Επιφανειακή συμβολή και σύγχρονες πηγές

  

Σε δύο σημεία μιας ευθείας ε, στην επιφάνεια ενός υγρού, βρίσκονται δύο σύγχρονες πηγές κυμάτων Ο₁ και Ο₂ οι οποίες αρχίζουν να ταλαντώνονται τη στιγμή t₀=0, παράγοντας εγκάρσια κύματα με πλάτος Α=2cm, μήκος κύματος λ=0,8m και συχνότητα f=0,5Ηz. Η απόσταση των δύο πηγών είναι d=0,8m.

i)  Να βρεθεί το πλάτος ταλάντωσης τις σημείου Β  τις επιφάνειας, το οποίο βρίσκεται πάνω στην ευθεία z, η οποία είναι κάθετη στην ε, στο σημείο που βρίσκεται η πηγή Ο₁, σε απόσταση (Ο₁Β)=0,6m,  τις χρονικές στιγμές:

α) t₁=1s,   β) t₂=2s και t₃=3s.

ii) Ποια η αντίστοιχη απάντηση για ένα σημείο Γ της ευθείας ε, αν (Ο₂Γ)=0,2m;

iii) Αν, ενώ έχουμε συμβολή σε όλα τα σημεία της επιφάνειας, το σημείο Γ μετακινηθεί προς τα δεξιά κατά x, τότε το πλάτος ταλάντωσής του:

α)  θα αυξηθεί,   β)  θα μειωθεί,  γ) θα παραμείνει  σταθερό.

Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας.

Θεωρούμε ότι τα κύματα που διαδίδονται, διατηρούν σταθερό πλάτος.

Απάντηση:                                              

ή

 Επιφανειακή συμβολή από σύγχρονες πηγές

 Επιφανειακή συμβολή και σύγχρονες πηγές

Από ένα διάγραμμα φάσης

  

Κατά μήκος ενός γραμμικού ελαστικού μέσου, διαδίδεται ένα εγκάρσιο αρμονικό πλάτους Α=0,2m και στο σχήμα δίνεται το διάγραμμα της φάσης της απομάκρυνσης των  διαφόρων σημείων του μέσου, σε συνάρτηση με την θέση x (φ=f(x)) τη χρονική στιγμή t₁.

i)  Το κύμα διαδίδεται προς τα δεξιά (θετική φορά του άξονα) ή προς τα αριστερά;

ii) Να υπολογίσετε το μήκος του κύματος καθώς και την θέση x₁, όπου μηδενίζεται η φάση τη στιγμή t₁.

iii) Να σχεδιάσετε την γραφική παράσταση της φάσης  (φ=f(x)) την χρονική στιγμή t₂=t₁+Τ, όπου Τ η περίοδος ταλάντωσης των σημείων του μέσου.

iv) Αν το κύμα ικανοποιεί την εξίσωση y=Α∙ημ2π(t/Τ-x/λ) να σχεδιάστε ένα στιγμιότυπο του κύματος την στιγμή t₁, αν Τ=1s.

v) Να σχεδιάσετε την γραφική παράσταση της απομάκρυνσης y=f(t) για ένα σημείο Σ, στην θέση x=-4m, μέχρι την στιγμή t₁.

Απάντηση:

ή

 Από ένα διάγραμμα φάσης

 Από ένα διάγραμμα φάσης

Η φάση και σημεία με μέγιστη ταχύτητα

Ένα εγκάρσιο αρμονικό κύμα διαδίδεται κατά μήκος ενός γραμμικού ελαστικού μέσου, προς τα δεξιά (θετική κατεύθυνση) και τη στιγμή t=0 φτάνει στο σημείο Ο, στη θέση x=0. Το σημείο Ο ξεκινά την ταλάντωσή κινούμενο προς τα πάνω (θετική φορά) και φτάνει στην ακραία θέση του, σε απόσταση 0,2m σε χρονικό διάστημα Δt=0,5s, ενώ στο μεταξύ το κύμα έχει διαδοθεί φτάνοντας στο σημείο Λ, όπου (ΟΛ)=1m.

i)   Να υπολογισθεί η ταχύτητα διάδοσης του κύματος, καθώς και η εξίσωση του κύματος.

ii)  Να βρεθεί  η φάση της απομάκρυνσης της ταλάντωσης του σημείου Κ, στη θέση x₁=-1m, σε συνάρτηση με το χρόνο και να γίνει η γραφική της παράσταση για t ≤ 2,5s.

iii) Να βρεθούν οι θέσεις των σημείων, τα οποία τη στιγμή t₁=2,5s έχουν μέγιστη κατά μέτρο ταχύτητα ταλάντωσης, στην περιοχή -2m ≤ x ≤ 2 m.

iv) Να σχεδιάστε το στιγμιότυπο του κύματος τη χρονική στιγμή t₂=3s.

v) Να βρεθεί η θέση του σημείου Σ του μέσου, το οποίο την στιγμή t₃=6,5s έχει πραγματοποιήσει 43,5 ταλαντώσεις.

Θεωρούμε ότι η πηγή είναι σε μεγάλη απόσταση από την αρχή Ο (x=0) του άξονα.

Απάντηση:

ή

 Η φάση και σημεία με μέγιστη ταχύτητα

 Η φάση και σημεία με μέγιστη ταχύτητα 

Η διάδοση του παλμού και η ταλάντωση ενός σημείου

  

Κατά μήκος ενός ελαστικού μέσου και προς την θετική κατεύθυνση διαδίδεται ένα εγκάρσιο κύμα (στην πραγματικότητα ένας κυματικός αρμονικός παλμός) με μήκος κύματος λ=0,8m και τη στιγμή t=0,  φτάνει σε ένα σημείο Ο, το οποίο λαμβάνουμε και σαν αρχή του προσανατολισμένου άξονα x.  Το κύμα φτάνει την στιγμή t₁=3s σε ένα σημείο Β του μέσου, στην θέση x₁=1,2m, το οποίο αρχίζει να ταλαντώνεται με πλάτος Α=0,2m, ξεκινώντας την ταλάντωσή του από την θέση ισορροπίας του και κινούμενο προς την θετική κατεύθυνση. Το σημείο Β, παύει να ταλαντώνεται, παραμένοντας ακίνητο, την χρονική στιγμή t₂=12s.

i)  Να βρεθεί η ταχύτητα διάδοσης του κύματος και η περίοδος ταλάντωσης των σημείων του μέσου.

ii) Ποια η εξίσωση της απομάκρυνσης σε συνάρτηση με το χρόνο του σημείου Β; Να γίνει η γραφική παράσταση y₁=f(t) για το σημείο Β και για όσο χρόνο αυτό ταλαντώνεται.

iii) Να γίνει επίσης η αντίστοιχη γραφική παράσταση για την ταχύτητα ταλάντωσης του σημείου Β, υ=f(t).

iv) Να σχεδιάσετε ένα στιγμιότυπο του κύματος την χρονική στιγμή t₃=10s.

Απάντηση:

ή

 Η διάδοση του παλμού και η ταλάντωση ενός σημείου

 Η διάδοση του παλμού και η ταλάντωση ενός σημείου

Βρείτε την εξίσωση του κύματος

 Κατά μήκος ενός γραμμικού ελαστικού μέσου διαδίδεται ένα κύμα πλάτους Α=0,2m με περίοδο 3s. Ζητάμε την εξίσωση του κύματος, στις περιπτώσεις που εμφανίζονται στο παρακάτω σχήμα, όπου τα στιγμιότυπα (α) και (β) αναφέρονται σε κύματα που διαδίδονται προς τα δεξιά (προς την θετική κατεύθυνση), ενώ τα (γ) και (δ) προς τα αριστερά, ενώ όλα τα στιγμιότυπα αναφέρονται στην στιγμή t=0.

 

Απάντηση:

ή

 Βρείτε την εξίσωση του κύματος

 Βρείτε την εξίσωση του κύματος

Ένα αρμονικό κύμα και ένα υλικό σημείο

 

Κατά μήκος ενός γραμμικού ελαστικού μέσου διαδίδεται προς την θετική κατεύθυνση ένα αρμονικό κύμα, πλάτους Α=0,4m με ταχύτητα 2m/s. Την χρονική στιγμή t=0, το κύμα φτάνει στην αρχή Ο ενός προσανατολισμένου άξονα, το οποίο αρχίζει να ταλαντώνεται, κινούμενο προς τα πάνω (θετική απομάκρυνση) με περίοδο Τ=2s.

i)  Να γράψετε την εξίσωση του διαδιδόμενου κύματος.

ii)  Να σχεδιάσετε ένα στιγμιότυπο του κύματος την χρονική στιγμή t₁=4,5s.

iii) Ένα υλικό σημείο Σ του μέσου, με μάζα m=1g, βρίσκεται στην θέση x₁=20/3m. Να υπολογίσετε την ταχύτητα του Σ και την συνισταμένη δύναμη που δέχεται από το μέσον, τις χρονικές  στιγμές t₁ και t₂=2,8s.

Απάντηση:

ή

  Ένα αρμονικό κύμα και ένα υλικό σημείο 

  Ένα αρμονικό κύμα και ένα υλικό σημείο 

Όταν αλλάζουν τα πράγματα στην πορεία

 

Στη θέση x=0 ενός γραμμικού ελαστικού μέσου, υπάρχει πηγή κύματος η οποία αρχίζει να ταλαντώνεται τη στιγμή t=0, με εξίσωση y=0,4ημ(2πt)  (μονάδες στο S.Ι.), δημιουργώντας εγκάρσια κύματα που διαδίδονται προς την θετική κατεύθυνση του μέσου, με ταχύτητα υ=2m/s. Την χρονική στιγμή t₁=3s, η πηγή αλλάζει πλάτος ταλάντωσης στην τιμή Α₂=0,2m, ενώ  και η συχνότητά της γίνεται f₂=2Ηz.

i)  Να γράψετε τις εξισώσεις για το κύμα που διαδίδεται κατά μήκος του παραπάνω μέσου.

ii) Ένα σημείο Σ βρίσκεται στην θέση x_Σ=3m. Ποια η εξίσωση της απομάκρυνσης y_Σ=f(t) του σημείου αυτού; Να γίνει η γραφική παράσταση της y_Σ=f(t), μέχρι την στιγμή t₂=6s.

iii) Να σχεδιάσετε το στιγμιότυπο του κύματος y=f(x) την χρονική στιγμή t₂=6s.

Απάντηση:

ή

 Όταν αλλάζουν τα πράγματα στην πορεία

 Όταν αλλάζουν τα πράγματα στην πορεία

Μια ΑΑΤ και μια εξαναγκασμένη ταλάντωση

  

Ένα σώμα μπορεί να ταλαντώνεται στο άκρο ιδανικού ελατηρίου, με γωνιακή συχνότητα 10rad/s, σε λείο οριζόντιο επίπεδο, εκτελώντας ΑΑΤ. Το ίδιο σώμα τίθεται σε εξαναγκασμένη ταλάντωση με την επίδραση εξωτερικής δύναμης της μορφής F_δ=F₀∙ημ(5t+φ₀), όταν πάνω του ασκείται και δύναμη απόσβεσης της μορφής F_απ=-bυ.  Σε μια στιγμή t₁ το σώμα κινείται προς τα αριστερά, πλησιάζοντας την θέση ισορροπίας του, όπως στο σχήμα. Τη στιγμή αυτή η δύναμη του ελατηρίου έχει μέτρο 8Ν, ενώ η δύναμη απόσβεσης έχει μέτρο 2Ν.

i)  Να σχεδιάσετε όλες τις οριζόντιες δυνάμεις που ασκούνται στο σώμα τη στιγμή t₁, υπολογίζοντας και τα μέτρα τους.

ii) Η εξωτερική δύναμη τη στιγμή t₁:

α) προσφέρει ενέργεια στο σώμα.

β) αφαιρεί ενέργεια από το σώμα.

γ) τίποτα από τα δύο.

iii) Αν το σώμα τη στιγμή t₁ έχει ταχύτητα μέτρου |υ|=2m/s, να υπολογισθεί ο ρυθμός μεταβολής της δυναμικής ενέργειας ταλάντωσης του σώματος, καθώς και ο ρυθμός μεταβολής της κινητικής του ενέργειας.

Απάντηση:

ή

 Μια ΑΑΤ και μια εξαναγκασμένη ταλάντωση

 Μια ΑΑΤ και μια εξαναγκασμένη ταλάντωση