Ο τροχός σε λείο κεκλιμένο επίπεδο

Ένας τροχός, η μάζα του οποίου θεωρείται συγκεντρωμένη στην περιφέρειά του, αφήνεται σε λείο κεκλιμένο επίπεδο κλίσεως θ, ενώ πάνω του ασκείται ένα ζεύγος δυνάμεων με ροπή, όπως στο σχήμα και μέτρου τ=mgR∙ημθ, όπου m η μάζα και R η ακτίνα του τροχού.

i) Υποστηρίζεται ότι ο τροχός θα κυλίσει (χωρίς να ολισθήσει) προς τα κάτω. Συμφωνείτε ή διαφωνείτε με την θέση αυτή;

ii) Τη στιγμή που ο τροχός έχει κατέλθει κατακόρυφα κατά h, η κινητική του ενέργεια είναι ίση:

α) Κ=mgh,   β) Κ=2mgh,   γ) Κ=3mgh.

Απάντηση:

ή

    Ο τροχός σε λείο κεκλιμένο επίπεδο

Ο τροχός σε λείο κεκλιμένο επίπεδο

Ο τροχός και η ροπή ζεύγους

Ένας τροχός ηρεμεί σε οριζόντιο επίπεδο. Σε μια στιγμή, μέσω ενός ζεύγους δυνάμεων, δέχεται σταθερή οριζόντια ροπή όπως στο σχήμα.

i) Αν το επίπεδο είναι λείο να περιγράψετε την κίνηση που θα πραγματοποιήσει ο τροχός.

ii) Αν το επίπεδο δεν είναι λείο, τότε ο τροχός:

   α) θα εκτελέσει στροφική κίνηση γύρω από οριζόντιο άξονα που περνά από το μέσον του Ο.

   β) Θα κινηθεί προς τα δεξιά, εκτελώντας σύνθετη κίνηση.

iii) Αν ο τροχός, με την επίδραση της παραπάνω ροπής κυλίεται (χωρίς να ολισθαίνει), τότε η κινητική του ενέργεια, μόλις ολοκληρώσει 3 περιστροφές θα είναι ίση:

α) Κ< 6πτ,    β) Κ=6πτ,    γ) Κ >6πτ.

Να δικαιολογήσετε αναλυτικά τις απαντήσεις σας.

Απάντηση:

ή

   
  Ο τροχός και η ροπή ζεύγους

Ο τροχός και η ροπή ζεύγους

Δύο ράβδοι, διαφορετικοί άξονες περιστροφής.

Δυο όμοιες ομογενείς ράβδοι (1) και (2) μήκους l, μπορούν να περιστρέφονται χωρίς τριβές γύρω από κατακόρυφο άξονα, διαγράφοντας οριζόντιο επίπεδο. Ο άξονας z₁ περιστροφής της πρώτης, διέρχεται από το μέσον Κ της ράβδου, ενώ ο αντίστοιχος άξονας z₂ της δεύτερης, περνά από το σημείο Ο, όπου (ΔΟ)= ¼ l. Σε μια στιγμή ασκούνται  στην πρώτη ράβδο, δυο οριζόντιες, σταθερού μέτρου δυνάμεις F₁=F₂=F, διαρκώς κάθετες στη ράβδο, η μια στο άκρο Α και η δεύτερη στο μέσον Ε της (ΚΑ). Την ίδια στιγμή στη δεύτερη ράβδο ασκούνται ίδιες δυνάμεις στα σημεία Η και Ζ, όπου (ΗΖ)= ¼ l.

i)  Για τα χρονικά διαστήματα, t₁ και t₂,  που θα απαιτηθούν για να ολοκληρωθεί η πρώτη περιστροφή των δύο ράβδων, ισχύει:

α) t₁ < t₂,    β) t₁ = t₂,    γ)  t₁ > t₂.

ii) Αν L₁ το μέτρο της στροφορμής της πρώτης ράβδου ως προς τον άξονα περιστροφής της z₁ και L₂ η αντίστοιχη στροφορμή της δεύτερης ως προς τον άξονα z₂, τις στιγμές t₁ και t₂, ισχύει:

α) L₁ < L₂,    β) L₁ = L₂,    γ)  L₁ > L₂.

iii) Τις στιγμές t₁ και t₂, που οι δυο ράβδοι έχουν ολοκληρώσει μια περιστροφή, έχουν κινητικές ενέργειες Κ₁ και Κ₂.  Για τις ενέργειες αυτές ισχύει:

α)   Κ₁ < Κ₂,   β)   Κ₁=Κ₂,    γ)   Κ₁ > Κ₂.

iv) Ο άξονας περιστροφής ασκεί οριζόντια δύναμη:

α) Μόνο στην (1) ράβδο,   β) Μόνο στην (2) ράβδο,   γ) και στις δύο ράβδους,   δ) σε καμιά ράβδο.

Να δικαιολογήσετε τις απαντήσεις σας.

Απάντηση:

ή

Δύο ράβδοι, διαφορετικοί άξονες περιστροφής.

Δύο ράβδοι, διαφορετικοί άξονες περιστροφής.

Ένα ζεύγος δυνάμεων και το έργο του.

Μια λεπτή οριζόντια ομογενής ράβδος ΑΒ μήκους l=2m ηρεμεί σε λείο οριζόντιο επίπεδο. Σε μια στιγμή (t₀=0) στη ράβδο ασκούνται  δύο αντιπαράλληλες δυνάμεις, με σταθερά μέτρα F₁=F₂=5Ν, οι οποίες σχηματίζουν διαρκώς με τον άξονα της ράβδου γωνία θ, όπου ημθ=0,6 και συνθ=0,8. Η F₁ ασκείται στο άκρο Α και η F₂ στο μέσον της Κ της ράβδου.

i) Πόση κινητική ενέργεια έχει η ράβδος τη στιγμή t₁ που έχει περιστραφεί κατά γωνία φ=12rad;

ii) Πόσο είναι το έργο κάθε δύναμης μέχρι τη στιγμή t₁;

iii) Αν η ράβδος έχει μήκος l=2m και μάζα 6kg, να υπολογιστούν:

 α) Οι αρχικές επιταχύνσεις των σημείων εφαρμογής Α και Κ των δύο δυνάμεων.

 β) Η χρονική στιγμή t₁.

 γ) Ο ρυθμός μεταβολής της κινητικής ενέργειας της ράβδου τη στιγμή t₁.

 δ) Το μέτρο της ταχύτητας του άκρου Α, καθώς και η στιγμιαία ισχύς της δύναμης F₁, την παραπάνω στιγμή;

Δίνεται η ροπή αδράνειας της ράβδου ως προς κάθετο άξονα που περνά από το μέσον της  Ι=(1/12)ml².

Απάντηση:

ή

Ένα ζεύγος δυνάμεων και το έργο του.

Ένα ζεύγος δυνάμεων και το έργο του.

Μια κρούση στερεού. Β΄ Θέμα.

Σε λείο οριζόντιο επίπεδο ηρεμεί σε κατακόρυφη θέση μια λεπτή ομογενής ράβδος ΑΒ. Μια μικρή σφαίρα κινείται προς τη ράβδο και συγκρούεται ελαστικά  με αυτήν έχοντας τη στιγμή της κρούσης οριζόντια ταχύτητα υ (σχήμα (1)) . Η σφαίρα προσπίπτει στο σημείο Μ της ράβδου, χαμηλότερα του μέσου της Κ.

i)  Το μέσον Κ της ράβδου, μετά την κρούση, θα αποκτήσει ταχύτητα προς τα δεξιά ή προς τα αριστερά;

ii)  Αν μετά από λίγο η ράβδος γίνεται οριζόντια για πρώτη φορά, ποια από τις παρακάτω εικόνες (α, β, γ, δ), δείχνει τη θέση στην οποία μπορεί να βρίσκεται;

iii) Αν η ράβδος δεν ήταν ομογενής αλλά το κέντρο μάζας της ήταν το σημείο Μ, να περιγράψετε την κίνησή της μετά την κρούση.

iv) Αν η ταχύτητα υ της σφαίρας πριν την κρούση δεν ήταν οριζόντια, αλλά πλάγια (σχήμα (2)), τι θα άλλαζε στις παραπάνω απαντήσεις σας;

Απάντηση:

ή

Μια κρούση στερεού. Β΄ Θέμα.

Μια κρούση στερεού. Β΄ Θέμα.

Η κίνηση της ράβδου στο άκρο νήματος

Η ομογενής ράβδος ΑΒ, μάζας m και μήκους l, κρατείται στη θέση (1) του διπλανού σχήματος, με το άκρο της Α δεμένο στο άκρο (τεντωμένου) αβαρούς και μη εκτατού νήματος, του ίδιου μήκους l, το άλλο άκρο του οποίου έχει δεθεί σε σταθερό σημείο Ο. Σε μια στιγμή αφήνουμε τη ράβδο να κινηθεί σε κατακόρυφο επίπεδο και μετά από λίγο περνά από τη θέση (2) όπου ο άξονας της ράβδου είναι συνέχεια του νήματος σχηματίζοντας γωνία θ με την κατακόρυφο.
Στη θέση αυτή το μέσον Κ της ράβδου έχει ταχύτητα μέτρου υ και το άκρο Α ταχύτητα μέτρου υ_Α=0,4υ. Για τη θέση (2):

i) Να σχεδιάσετε πάνω στο σχήμα τις παραπάνω ταχύτητες των σημείων Α και Κ και να δικαιολογήσετε τις κατευθύνσεις τους.

ii) Η κινητική ενέργεια της ράβδου υπολογίζεται από την εξίσωση:

α) Κ=0,5mυ²,    β) Κ=0,56mυ²,    γ) Κ=1,86mυ²,    δ) Κ=3,36mυ².

iii) Το μέτρο της στροφορμής της ράβδου, ως προς οριζόντιο άξονα που περνά από το μέσον της Κ (η ιδιοστροφορμή της) δίνεται από την εξίσωση:

α) L_Κ=0,1mυl,   β)  L_Κ=0,4mυl,   γ) L_Κ=mυl,   δ) L_Κ=1,6mυl.

iv) Το μέτρο της στροφορμής της ράβδου, ως προς οριζόντιο άξονα που περνά από το άκρο Ο του νήματος, δίνεται από την εξίσωση:

α) Lο=mυl,    β) Lο=1,5mυl,    γ) Lο=1,6mυl,    δ) Lο=1,8mυl.

v) Αν για τη γωνία που σχηματίζει το νήμα με την κατακόρυφο δίνεται ότι ημθ=0,6 και συνθ=0,8, τότε:

   Va) Το μέτρο του ρυθμού μεταβολής της στροφορμής της ράβδου ως προς οριζόντιο άξονα που περνά από το μέσον της Κ είναι:

α) dL_κ/dt=0,   β) dL_κ/dt=0,6mgl,   γ) dL_κ/dt=0,9mgl,    δ) dL_κ/dt=1,2mgl.

 Vb) Το μέτρο του ρυθμού μεταβολής της στροφορμής της ράβδου ως προς οριζόντιο άξονα που περνά από το άκρο Ο του νήματος είναι:

α) dLο/dt=0,   β) dLο/dt=0,6mgl,   γ) dLο/dt=0,9mgl,    δ) dLο/dt=1,2mgl.

Να δικαιολογήσετε τις απαντήσεις σας.

Δίνεται η ροπή αδράνειας της ράβδου ως προς κάθετο άξονα που περνά από το μέσον της Ι=(1/12)ml².

Απάντηση:

ή

Η κίνηση της ράβδου στο άκρο νήματος

Η κίνηση της ράβδου στο άκρο νήματος

Η περιστροφή ενός τριγώνου

Τρεις ομογενείς ράβδοι, μήκους l=2m και μάζας 3kg η καθεμιά, συνδέονται, δημιουργώντας ένα ισόπλευρο τρίγωνο πλευρά l. Το τρίγωνο αυτό (στερεό s) μπορεί να περιστρέφεται, χωρίς τριβές, γύρω από κατακόρυφο άξονα z, ο οποίος περνά από την κορυφή Α και το μέσον της ΒΓ, όπως στο σχήμα.

i)   Αν Ι_ο η ροπή αδράνειας μιας ράβδου ως προς κάθετο άξονα που περνά από το μέσον, να αποδείξετε ότι η ροπή αδράνειας της ράβδου ΑΒ ως προς τον κατακόρυφο άξονα z, δίνεται από την σχέση:

Ι_z=4Ι_ο∙ημ²θ.

    όπου θ η γωνία που σχηματίζει η ράβδος με τον άξονα.

ii) Να υπολογίσετε τη ροπή αδράνειας του στερεού s, ως προς τον άξονα z.

iii) Θέτουμε τη στιγμή t₀=0, το στερεό σε περιστροφή ασκώντας στην κορυφή Γ, οριζόντια δύναμη μέτρου F=4Ν, κάθετη στην πλευρά ΒΓ, με φορά προς τα μέσα στο σχήμα.           
Να υπολογιστούν τη χρονική στιγμή t₁=5s:

α) Η γωνιακή ταχύτητα του στερεού s και η στροφορμή του κατά (ως προς) τον άξονα z.

β) Η κινητική ενέργεια του στερεού, καθώς και ο ρυθμός μεταβολής της κινητικής του ενέργειας.

iv) Σταματάμε την περιστροφή και αφαιρούμε τον άξονα z. Περνάμε την κορυφή Α σε δεύτερο οριζόντιο άξονα x, κάθετο στο επίπεδο του τριγώνου, γύρω από τον οποίο το στερεό s μπορεί να περιστρέφεται χωρίς τριβές. Φέρνουμε το στερεό σε τέτοια θέση ώστε η πλευρά ΒΓ να είναι κατακόρυφη και το αφήνουμε να κινηθεί. Να υπολογιστεί η αρχική επιτάχυνση (μέτρο και κατεύθυνση) της κορυφής Β.

Δίνεται g=10m/s², ενώ η ροπή αδράνειας μιας ομογενούς ράβδου ως προς κάθετο άξονα που περνά από το μέσον της Ι_ο= (1/12)ml².

Απάντηση:

ή

Η περιστροφή ενός τριγώνου

Η περιστροφή ενός τριγώνου

Η κρούση και η διατήρησης της στροφορμής

Μια μικρή σφαίρα μάζας m=1kg, την οποία θεωρούμε υλικό σημείο, κρέμεται στο άκρο αβαρούς νήματος μήκους l₁=5m, από σταθερό σημείο Ο. Στην ίδια κατακόρυφο ισορροπεί μια ομογενής ράβδος ΚΒ, μήκους l=2m και μάζας Μ=6kg, όπου το άκρο της Β εφάπτεται της σφαίρας. Η ράβδος μπορεί να στρέφεται γύρω από οριζόντιο άξονα που περνά από το άκρον της Κ.

Μετακινούμε τη σφαίρα φέρνοντάς την στη θέση Α, όπου το νήμα είναι τεντωμένο και οριζόντιο και την αφήνουμε να κινηθεί. Φτάνοντας στην κατακόρυφο, συγκρούεται με το άκρο της ράβδου και αμέσως μετά, κινείται προς τα αριστερά με ταχύτητα μέτρου υ₁=2m/s.

i)   Να βρεθεί η ταχύτητα της σφαίρας πριν την κρούση, καθώς και η μεταβολή της ορμής της, η οποία οφείλεται στην κρούση.

ii)  Θέλουμε να υπολογίσουμε τη γωνιακή ταχύτητα την οποία αποκτά η ράβδος λόγω της κρούσης. Για το σκοπό αυτό θα εφαρμόσουμε την αρχή διατήρησης της στροφορμής για το σύστημα, ως προς οριζόντιο άξονα, ο οποίος περνά:

α) Από το σημείο Ο,  

β) από το σημείο Κ περιστροφής της ράβδου, 

γ) από το μέσον Μ της ράβδου.

Να δικαιολογήσετε με ποιον ή ποιους από τους παραπάνω άξονες, μπορείτε να δουλέψετε και στη συνέχεια να υπολογίσετε τη γωνιακή ταχύτητα της ράβδου.

iii) Να υπολογιστεί η μεταβολή της ορμής της ράβδου, η οποία οφείλεται στην κρούση. Η ορμή του συστήματος σφαίρα-ράβδος διατηρήθηκε κατά την κρούση αυτή;

iv) Να υπολογιστεί η απώλεια μηχανικής ενέργειας που οφείλεται στην κρούση.

Δίνεται g=10m/s² ενώ η ροπή αδράνειας της ράβδου ως προς τον άξονα περιστροφής της  Ι= 1/3 Μl².

Απάντηση:

ή

Η κρούση και η διατήρησης της στροφορμής

Η κρούση και η διατήρησης της στροφορμής