Δυο κυλίσεις και οι τριβές.

Ένας τροχός μάζας Μ κυλίεται σε οριζόντιο επίπεδο με την επίδραση σταθερής οριζόντιας δύναμης F₁ η οποία ασκείται στον άξονά του Ο. Κάποια στιγμή ο τροχός συναντά κεκλιμένο επίπεδο κλίσεως θ, όπου συνεχίζει την κύλισή του με την ίδια επιτάχυνση κέντρου μάζας, αλλά αφού χρειάστηκε να μεταβάλλουμε το μέτρο της δύναμης στην τιμή F₂, με διεύθυνση παράλληλη στο επίπεδο.

i) Η τριβή η οποία ασκείται στον τροχό, κατά την κίνησή του:

 α) Έχει μεγαλύτερο μέτρο, στο οριζόντιο επίπεδο.

 β) Έχει μεγαλύτερο μέτρο, στο κεκλιμένο επίπεδο.

 γ) Και στα δυο επίπεδα η τριβή έχει το ίδιο μέτρο.

ii) Η παραπάνω κίνηση μπορεί να επιτευχθεί αν αυξήσουμε το μέτρο της δύναμης (από F₁ σε F₂) κατά:

 α) ¼ Μgημθ,   β)  1/3 Μgημθ,  γ)  ½  Μgημθ,  δ)  Μgημθ

Να δικαιολογήσετε τις απαντήσεις σας.

Απάντηση:

ή

	Δυο κυλίσεις και οι τριβές.

Ένας κυλινδρικός φλοιός επιταχύνεται.

Ένας λεπτός κυλινδρικός φλοιός, μάζας Μ=20kg και ακτίνας R=50cm, φέρει σχισμή βάθους y=10cm, εντός της οποίας έχουμε τυλίξει ένα αβαρές νήμα και ηρεμεί σε οριζόντιο επίπεδο. Σε μια στιγμή ασκούμε μια οριζόντια δύναμη F στο άκρο Α του νήματος, με αποτέλεσμα το σημείο Α να αποκτά μια σταθερή επιτάχυνση α_Α=0,9m/s², ενώ ο φλοιός κυλίεται.

i) Να βρεθεί η επιτάχυνση του άξονα του κυλινδρικού φλοιού.

ii) Να υπολογιστεί η μετατόπιση του άξονα Ο του φλοιού, τη στιγμή t₁ που το άκρο Α του νήματος έχει μετατοπιστεί κατά x_Α=4,5m;  Πόσο νήμα έχει ξετυλιχθεί μέχρι τη στιγμή αυτή;

iii) Να βρεθεί το μέτρο της ασκούμενης δύναμης F.

iv) Τη στιγμή t₂=4s, ο κυλινδρικός φλοιός, περνά σε ένα δεύτερο λείο οριζόντιο επίπεδο, όπου συνεχίζει την κίνησή του, ενώ συνεχίζει να ασκείται η ίδια δύναμη F στο άκρο Α του νήματος. Να υπολογιστεί η ταχύτητα του σημείου επαφής του φλοιού με το επίπεδο, σημείο Γ, τη χρονική στιγμή t₃=7s.

Δίνεται η ροπή αδράνειας του κυλίνδρου Ι= ½ ΜR² και g=10m/s².

Απάντηση:

ή

	Ένας κυλινδρικός φλοιός επιταχύνεται.

Θα συνεχιστεί η κύλιση;

Ένας λεπτός κυλινδρικός φλοιός ακτίνας R, φέρει σχισμή βάθους y, εντός της οποίας έχουμε τυλίξει ένα αβαρές νήμα και ηρεμεί σε λείο οριζόντιο επίπεδο. Σε μια στιγμή τραβάμε το άκρο Α του νήματος, ασκώντας του οριζόντια δύναμη F, όπως στο σχήμα, με αποτέλεσμα ο κύλινδρος να κυλίεται.

i) Το βάθος της σχισμής είναι ίσο με:

α)  y= ¼ R,   β) y= 1/3 R,   γ)  y= ½ R

ii) Χωρίς να μεταβάλουμε το μέτρο της ασκούμενης δύναμης, μεταβάλουμε τη διεύθυνση του νήματος, έτσι ώστε να σχηματίζει γωνία θ με την αρχική διεύθυνση:

α) Ο κύλινδρος θα συνεχίσει να κυλίεται.

β) Ο κύλινδρος θα πάψει να κυλίεται και θα ολισθήσει.

γ) Ο κύλινδρος θα σπινάρει.

Να δικαιολογήσετε τις απαντήσεις σας.

Δίνεται η ροπή αδράνειας του κυλίνδρου Ι= ½ ΜR².

Απάντηση:

ή

	Θα συνεχιστεί η κύλιση;

Ισορροπία, πτώση και μήκος νήματος.

Δύο ομόκεντροι ομογενείς δίσκοι με ακτίνες R₁=0,2m και R₂=0,3m είναι κολλημένοι δημιουργώντας ένα στερεό s. Το στερεό s μπορεί να περιστρέφεται χωρίς τριβές, γύρω από σταθερό οριζόντιο άξονα, ο οποίος έχει στερεωθεί σε κατακόρυφο τοίχο και διέρχεται από τα κέντρα των δίσκων, ως προς τον οποίο, το στερεό s παρουσιάζει ροπή αδράνειας Ι=0,24kg∙m². Πάνω στον μεγάλο δίσκο στηρίζεται μια ομογενής οριζόντια λεπτή δοκός μήκους 4m, η οποία είναι αρθρωμένη στο άκρο της Α, μάζας Μ=3kg. Η δοκός στηρίζεται στο σημείο Β, όπου (ΑΒ)=3m. Γύρω από τον μικρό δίσκο ακτίνας R₁, τυλίγουμε ένα μακρύ αβαρές νήμα, στο άκρο του οποίου δένουμε ένα σώμα Σ, το οποίο απέχει h=0,5m από το έδαφος.

i)  Αν η μάζα του σώματος Σ είναι m=1,5kg, αυτό ισορροπεί. Ποιος ο ελάχιστος συντελεστής οριακής στατικής τριβής μεταξύ δοκού και δίσκου, για την ισορροπία αυτή;

ii) Αν το σώμα Σ έχει μάζα m=2kg, τότε κινείται προς τα κάτω, φτάνοντας στο έδαφος με ταχύτητα υ=1m/s, όπου και προσκολλάται.

α) Να υπολογιστεί η επιτάχυνση με την οποία κινήθηκε το σώμα Σ.

β) Να υπολογιστεί η τριβή που ασκείται στη δοκό από τον δίσκο κατά την πτώση του σώματος Σ, καθώς και ο συντελεστής τριβής ολίσθησης μεταξύ δοκού και δίσκου.

γ) Να κάνετε τη γραφική παράσταση της γωνιακής ταχύτητας του στερεού s, μέχρι τη στιγμή t΄=2s.

δ) Πόσο θα είναι τελικά το μήκος του νήματος που θα παραμείνει σε επαφή με το έδαφος;

Δίνεται ότι το νήμα δεν γλιστρά στο μικρό δίσκο ενώ και g=10m/s².

Απάντηση:

ή

	Ισορροπία, πτώση και μήκος νήματος.

Μια ισορροπία και οι αρχικές επιταχύνσεις.

Μια ομογενής  δοκός μήκους 2m και μάζας Μ=30kg, μπορεί να στρέφεται χωρίς τριβές γύρω από άρθρωση στο άκρο της Α και ισορροπεί οριζόντια δεμένη με κατακόρυφο νήμα στο σημείο Ρ, όπου (ΡΒ)=0,5m και με οριζόντιο νήμα, το οποίο αφού περάσει από αβαρή τροχαλία, με την οποία δεν εμφανίζει τριβές, στο άλλο του άκρο ισορροπεί ένα σώμα Σ,  όπως στο σχήμα.

i)  Υποστηρίζεται ότι το κατακόρυφο νήμα δεν είναι απαραίτητο, αρκεί το σώμα Σ να έχει κατάλληλο βάρος που να εξασφαλίζει την ισορροπία της δοκού. Να εξεταστεί αν  αυτό είναι μια λογική υπόθεση.

ii) Αν η μάζα του σώματος Σ είναι ίση με m=10kg, να βρεθεί η δύναμη που ασκείται στη δοκό από την άρθρωση.

iii) Σε μια στιγμή t=0, κόβουμε το κατακόρυφο νήμα. Αμέσως μετά (για t=0⁺) να υπολογιστούν:

α) Επιτάχυνση του μέσου Ο της δοκού και του σώματος Σ.

β) Η δύναμη που ασκείται στη δοκό από την άρθρωση.

Δίνεται η ροπή αδράνειας της  δοκού ως προς κάθετο άξονα που περνά από το ένα της άκρο Ι= 1/3 Μl² και g=10m/s².

Απάντηση:

ή

	Μια ισορροπία και οι αρχικές επιταχύνσεις.

Η επιτάχυνση και η επιβράδυνση της δοκού.

Σε λείο οριζόντιο επίπεδο ηρεμεί μια ομογενής δοκός (ΑΒ) μήκους 4m και μάζας 30kg, η οποία μπορεί να στρέφεται, χωρίς τριβές, γύρω από κατακόρυφο άξονα ο οποίος διέρχεται από το σημείο Ο της δοκού. Σε μια στιγμή, ασκούνται στη δοκό δυο οριζόντιες δυνάμεις F₁=F₂=28Ν, ίδιας διεύθυνσης και αντίθετης φοράς και διαρκώς κάθετες στη δοκό, όπως στο σχήμα (κάτοψη), όπου (ΑΓ)=d=1m. Η γραφική παράσταση της γωνιακής ταχύτητας της  ράβδου σε συνάρτηση με το χρόνο, δίνεται στο διπλανό σχήμα, όπου τη στιγμή t₁=10s μεταβάλλεται το μέτρο της μιας από τις παραπάνω δυνάμεις.

i)  Να βρεθεί η γωνιακή επιτάχυνση της δοκού από 0-10s, καθώς και η γωνία που στρέφεται η δοκός στο παραπάνω χρονικό διάστημα.

ii) Να υπολογιστεί η ροπή αδράνειας της δοκού ως προς τον άξονα περιστροφής στο Ο, καθώς και η απόσταση του Ο από το άκρο Β της δοκού.

iii) Να βρεθεί η επιτάχυνση του κέντρου μάζας Κ της δοκού της χρονικές  στιγμές:

α) t₀=0   και   β) t₂=5s.

iv) Ποιας δύναμης μειώσαμε το μέτρο μετά το 10^ο δευτερόλεπτο; Αφού δικαιολογήσετε την απάντησή  σας, στη συνέχεια να υπολογίστε το νέο μέτρο της δύναμης αυτής.

Δίνεται η ροπή αδράνειας της δοκού ως προς κάθετο άξονα που περνά από το μέσον της Κ,
Ι_cm= 1/12 ml².

Απάντηση:

ή

	Η επιτάχυνση και η επιβράδυνση της δοκού.

Πώς πρόκειται να κινηθούν οι ράβδοι;

Σε λείο οριζόντιο επίπεδο ηρεμεί μια ομογενής ράβδος ΑΒ. Κάποια στιγμή ασκούνται πάνω της δύο οριζόντιες δυνάμεις ίσου μέτρου F₁=F₂ οι οποίες είναι κάθετες στη ράβδο. Στα παρακάτω σχήματα (κατόψεις),  βλέπετε τέσσερις  διαφορετικές εκδοχές της κατάστασης, όπου στην (4^η) στο άκρο Β έχει συνδεθεί σημειακή σφαίρα με μάζα, όση και η μάζα της ράβδου.

i) Αναφερόμενοι στο (1) σχήμα η ράβδος:

α) θα εκτελέσει σύνθετη κίνηση στρεφόμενη όπως οι δείκτες του ρολογιού.

β) θα εκτελέσει στροφική κίνηση γύρω από το μέσον της Ο στρεφόμενη αντίθετα από τους δείκτες του ρολογιού.

γ) τίποτα από τα παραπάνω.

ii) Αναφερόμενοι στο (2) σχήμα η ράβδος:

α) θα εκτελέσει στροφική κίνηση γύρω από κατακόρυφο άξονα που περνά από το Ο και με γωνιακή ταχύτητα προς τον αναγνώστη.

β) θα εκτελέσει στροφική κίνηση γύρω από οριζόντιο άξονα που περνά από το Ο, στρεφόμενη αντίθετα από τους δείκτες του ρολογιού.

γ) θα εκτελέσει στροφική κίνηση γύρω από κατακόρυφο άξονα που περνά από το μέσον της ΟΒ, στρεφόμενη….

Δείτε τη συνέχεια σε pdf.

ή

	Πώς πρόκειται να κινηθούν οι ράβδοι;

Οι επιταχύνσεις τη στιγμή μηδέν.

Ένας λεπτός ομογενής δίσκος μάζας Μ=6kg και ακτίνας R=0,5m, κρέμεται από ένα μη ελαστικό νήμα, το οποίο έχει δεθεί σε σημείο Α της περιφέρειάς του. Δένουμε σε ένα άλλο σημείο Γ της περιφέρειας του δίσκου, στο άκρο μιας οριζόντιας ακτίνας ΚΓ,  ένα άλλο αβαρές και μη ελαστικό νήμα, στο άλλο άκρο του οποίου δένουμε ένα σώμα Σ μάζας m=1kg, το οποίο θεωρούμε υλικό σημείο. Συγκρατούμε τα δυο σώματα, ώστε τα νήματα να είναι κατακόρυφα και τεντωμένα και τη στιγμή t=0, τα αφήνουμε ελεύθερα να κινηθούν. Για τη στιγμή, αμέσως μόλις αφεθούν τα σώματα ελεύθερα (t=0⁺) να βρεθούν:

i)  Η επιτάχυνση του κέντρου Κ του δίσκου και η επιτάχυνση του σώματος Σ.

ii)  Οι τάσεις των δύο νημάτων.

iii) Η γωνιακή επιτάχυνση του δίσκου.

iii) Οι επιταχύνσεις των σημείων Α και Γ που έχουν δεθεί τα δυο νήματα.

Δίνεται η ροπή αδράνειας του δίσκου ως προς τον άξονά του Ι= ½ ΜR² και g=10m/s².

Απάντηση:

ή

	Οι επιταχύνσεις τη στιγμή μηδέν.