Γενικευμένοι νόμοι και μια ολίσθηση τροχού. Για μαθητές.

Σε οριζόντιο επίπεδο ηρεμεί ένας τροχός μάζας Μ=10kg και ακτίνας =0,5m, ο οποίος παρουσιάζει με το επίπεδο συντελεστές τριβής μ=μ_s=0,4. Σε μια στιγμή t=0 ασκείται στο κέντρο Ο του τροχού οριζόντια δύναμη F, η τιμή της οποίας μεταβάλλεται όπως στο διάγραμμα.

i) Να αποδειχθεί ότι ο τροχός θα αρχίσει να περιστρέφεται, αλλά και να ολισθαίνει.

ii) Να βρεθεί η χρονική στιγμή που ο τροχός θα πάψει να ολισθαίνει και πλέον θα κυλίεται.

 iii) Για την χρονική στιγμή t₁=1s να βρεθούν η ισχύς της δύναμης, ο ρυθμός μεταβολής της κινητικής ενέργειας του τροχού, καθώς και ο ρυθμός με τον οποίο η μηχανική ενέργεια μετατρέπεται σε θερμική εξαιτίας της τριβής.

Δίνεται η ροπή αδράνειας του τροχού ως προς τον άξονα περιστροφής του Ι= ½ ΜR² και g=10m/s².

Απάντηση:

ή

Γενικευμένοι νόμοι και μια ολίσθηση τροχού.

Γενικευμένοι νόμοι και ολίσθηση τροχού.

Σε οριζόντιο επίπεδο ηρεμεί ένας τροχός μάζας Μ=10kg και ακτίνας =0,5m, ο οποίος παρουσιάζει με το επίπεδο συντελεστές τριβής μ=μ_s=0,4. Σε μια στιγμή t=0 ασκείται στο κέντρο Ο του τροχού οριζόντια δύναμη F, η τιμή της οποίας μεταβάλλεται όπως στο διάγραμμα.

i) Να αποδειχθεί ότι ο τροχός θα αρχίσει να περιστρέφεται, αλλά και να ολισθαίνει.

ii) Να βρεθεί η χρονική στιγμή που ο τροχός θα πάψει να ολισθαίνει και πλέον θα κυλίεται.

iii) Να υπολογιστεί η ενέργεια που μετατρέπεται σε θερμική, μέχρι την παραπάνω στιγμή, εξαιτίας της τριβής που ασκείται στον τροχό.

Δίνεται η ροπή αδράνειας του τροχού ως προς τον άξονα περιστροφής του Ι= ½ ΜR² και g=10m/s².

Απάντηση:

ή

Γενικευμένοι νόμοι και ολίσθηση τροχού.

Ολίσθηση και κύλιση τροχού.

Σε οριζόντιο επίπεδο ηρεμεί ένας τροχός μάζας Μ=10kg και ακτίνας =0,5m, ο οποίος παρουσιάζει με το επίπεδο συντελεστές τριβής μ=μ_s=0,3. Σε μια στιγμή t=0 ασκείται στο κέντρο Ο του τροχού οριζόντια δύναμη F μέτρου F₁=100Ν, ενώ τη στιγμή t₁=2s, το μέτρο της δύναμης μειώνεται στην τιμή F₂=60Ν.

i) Να υπολογιστεί η κινητική ενέργεια του τροχού τη στιγμή t₁.

ii) Να κάνετε τη γραφική παράσταση της ταχύτητας του κέντρου Ο του τροχού μέχρι τη στιγμή t₂=4s.

iii) Να υπολογιστεί η ενέργεια που μετατρέπεται σε θερμική, μέχρι την παραπάνω στιγμή t₂, εξαιτίας της τριβής που ασκείται στον τροχό.

Απάντηση:

ή

Ολίσθηση και κύλιση τροχού.

Ποια μπορεί να είναι η κίνηση μετά την κρούση;

ή

Η επιτάχυνση και ο ρυθμός μεταβολής του μέτρου της ταχύτητας.

Ένα σώμα Σ ηρεμεί, δεμένο στο άκρο ενός ελατηρίου. Σε μια στιγμή συγκρούεται με ένα άλλο κινούμενο σώμα, αποκτώντας  ορισμένη ταχύτητα. Τι κίνηση θα εκτελέσει μετά την κρούση το σώμα Σ; Τι ακριβώς σημαίνει ότι κάποια στιγμή έχει ορισμένη επιτάχυνση και πώς αυτή συνδέεται με το ρυθμό μεταβολής του μέτρου της ταχύτητάς του; Παρακάτω ας δούμε μερικές  περιπτώσεις

Παράδειγμα 1^ο:

Ένα σώμα Σ μάζας Μ=1kg ηρεμεί σε λείο οριζόντιο επίπεδο, δεμένο στο άκρο οριζόντιου ελατηρίου σταθεράς k=100Ν/m. Μια μικρή σφαίρα, μάζας m=0,2kg, η οποία κινείται με ταχύτητα υ₁=15m/s, με διεύθυνση αυτή του άξονα του ελατηρίου, συγκρούεται κεντρικά και ελαστικά με το Σ.

i)   Να βρεθεί η ταχύτητα του Σ αμέσως μετά την κρούση.

ii)  Τη στιγμή που η ταχύτητα του Σ γίνεται για πρώτη φορά v=4m/s, να βρεθούν:

α) Η επιτάχυνση του σώματος Σ.

β) Ο ρυθμός μεταβολής του μέτρου της ταχύτητά του.

Συνέχεια:
ή

Ποια μπορεί να είναι η κίνηση μετά την κρούση;

Mια ταλάντωση, πτώση και μετά μια δεύτερη.

Τα  δυο σώματα Α και Β με ίσες μάζες m₁=m₂=m=1kg, ηρεμούν όπως στο σχήμα, όπου το ελατήριο έχει σταθερά k=100Ν/m, ενώ το Α βρίσκεται σε ύψος h=0,2m από το έδαφος. Απομακρύνουμε κατακόρυφα προς τα πάνω το σώμα Α, κατά y₁=0,1m και σε μια στιγμή που θεωρούμε t=0, το αφήνουμε ελεύθερο να κινηθεί εκτελώντας ΑΑΤ.

i) Να βρεθεί η εξίσωση της απομάκρυνσής του σε συνάρτηση με το χρόνο, θεωρώντας την προς τα πάνω κατεύθυνση θετική.

ii) Να βρεθεί η εξίσωση της τάσης του νήματος σε συνάρτηση με το χρόνο και να γίνει η γραφική της παράσταση.

iii) Τη στιγμή που η τάση του νήματος γίνεται ελάχιστη για τρίτη φορά, το νήμα κόβεται και τα σώματα πέφτουν. Με την κρούση με το έδαφος το σώμα Α προσκολλάται. Να βρεθεί η ενέργεια της ταλάντωσης που θα εκτελέσει το Β σώμα.

Δίνεται g=10m/s².

Απάντηση:

ή

Mια ταλάντωση, πτώση και μετά μια δεύτερη.

Συνισταμένη, κοίλη σφαίρα και μερικές άλλες εφαρμογές…Καλοκαιρινές!!!

Ας ξεκινήσουμε με ένα γνωστό παράδειγμα.

Παράδειγμα 1^ο:

Η λεπτή ομογενής ράβδος ΑΒ του διπλανού σχήματος έχει βάρος w=100Ν, μήκος ℓ=4m και ισορροπεί οριζόντια στηριζόμενη σε τρίποδο, σε απόσταση x=1m από το ένα της άκρο Α, ενώ δέχεται την επίδραση μιας κατακόρυφης δύναμης F, στο σημείο Γ, όπου (ΑΓ)=3,5m. Να βρεθεί η δύναμη που ασκείται στη ράβδο από το τρίποδο.

Η συνέχεια σε pdf 

ή

Συνισταμένη, κοίλη σφαίρα και μερικές  άλλες εφαρμογές…

Ταλαντώσεις σώματος αλλά και συστήματος ή περί ανηγμένης μάζας και άλλα σχετικά.

Μια καλοκαιρινή  περιπλάνηση….

Τα  δυο σώματα Α και Β με ίσες μάζες m₁=m₂=m=1kg, ηρεμούν όπως στο σχήμα, όπου το ελατήριο έχει σταθερά k=100Ν/m, ενώ το Α βρίσκεται σε ύψος h=0,2m από το έδαφος. Απομακρύνουμε κατακόρυφα προς τα πάνω το σώμα Α, κατά y₁=0,1m και σε μια στιγμή που θεωρούμε t=0, το αφήνουμε ελεύθερο να κινηθεί εκτελώντας ΑΑΤ.

i) Να βρεθεί η εξίσωση της απομάκρυνσής του σε συνάρτηση με το χρόνο, θεωρώντας την προς τα πάνω κατεύθυνση θετική.

ii) Να βρεθεί η εξίσωση της τάσης του νήματος σε συνάρτηση με το χρόνο και να γίνει η γραφική της παράσταση.

iii) Τη στιγμή που η τάση του νήματος γίνεται ελάχιστη για τρίτη φορά, το νήμα κόβεται και τα σώματα πέφτουν. Με την κρούση με το έδαφος το σώμα Α προσκολλάται. Να βρεθεί η ενέργεια της ταλάντωσης που θα εκτελέσει το Β σώμα.

Δίνεται g=10m/s².

Συνέχεια:

ή

Ταλαντώσεις σώματος αλλά και συστήματος ή περί ανηγμένης μάζας και άλλα σχετικά.

Πότε το νήμα δεν θα ολισθαίνει;

Ας επιστρέψουμε στο πρόβλημα που θέσαμε στην ανάρτηση: 

«Ποια ροπή επιταχύνει την τροχαλία;»

Δίνεται η διάταξη  του διπλανού σχήματος, όπου στα άκρα ενός αβαρούς και μη εκτατού νήματος, έχουμε δέσει δυο σώματα Α και Β με μάζες m₁=2kg και m₂=1kg. Το νήμα περνά από τροχαλία μάζας Μ=4kg και ακτίνας R=20cm. Το σύστημα ηρεμεί, αφού εμείς συγκρατούμε το σώμα Β στη θέση του. Αφήνουμε ελεύθερο το σώμα Β, το οποίο αρχίζει να ανέρχεται.

Να βρεθεί ο ελάχιστος συντελεστής στατικής οριακής τριβής μεταξύ νήματος και τροχαλίας, ώστε να μην παρατηρείται ολίσθηση του νήματος.

Για την τροχαλία δίνεται Ι= ½ ΜR².

Απάντηση:

ή

Πότε το νήμα δεν θα ολισθαίνει;