Ποια η εξίσωση και ποιο το στιγμιότυπο του κύματος;

Σαν συνέχεια της ανάρτησης Γνωρίζοντας την εξίσωση του κύματος μπορούμε να χαράξουμε το στιγμιότυπο; Ας δούμε άλλο ένα παράδειγμα, που ενισχύει την θέση που υποστηρίχθηκε εκεί.

Ένα αρμονικό κύμα διαδίδεται προς την θετική κατεύθυνση του άξονα με ταχύτητα υ=4m/s και για t=0 η μορφή του μέσου φαίνεται στο παρακάτω σχήμα.

i)  Να βρεθεί η εξίσωση του κύματος.

ii)  Να σχεδιασθεί το στιγμιότυπο του κύματος τη χρονική στιγμή t₁=1s

iii) Να σχολιασθούν τα αποτελέσματα.

Απάντηση:

i)   Από την θεμελιώδη εξίσωση της κυματικής της κυματικής παίρνουμε:

υ=λf → f=υ/λ=2Ηz και Τ=0,5s

Το σημείο Σ στο οποίο έχει φτάσει το κύμα, βρίσκεται στη θέση ισορροπίας και θα κινηθεί προς την αρνητική κατεύθυνση, συνεπώς έχει αρχική φάση φ₀=π και η εξίσωση της απομάκρυνσής του θα είναι:

y= 0,1∙ημ(4πt+π) (S.Ι.)

Στο τυχαίο σημείο Τ στη θέση x, το κύμα θα καθυστερήσει να φτάσει το κύμα κατά:

t₁= d/υ = (x+1)/4  s

και η εξίσωση της απομάκρυνσής του από τη θέση ισορροπίας...

 συνέχεια...

Ένα κύμα, χωρίς … τέλος.

Ένα αρμονικό κύμα διαδίδεται κατά μήκος ενός γραμμικού ελαστικού μέσου και από αριστερά προς τα δεξιά (προς την θετική κατεύθυνση) και σε μια στιγμή t₀=0, πήραμε ένα στιγμιότυπο σε μια περιοχή του μέσου (το κύμα έχει διαδοθεί και πέρα από τη θέση x=6m).

Το σημείο Β στη θέση x₁=2m τη στιγμή αυτή έχει ταχύτητα μέτρου 1,57m/s και φτάνει για πρώτη φορά στη μέγιστη θετική απομάκρυνση τη στιγμή t₁=1,5s.

i)   Ποια η ταχύτητα του κύματος;

ii)  Να βρεθεί η εξίσωση του κύματος.

iii)  Να σχεδιαστεί το αντίστοιχο στιγμιότυπο .... 

Απάντηση:

Ένα κύμα, χωρίς … τέλος.

Εξίσωση και μορφή του κύματος.

Κατά μήκος ενός ελαστικού μέσου και προς την θετική κατεύθυνση, διαδίδεται ένα κύμα με πλάτος Α=0,3m και ταχύτητα υ=2m/s. Στο πάνω σχήμα (α) δίνεται η εικόνα του μέσου τη χρονική στιγμή t₀=0.

i)  Να βρεθεί η εξίσωση του κύματος και να σχεδιάστε ένα στιγμιότυπο του κύματος τη στιγμή t₁=1,25s.

ii) Ποιες οι αντίστοιχες απαντήσεις αν τη στιγμή t₀=0 η μορφή του μέσου ....

Απάντηση

Εξίσωση και μορφή του κύματος

Απλή Αρμονική Ταλάντωση και εγκατάλειψη του ελατηρίου.

 Ένα κατακόρυφο ελατήριο, σταθεράς k=200Ν/m, στηρίζεται στο έδαφος με το κάτω άκρο του, ενώ στο πάνω άκρο του ηρεμεί ένα σώμα μάζας m=8kg, χωρίς να είναι δεμένο με το ελατήριο. 

Ασκώντας κατάλληλη κατακόρυφη δύναμη, εκτρέπουμε το σώμα κατακόρυφα προς τα κάτω κατά y₁=0,8m και για t=0 το αφήνουμε να κινηθεί.

i)  Ν’ αποδειχθεί ότι για όσο χρόνο το σώμα βρίσκεται σε επαφή με το ελατήριο, εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση.

ii)  Ποια χρονική στιγμή το σώμα εγκαταλείπει το ελατήριο; Τι κίνηση θα πραγματοποιήσει από κει και πέρα;

iii) Πόσο θα απέχει το σώμα από το πάνω άκρο του ελατηρίου, τη στιγμή που θα μηδενιστεί στιγμιαία η ταχύτητά του;
Δίνεται g=10m/s².

Απάντηση: 

Απλή Αρμονική Ταλάντωση και εγκατάλειψη του ελατηρίου

Στιγμιότυπο κύματος και φάσεις.

Δίνεται το στιγμιότυπο (α) του παρακάτω  σχήματος κάποια χρονική στιγμή t₀, για ένα κύμα που διαδίδεται προς τα δεξιά, χωρίς αρχική φάση, ξεκινώντας από την πηγή που θεωρούμε ότι βρίσκεται στη θέση x=0.

i)   Ποια η φάση του σημείου Δ;

ii)  Για πόσο χρόνο ταλαντώνεται το σημείο Β;

iii) Πόσες ταλαντώσεις έχει εκτελέσει η πηγή του κύματος;

iv) Αναφερόμενοι στο (β) σχήμα που το κύμα ....

Απάντηση:

Στιγμιότυπο κύματος και φάσεις

Σύνθεση ταλαντώσεων με παραπλήσιες συχνότητες.

Ένα υλικό σημείο εκτελεί ταυτόχρονα δύο ταλαντώσεις στην ίδια διεύθυνση, γύρω από την ίδια θέση ισορροπίας με εξισώσεις:

x₁=2ημ(100πt +π/2)
x₂=2ημ104πt

(μονάδες στο S.Ι.)

α)  Ποιο το πλάτος της συνισταμένης ταλάντωσης και ποια η απομάκρυνση τη χρονική στιγμή t=0;

β)  Ποια είναι η εξίσωση της κίνησης που εκτελεί το σώμα;

γ) Για τις χρονικές στιγμές t₁= 7/8s και t₂= 9/8s, να ...

Απάντηση

 Σύνθεση ταλαντώσεων με παραπλήσιες συχνότητες

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΩΝ 2009-10

Διάρκεια 3 ώρες.

ΘΕΜΑ 1^ο.

Οι παρακάτω ερωτήσεις δεν απαιτούν δικαιολόγηση.

1)      Ένα σώμα εκτελεί α.α.τ. και για t=0 περνά από το σημείο Δ του σχήματος. Η εξίσωση της απομάκρυνσής του είναι:

α)  x=Αημωt                                          β)       x=Αημ(ωt+π/4)

γ)  x= Αημ(ωt-π/4)                                 δ)       x=Αημ(ωt+3π/4)

2)      Ένα σώμα εκτελεί ταυτόχρονα δύο α.α.τ. του ίδιου πλάτους και της ίδιας διεύθυνσης, οι συχνότητες των οποίων f₁ και f₂ διαφέρουν λίγο μεταξύ τους.     
Ποιες από τις παρακάτω προτάσεις είναι σωστές και ποιες λάθος.

α)  Το σώμα εκτελεί α.α.τ.

β)  Το πλάτος της ταλάντωσης μεταβάλλεται εκθετικά με το χρόνο.

γ)  Η μέγιστη τιμή του πλάτους είναι 2Α.

δ)  Ο χρόνος που μεσολαβεί μεταξύ δύο διαδοχικών μηδενισμών του πλάτους, εξαρτάται από τη διαφορά f₁-f₂ και μεγαλώνει όταν η διαφορά αυτή ελαττώνεται.

3)      Στο άκρο ενός ιδανικού ελατηρίου ταλαντώνεται ένα σώμα Σ₁ μάζας 1kg με πλάτος Α και ενέργεια ταλάντωσης 10J. Αν στο άκρο του ίδιου ελατηρίου συνδέσουμε σώμα Σ₂ μάζας 4kg το οποίο ταλαντώνεται με το ίδιο πλάτος Α, τότε:

i)     Η περίοδος ταλάντωσης του Σ₂ θα ήταν τετραπλάσια αυτής του Σ₁.

ii)    Η ενέργεια ταλάντωσης θα τετραπλασιαζόταν.

iii)  Η ενέργεια ταλάντωσης θα ήταν διπλάσια.

iv)  Η ενέργεια ταλάντωσης παραμένει σταθερή.

 συνέχεια...

Φθίνουσα ταλάντωση και σταθερά απόσβεσης.

Στα κάτω άκρα δύο όμοιων κατακόρυφων ελατηρίων δένουμε δύο σώματα Α και Β της ίδιας μάζας και τα αφήνουμε να κινηθούν από τις θέσεις φυσικού μήκους των ελατηρίων, όπως στο παρακάτω σχήμα. 

Τα σώματα εκτελούν φθίνουσα ταλάντωση εξαιτίας του αέρα.

Στο παρακάτω διάγραμμα δίνεται η γραφική παράσταση της απομάκρυνσης του Α σώματος σε συνάρτηση με το χρόνο.

i)  Τη χρονική στιγμή t₁ το Α σώμα έχει επιτάχυνση ή όχι; Αν ναι ποια η κατεύθυνσή της;

ii) Την παραπάνω στιγμή το Β βρίσκεται στη θέση x=0 ή όχι;

iii)  Πάνω στο παραπάνω διάγραμμα ...

Απάντηση

Φθίνουσα ταλάντωση και σταθερά απόσβεσης