Μια ταλάντωση και η κάθετη αντίδραση

  

Η ομογενής δοκός ΑΒ του σχήματος, μήκους ℓ=3m και μάζας Μ=20kg ισορροπεί σε οριζόντια θέση, στηριζόμενη σε δύο τρίποδα στα σημεία Κ και Λ, όπου (ΑΚ)=(ΚΛ)= (ΛΒ)=1m. Στο άκρο Α έχει στερεωθεί ιδανικό ελατήριο σταθεράς k=100Ν/m, στο πάνω άκρο του οποίου ισορροπεί ένα σώμα Σ, μάζας m=4kg.

i) Να υπολογιστούν οι δυνάμεις που δέχεται η δοκός από τα δύο στηρίγματα.

ii) Μετακινούμε το σώμα Σ κατακόρυφα προς τα κάτω κατά d=0,5m και τη στιγμή t=0, το αφήνουμε να ταλαντωθεί.

α) Να υπολογιστεί η μέγιστη και η ελάχιστη τιμή της αντίδρασης Ν₂, που δέχεται η δοκός από το τρίποδο στο σημείο Λ.

β) Να γράψετε την εξίσωση της απομάκρυνσης του Σ από τη θέση ισορροπίας του σε συνάρτηση με το χρόνο, θεωρώντας την προς τα κάτω κατεύθυνση θετική.

γ) Ποια η αντίστοιχη εξίσωση Ν₂=f(t) για την αντίδραση στο σημείο Λ;

δ) Ποιο το μέγιστο δυνατό πλάτος ταλάντωσης του σώματος Σ, χωρίς η δοκός να χάνει την επαφή με κάποιο από τα τρίποδα;

Δίνεται g=10m/s².

Απάντηση:

ή

 Μια ταλάντωση και η κάθετη αντίδραση

 Μια ταλάντωση και η κάθετη αντίδραση

Το χάσιμο της επαφής και η επιστροφή

 

Τα σώματα Α και Β με μάζες m και 3m αντίστοιχα, είναι δεμένα στα άκρα ενός ιδανικού ελατηρίου και ισορροπούν όπως στο σχήμα, με το ελατήριο σε κατακόρυφη θέση, ενώ το Β στηρίζεται στο έδαφος. Σε μια στιγμή ασκούμε στο σώμα Α μια σταθερή κατακόρυφη  δύναμη μέτρου F=3mg.

i)  Να αποδειχθεί ότι το σώμα Β, κάποια στιγμή θα χάσει την επαφή με το έδαφος, επιταχυνόμενο προς τα πάνω.

ii)  Να εξετάσετε αν το σώμα Β, μετά την ανύψωσή του, κάποια στιγμή θα επιστρέψει στην αρχική του θέση, κτυπώντας στο έδαφος.

Απάντηση.

ή

 Το χάσιμο της επαφής και η επιστροφή

 Το χάσιμο της επαφής και η επιστροφή

Προσοχή μην λυγίσει το νήμα

 

Μια σφαίρα σ μάζας m ηρεμεί στο κάτω άκρο Ο ιδανικού ελατηρίου, σταθεράς k και αμελητέας μάζας, το πάνω άκρο του οποίου έχει δεθεί σε σώμα Σ μάζας 2m, που κρέμεται μέσω νήματος από το ταβάνι, όπως στο σχήμα. Δίνονται m=1kg, k=50Ν/m και g=10m/s².

i)  Αφού υπολογίσετε την επιμήκυνση του ελατηρίου, να βρείτε την  δύναμη που ασκεί στο σώμα Σ, το κατακόρυφο νήμα.

ii) Εκτρέπουμε την σφαίρα σ κατακόρυφα προς τα πάνω κατά h₁ και την αφήνουμε να εκτελέσει ΑΑΤ.

α) Ποια η μέγιστη αρχική εκτροπή αν θέλουμε η τιμή της τάσης του νήματος να είναι πάντα μεγαλύτερη ή ίση από 20Ν.

β) Μεταξύ ποιων τιμών κυμαίνεται στην παραπάνω περίπτωση, η τάση του νήματος που ασκείται στο σώμα Σ;

iii) Ποια η μέγιστη αντίστοιχη κατακόρυφη εκτροπή της σφαίρας h₂, ώστε στη διάρκεια της ταλάντωσης της σφαίρας σ, να μην χαλαρώσει το νήμα;

iv) Κάποια στιγμή t₁ όπου η σφαίρα έχει επιτάχυνση α₁=2m/s² με φορά προς τα πάνω, το νήμα από το οποίο κρέμεται το σώμα Σ, κόβεται. Να βρεθούν οι επιταχύνσεις των δύο σωμάτων, αμέσως μετά το κόψιμο του νήματος.

Απάντηση:

ή

 Προσοχή μην λυγίσει το νήμα

 Προσοχή μην λυγίσει το νήμα

Μετρώντας το ύψος από το έδαφος

Ένα σώμα Σ μάζας 2kg, εκτελεί αατ στο άκρο ενός κατακόρυφου ιδανικού ελατηρίου.

 

i)   Να αποδείξετε ότι το ύψος h του σώματος από το έδαφος, είναι αρμονική συνάρτηση του χρόνου.

ii)  Αν η γραφική παράσταση του ύψους του σώματος από το έδαφος είναι της μορφής του παραπάνω σχήματος, να βρεθεί η εξίσωση της απομάκρυνσης του σώματος από τη θέση ισορροπίας σε συνάρτηση με το χρόνο, θεωρώντας την προς τα πάνω κατεύθυνση ως θετική.

iii) Αφού βρεθεί η εξίσωση της κινητικής ενέργειας του σώματος σε συνάρτηση με το χρόνο (Κ=Κ(t)), να γίνει η γραφική της παράσταση.

iv) Αν τη χρονική στιγμή t₁=1s το σώμα Σ συγκρουστεί πλαστικά με ένα άλλο σώμα Σ₁ το οποίο κινείται κατακόρυφα, τότε η γραφική παράσταση του ύψους με το χρόνο, παίρνει την μορφή του διπλανού σχήματος. Ζητούνται:

α) Η μάζα του σώματος Σ₁.

β) Η ενέργεια της ταλάντωσης του συσσωματώματος.

γ) Η απώλεια της μηχανικής ενέργειας κατά την πλαστική κρούση, μεταξύ των δύο σωμάτων.

Δίνεται π²=10 και g=10m/s².

Απάντηση:

ή

 Μετρώντας το ύψος από το έδαφος

 Μετρώντας το ύψος από το έδαφος 

Αλλάζουμε την αατ, με την βοήθεια μιας κρούσης

 

Ένα σώμα Σ₁ μάζας m₁=2kg ταλαντώνεται σε λείο οριζόντιο επίπεδο, δεμένο στο άκρο ιδανικού ελατηρίου σταθεράς k=200Ν/m, με πλάτος Α=0,5m. Σε μια στιγμή το σώμα αυτό συγκρούεται κεντρικά και ελαστικά, με ένα δεύτερο σώμα Σ₂, μάζας m₂=1kg, το οποίο κινείται οριζόντια, όπως στο σχήμα, με ταχύτητα μέτρου 2m/s. Μετά την κρούση το Σ₂ κινείται προς τα δεξιά με ταχύτητα μέτρου 6m/s.

i)  Να υπολογιστεί η μεταβολή της ορμής και της κινητικής ενέργειας του σώματος Σ₂, που οφείλονται στην κρούση.

ii)  Να βρεθεί η απομάκρυνση και η ταχύτητα του σώματος Σ₁, ελάχιστα πριν την κρούση.

iii)  Θεωρώντας t₀=0 την στιγμή της κρούσης, να γίνει η γραφική παράσταση της απομάκρυνσης του σώματος Σ₁ σε συνάρτηση με το χρόνο, μετά την κρούση.

Απάντηση:

ή

 Αλλάζουμε την αατ, με την βοήθεια μιας κρούσης

 Αλλάζουμε την αατ, με την βοήθεια μιας κρούσης

Με επιτρεπόμενη αρχική φάση

  

 Ένα σώμα Σ μάζας 1kg, ηρεμεί στο κάτω άκρο Ο ενός ιδανικού ελατηρίου, με φυσικό μήκος l₀=1m, το οποίο κρέμεται από το ταβάνι. Ανεβάζουμε το σώμα κατακόρυφα κατά h=0,4m, φέρνοντάς το στην θέση Β και το αφήνουμε να κινηθεί για t=0. Αν τη στιγμή t₁=0,5s,  το ελατήριο αποκτά το μέγιστο μήκος του, για πρώτη φορά, ζητούνται:

i)  Να αποδειχθεί ότι το σώμα εκτελεί αατ και να βρεθεί η σταθερά επαναφοράς.

ii) Μεταξύ ποιων τιμών μεταβάλλεται το μήκος του ελατηρίου, στην διάρκεια της παραπάνω ταλάντωσης;

iii) Να γίνουν οι γραφικές παραστάσεις της απομάκρυνσης του σώματος και της επιτάχυνσής του, σε συνάρτηση με το χρόνο, θεωρώντας την προς τα πάνω κατεύθυνση ως θετική.

iv) Την χρονική στιγμή t₁=1,75s το σώμα Σ συγκρούεται κεντρικά και ελαστικά με ένα άλλο σώμα, το οποίο κινείται κατακόρυφα προς τα πάνω, με αποτέλεσμα να αυξηθεί η ενέργεια ταλάντωσής του κατά ΔΕ=1,8J. Αν η διάρκεια της κρούσης είναι αμελητέα:

α) Να γράψετε την εξίσωση της ταχύτητας του σώματος Σ, μετά την κρούση.

β) Να κάνετε την γραφική παράσταση της ταχύτητας του σώματος Σ από t=0 έως την στιγμή t₂=2,5s.

Δίνεται g=10m/s² και π²≈10.

Απάντηση:

ή

  Με επιτρεπόμενη αρχική  φάση

  Με επιτρεπόμενη αρχική  φάση

Η στροφορμή σε ένα σύστημα υλικών σημείων

Δύο μικρές σφαίρες Α και Β, οι οποίες θεωρούνται υλικά σημεία αμελητέας ακτίνας, με μάζες m₁=0,4kg και m₂=0,2kg αντίστοιχα, είναι δεμένες στα άκρα ιδανικού ελατηρίου με φυσικό μήκος 1,8m και σταθερά k=20N/m. Το σύστημα αυτό αφήνεται να κινηθεί στο εσωτερικό ενός λείου κατακόρυφο ημισφαιρίου κέντρου Ο και ακτίνας R=2m. Η κίνηση γίνεται σε κατακόρυφο επίπεδο, όπως στο διπλανό σχήμα, το οποίο ταυτίζεται με το επίπεδο της σελίδας. Σε μια στιγμή οι σφαίρες βρίσκονται στις θέσεις του σχήματος, όπου η Α βρίσκεται στο χαμηλότερο σημείο της τροχιάς της, ενώ η ακτίνα ΟΒ σχηματίζει γωνία θ=60° με την κατακόρυφο, έχοντας ταχύτητες υ₁=4m/s και υ₂=3m/s αντίστοιχα. Για την στιγμή αυτή:

i)  Να υπολογιστεί η στροφορμή του συστήματος των δύο σφαιρών ως προς άξονα z, κάθετο στο επίπεδο της κίνησης, ο οποίος διέρχεται από το κέντρο Ο του ημισφαιρίου.

ii)  Ποιος ο αντίστοιχος ρυθμός μεταβολής της στροφορμής  του συστήματος ως προς τον άξονα z;

iii) Να βρεθεί ο ρυθμός μεταβολής της ορμής της Α σφαίρας.

iv) ^**Ποιος ο αντίστοιχος ρυθμός μεταβολής της δυναμικής ενέργειας του ελατηρίου;

Δίνεται g=10m/s².

Απάντηση:

ή

 Η στροφορμή σε ένα σύστημα υλικών σημείων

 Η στροφορμή σε ένα σύστημα υλικών σημείων

Ένα σύστημα δύο σφαιρών σε κίνηση

 

Από ένα σταθερό σημείο Ο, κρέμονται με νήματα μήκους l=0,45m, δύο μικρές σφαίρες Α και Β με μάζες m και 2m, αντίστοιχα. Φέρνουμε τις σφαίρες στις θέσεις που φαίνονται στο σχήμα, όπου τα δυο νήματα είναι οριζόντια και σε μια στιγμή τις αφήνουμε ταυτόχρονα να κινηθούν.

i)  Αφού αποδείξετε ότι η επιτρόχια επιτάχυνση της σφαίρας Β, όταν το νήμα σχηματίζει γωνία θ με την οριζόντια διεύθυνση, είναι ανεξάρτητη της μάζας της, να εξηγήσετε σε ποια θέση πρόκειται να συγκρουστούν οι δυο σφαίρες.

ii) Για την χρονική στιγμή που η σφαίρα Β πέφτει και το νήμα σχηματίζει γωνία θ με την οριζόντια διεύθυνση όπου ημθ=4/9, να βρεθούν η στροφορμή κάθε σφαίρας και ο αντίστοιχος ρυθμός μεταβολής της στροφορμής,  ως προς οριζόντιο άξονα, ο οποίος περνά από το σημείο Ο.

iii)  Αν οι δυο σφαίρες μετά από λίγο συγκρούονται κεντρικά και ελαστικά, να υπολογιστούν ως προς τον άξονα στο Ο:

α) Η ολική στροφορμή του συστήματος ελάχιστα πριν και αμέσως μετά την κρούση.

β) Η μεταβολή της στροφορμής της σφαίρας Α ως προς το Ο, η οποία οφείλεται στην κρούση.

Δίνεται g=10m/s², m=0,1kg, ενώ οι δυο σφαίρες έχουν ίσες ακτίνες, αμελητέες σε σχέση με το μήκος του νήματος.

Απάντηση:

ή

 Ένα σύστημα δύο σφαιρών σε κίνηση

 Ένα σύστημα δύο σφαιρών σε κίνηση