Παρασκευή, 12 Δεκεμβρίου 2008

Στάσιμο κύμα πάνω σε χορδή.

Τεντωμένη χορδή από καουτσούκ έχει μήκος l και τα δύο άκρα της Α και Β στερεωμένα σε ακλόνητα σημεία, ενώ η χορδή διατηρείται οριζόντια. Στο μέσο της χορδής Ο προκαλούμε απλή αρμονική ταλάντωση με εξίσωση y=0,05ημ20πt (S.I.). Τα παραγόμενα κύματα έχουν ταχύτητα διάδοσης στη χορδή υ=4m/s. Όταν αποκατασταθεί μόνιμο φαινόμενο στην χορδή, διαπιστώνουμε ότι υπάρχουν 4 σημεία που παραμένουν ακίνητα, εκτός των Α και Β.
  1. Να βρείτε το μήκος της χορδής.
  2. Να γράψετε την εξίσωση του στάσιμου κύματος, αν τη χρονική στιγμή t=0 για το σημείο του μέσου της χορδής, το οποίο θεωρούμε ως αρχή του άξονα x'x, είναι y=0 και V>0.
  3. Να σχεδιάσετε το στιγμιότυπο του στάσιμου κύματος την χρονική στιγμή t=1/40s.
  4. Αν το μέσον Ο της χορδής τεθεί σε ταλάντωση με εξίσωση y=0,05ημ22πt (S.I.) θα δημιουργηθεί πάνω στη χορδή στάσιμο κύμα;
  5. Αν το μέσον Ο της χορδής τεθεί σε ταλάντωση με εξίσωση y=0,05ημ32πt (S.I.) ποιο το μέτρο της μέγιστης ταχύτητας του σημείου Ο;
 .
.

5 σχόλια:

Τάσος είπε...

Χρόνια πολλά και Καλή Χρονιά! Συγχαρητήρια για το εξαιρετικό blog σου! Καλό κουράγιο, δεν είναι τόσο εύκολο, απαιτεί πολύ προσωπικό χρόνο. Έχω μια απορεία, δε γίνεται και σένα θα σ'έχει απασχολήσει: τελικά, το μέσο Ο με τί πλάτος θα ταλαντώνεται α) με αυτό που δίνεται αρχικά στην εξίσωση ταλάντωσής του, β)με το διπλάσιο, όπως προκύπτει μετά τη δημιουργία του στάσιμου κύματος της πρώτης περίπτωσης, ή με μηδέν όπως προκύπτει μετά τη δημιουργία του στάσιμου κύματος της δεύτερης περίπτωσης;

Διονύσης Μάργαρης είπε...

Καλή χρονιά και από μένα. Με υγεία και κέφι για να ψάχνουμε πράγματα..
Λοιπόν όσον αφορά το ερώτημά σου.
Πριν την συμβολή και την δημιουργία του στάσιμου κύματος το πλάτος είναι 0,05m.
Μετά την συμβολή εξαρτάται από το τι ακριβώς συμβαίνει στο Ο.
Στην πρώτη περίπτωση έχουμε κοιλία οπότε Α΄=2Α=0,1m στην δεύτερη όμως δημιουργείται δεσμός και Α=0.

Τάσος είπε...

Γειά σας και πάλι... Κάνω την εξής σκέψη: όταν τα κύματα μετά την ανάκλασή τους επιστρέψουν στο Ο, ολοκληρώνοντας τη συμβολή τους με τα κύματα που δημιουργούνται από την ταλάντωση του Ο, πρέπει να απομακρύνουμε το αίτιο που ταλαντώνει το Ο με πλάτος 0,05m. Γιατί αν το αίτιο αυτό είναι ένας μηχανισμός φτιαγμένος να προκαλεί ταλαντώσεις πλάτους 0,05m θα έχουμε πρόβλημα!
Μετά την ολοκλήρωση της συμβολής, η ενέργεια που πρόσφερε ο μηχανισμός ταλάντωσης του Ο στη χορδή διαμοιράστηκε σε συγκεκριμένα και σταθερά ποσά (αν δεν έχουμε απώλειες) σε κάθε υλικό σημείο της. Έτσι, στην περίπτωση που δεν υπάρχουν απώλειες, ο μηχανισμός αυτός δε χρειάζεται και η απομάκρυνσή του θα επέτρεπε στο Ο να ταλαντωθεί με όποιο πλάτος του προέκυπτε. Αρκεί, αρχικά, να προκαλούσε ταλάντωση του Ο με συχνότητα ίση με μια από τις ιδιοσυχνότητες της χορδής ώστε πάνω της να δημιουργούνταν ακέραιος αριθμός ατράκτων. Έτσι κι αλλιώς το σχολικό βιβλίο θεωρεί τις απώλειες ενέργειας κατά τη διάδοση ενός κύματος αμελητέες!
Κι αν, όπως συμβαίνει στην πράξη, οι απώλειες ενέργειας δεν είναι αμελητέες και χρειάζεται μια "πηγή" ενέργειας για να τις αναπληρώνει ώστε το πλάτος των μορίων της χορδής να διατηρείται σταθερό; Έ, τότε,μετά την ολοκλήρωση της συμβολής, ας μετατοπίσουμε το μηχανισμό αυτό σε ένα υλικό σημείο της χορδής που κάνει ταλάντωση με πλάτος 0,05m, ωστε να το κρατάει σταθερό! Κατ'επέκταση θα διατηρούνται σταθερά και τα πλάτη των υπολοίπων υλικών σημείων.
Εδώ όμως υπεισέρχονται φαινόμενα συντονισμού και το πλάτος ταλάντωσης των κοιλιών δε θα είναι διπλάσιο του πλάτους των κυμάτων που συνέβαλλαν, αλλά θα εξαρτάται από τη σταθερά απόσβεσης. Όσο πιό μικρή η σταθερά απόσβεσης τόσο πιο μεγάλο το πλάτος. Κι αν η σταθερά απόσβεσης τείνει στο μηδέν, η χορδή μάλλον θα καταστραφεί.
Ευχαριστώ για τη φιλοξενία. Μήπως υπάρχει κάποιο σφάλμα στα παραπάνω που δεν το βλέπω;

Διονύσης Μάργαρης είπε...

Τάσο Καλημέρα. Χαίρομαι για την πολύ καλή ανάλυσή σου. Πραγματικά έχεις δίκιο για το τι θα συμβεί στο σημείο που υπάρχει η πηγή, μετά την συμβολή και στο τι πρέπει να κάνει ή να μην κάνει αυτός ο μηχανισμός.
Πραγματικά εμείς μένουμε στο ότι η ταλάντωση της χορδής είναι αμείωτη. Νομίζω ότι από κει και πέρα ξεφεύγουμε από το επίπεδο του Λυκείου.
Όμως έχει δίκιο για το ότι αν έχουμε απόσβεση πρέπει να συνεχίσει ο διεγέρτης (η πηγή του κύματος) να παρέχει ενέργεια στην χορδή για να διατηρεί σταθερό το πλάτος. Και μια σκέψη πάνω στους δεσμούς: Πρέπει να διαδίδεται η ενέργεια, άρα δεν θα υπάρχουν πραγματικά ακίνητα σημεία δεσμοί.

Τάσος είπε...

Ευχαριστώ πολύ. Κι επειδή αύριο αρχίζουν τα σχολεία: εύχομαι καλή δύναμη κι όμορφες εμπνεύσεις στο μαυροπίνακα. Κι αν εμείς είμαστε, ας πούμε, ο διεγέρτης και οι μαθητές μας ο ταλαντωτής, είθε να είναι οι συχνότητες μεταξύ μας ίδιες για τη μετάδοση της γνώσης "κατά το βέλτιστο δυνατό τρόπο".