπολογιστεί η ενέργεια ταλάντωσης του Σ₁ μετά την κρούση.

Δίνεται π²≈10

Μια κρούση σε ταλάντωση.

Μια κρούση σε ταλάντωση.