Αφού ευχαριστήσω για μια ακόμη φορά τον συνάδελφο Σταύρο Πρωτογεράκη για την σειρά των πέντε άρθρων του John W. Jewett Jr., που μας πρόσφερε, θα μου επιτρέψετε να κωδικοποιήσω κάποια σημεία, τα οποία θα μας βοηθούσαν να διδάξουμε και εμείς στη σημερινή δευτεροβάθμια Ελληνική εκπαίδευση καλύτερα το θέμα αυτό ή τουλάχιστον θα μας βοηθούσαν να αποφύγουμε λανθασμένες εκδοχές κατά τη διδασκαλία μας.
1) Τι είναι το Δr στην εξίσωση:
W=F·Δr·cosθ
Στη δικιά μου μέθοδο προσέγγισης για την επίλυση προβλημάτων, η μετατόπιση Δr πάντα ως η μετατόπιση του σημείου εφαρμογής της δύναμης. Για ένα σύστημα που αποτελείται από ένα μοναδικό σωματίδιο ή ένα μη παραμορφώσιμο αντικείμενο το οποίο δεν περιστρέφεται, η μετατόπιση του σημείου εφαρμογής της δύναμης είναι ίδια με τη μετατόπιση του αντικειμένου ή του συστήματος. Ωστόσο, για ένα παραμορφώσιμο ή περιστρεφόμενο σύστημα, η μετατόπιση του κέντρου μάζας του συστήματος μπορεί να είναι διαφορετική από τη μετατόπιση του σημείου εφαρμογής της δύναμης.
2) Εάν η ποσότητα Δr στον ορισμό του έργου οριστεί ως «η μετατόπιση του αντικειμένου», συχνά ακολουθεί στα βιβλία και τη διδασκαλία ότι το έργο που παράγεται από την τριβή σ’ ένα σώμα που ολισθαίνει πάνω σε μία επιφάνεια είναι W= - fk·d όπου fk είναι η δύναμη τριβής ολίσθησης πάνω στο σώμα και d η απόσταση κατά την οποία το σώμα μετακινείται σε σχέση με την επιφάνεια.
3) Το συνολικό έργο που παράγεται από πολλές δυνάμεις πάνω σ’ ένα αντικείμενο, είναι ίσο με το άθροισμα των έργων που παράγονται από κάθε μία δύναμη ξεχωριστά πάνω στο σύστημα. Και όχι « Το συνολικό έργο που παράγεται από πολλές δυνάμεις πάνω σ’ ένα αντικείμενο, είναι ίσο με το γινόμενο της συνισταμένης δύναμης που ασκείται στο αντικείμενο επί τη μετατόπιση του αντικειμένου.»
4) Στην ενεργειακή προσέγγιση που προτείνεται σ’ αυτή τη σειρά των άρθρων, το θεώρημα έργου-κινητικής ενέργειας δεν αποτελεί το σημείο εκκίνησης για την επίλυση προβλημάτων. Παρ’ ότι το θεώρημα έργου- κινητικής ενέργειας θα μπορούσε να συμπεριληφθεί στην επίλυση κάποιων προβλημάτων, δεν χρησιμοποιείται από τους σπουδαστές ως θεμελιώδης αρχή για να ξεκινήσουν ένα ενεργειακό πρόβλημα.
5) Σωστό ή λάθος; Ένα αγόρι πηδάει προς τα πάνω στον αέρα εξασκώντας μια προς τα κάτω δύναμη στο έδαφος. Μπορούμε να εφαρμόσουμε το θεώρημα έργου-κινητικής ενέργειας, W=ΔΚ , για το αγόρι, προκειμένου να υπολογίσουμε την ταχύτητα με την οποία εγκαταλείπει το έδαφος;
Η προς τα πάνω δύναμη που εκτινάσσει το αγόρι στον αέρα είναι η κάθετη δύναμη που ασκεί το έδαφος στα πόδια του. Το κέντρο μάζας του αγοριού πράγματι μετατοπίζεται κατακόρυφα. Η κάθετη δύναμη, ωστόσο, δεν μετατοπίζει το σημείο εφαρμογής της στο σύστημα αναφοράς του εδάφους, και έτσι δεν παράγεται έργο απ’ αυτή τη δύναμη πάνω στο αγόρι.
Η προς τα πάνω δύναμη που εκτινάσσει το αγόρι στον αέρα είναι η κάθετη δύναμη που ασκεί το έδαφος στα πόδια του. Το κέντρο μάζας του αγοριού πράγματι μετατοπίζεται κατακόρυφα. Η κάθετη δύναμη, ωστόσο, δεν μετατοπίζει το σημείο εφαρμογής της στο σύστημα αναφοράς του εδάφους, και έτσι δεν παράγεται έργο απ’ αυτή τη δύναμη πάνω στο αγόρι.
6) Στο πρώιμο στάδιο της μελέτης της ενέργειας σ’ ένα τυπικό εισαγωγικό μάθημα, το υπό εξέταση σύστημα είναι συχνά ένα μοναδικό αντικείμενο. Σε μια προσέγγιση διδασκαλίας της ενέργειας βασισμένης στην έννοια του συστήματος, ωστόσο, η ιδέα του συστήματος τονίζεται ακόμα και σ’ αυτό το πρώιμο στάδιο για να είναι έτοιμοι οι σπουδαστές να αντιμετωπίσουν πιο πολύπλοκες καταστάσεις τις οποίες θα συναντήσουν σύντομα. Σ’ ένα συγκεκριμένο πρόβλημα, είναι πιο σημαντικό να προσδιορίσουμε τις ειδικές συνθήκες για το σύστημα του προβλήματος: Είναι το σύστημα απομονωμένο ή όχι; Έτσι αντί να λέμε «η ενέργεια διατηρείται» είναι πιο χρήσιμο να δηλώσουμε «η ενέργεια του απομονωμένου συστήματος παραμένει σταθερή», ή «το σύστημα δεν είναι απομονωμένο γιατί μπορούμε να προσδιορίσουμε μία ή περισσότερες μεταφορές ενέργειας, οπότε η ενέργεια του συστήματος δεν διατηρείται σταθερή».
7) Είναι προτιμότερο να προσδιορίζουμε τη δύναμη που κάνει το έργο και το σύστημα που είναι ο αποδέκτης του έργου: για παράδειγμα θεωρείστε τις προτάσεις «έργο παράχθηκε από τη βαρύτητα πάνω στην μπάλα», «έργο παράχθηκε από την ηλεκτρική δύναμη πάνω στο ηλεκτρόνιο» και «έργο παράχθηκε από το πιστόνι πάνω στο αέριο». Οι προτάσεις αυτές εκφράζουν ξεκάθαρα ότι το έργο παράγεται πάνω σ’ ένα σύστημα από μία δύναμη ενώ επίσης στρώνουν το έδαφος για την ιδέα ότι το έργο αντιπροσωπεύει μία ενεργειακή μεταφορά ανάμεσα σε ένα σύστημα και το περιβάλλον του
8) Θεωρείστε ένα σύστημα στο οποίο μια συντηρητική δύναμη δρα μεταξύ μελών του συστήματος. Αν ένα μέλος του συστήματος μετακινείται έτσι ώστε το σημείο εφαρμογής της συντηρητικής δύναμης να μετατοπίζεται και έργο Wσυντ να παράγεται πάνω του από τη συντηρητική δύναμη, η αντίστοιχη δυναμική ενέργεια του συστήματος μεταβάλλεται κατά
Wσυντ= - ΔU.
9) Για την περίπτωση της μετακίνησης ενέργειας ανάμεσα σ’ ένα σύστημα μιας θερμοκρασίας και στο περιβάλλον του διαφορετικής θερμοκρασίας, η διαδικασία είναι «μεταφορά ενέργειας με θερμότητα». Αντιπαθώ την έκφραση «μεταφορά ενέργειας με τη μορφή θερμότητας» γιατί υπονοεί ότι η θερμότητα είναι αποθηκεύσιμη μορφή ενέργειας μάλλον, παρά μια μέθοδος για τη μεταφορά ενέργειας.
10) Θα πρέπει να γίνει ξεκάθαρο στους σπουδαστές ότι ενεργειακοί μετασχηματισμοί συμβαίνουν στο εσωτερικό ενός συστήματος και έχουν ως αποτέλεσμα την αλλαγή ενός τύπου αποθηκευμένης ενέργειας σε άλλον. . Όταν ένα σώμα ολισθαίνει πάνω σε δάπεδο και σταματά, η κινητική ενέργεια του συστήματος σώμα-δάπεδο μετασχηματίζεται σε εσωτερική ενέργεια στο σώμα και το δάπεδο. Εάν το σύστημα είναι απομονωμένο, μόνο μετασχηματισμοί ενέργειας μπορούν να συμβούν και η συνολική ενέργεια του συστήματος διατηρείται σταθερή.
11) Επιπρόσθετα, απρόσεκτη χρήση της γλώσσας περιλαμβάνει προτάσεις όπως «ενέργεια εισέρχεται στον λαμπτήρα ως ηλεκτρισμός και μετατρέπεται σε φως και θερμότητα». Αυτή η πρόταση έχει τρεις αδυναμίες όσον αφορά τη σαφήνεια της γλώσσας. Πρώτον, η ενέργεια δεν εισέρχεται σε καμία ηλεκτρική συσκευή ως «ηλεκτρισμός». Αυτό υπονοεί ότι ο ηλεκτρισμός είναι μορφή ενέργειας. Παρομοίως, η δεύτερη και τρίτη αδυναμία σχετίζονται με τη δήλωση ότι η ενέργεια «μετατρέπεται» σε φως και θερμότητα: επειδή το «μετατρέπεται» είναι ισοδύναμο του «μετασχηματίζεται», η πρόταση αυτή υπονοεί ότι το φως και η θερμότητα είναι μάλλον μορφές ενέργειας παρά μηχανισμοί μεταφοράς ενέργειας. Μια ισχυρότερη και σωστότερη πρόταση είναι ότι «η ενέργεια εισέρχεται στο σύστημα του λαμπτήρα με τη μορφή ηλεκτρικής μετάδοσης (electrical transmission) και εξέρχεται από το σύστημα με ηλεκτρομαγνητική ακτινοβολία και θερμότητα». Σημειώστε ότι αλλάζοντας το «σαν» με το «με» είναι ένα σημαντικό βήμα για να ταυτοποιήσουμε ηλεκτρισμό, φως και θερμότητα ως μηχανισμούς μεταβίβασης παρά σαν μορφές αποθήκευσης ενέργειας.
12) Η μελέτη ηλεκτρικών κυκλωμάτων είναι ένα παράδειγμα ατυχούς αλλά δημοφιλούς επιλογής λέξης – η ενέργεια «καταναλώνεται σ’ έναν αντιστάτη». Ενώ οι καθηγητές φυσικής ξέρουν ότι αυτό σημαίνει πως ο αντιστάτης θερμαίνεται και ενέργεια μεταβιβάζεται στο περιβάλλον με θερμότητα και ακτινοβολία, ο σπουδαστής μπορεί να ερμηνεύσει τη λέξη ώστε να σημαίνει ότι η ενέργεια εξαφανίζεται. Ένας λεξικογραφικός ορισμός της λέξης κατανάλωση είναι «η πρόκληση εξάπλωσης μέχρι του σημείου εξαφάνισης». Ο σπουδαστής μπορεί να αποδεχτεί αυτό το νόημα και σχηματίζει την ιδέα ότι η ενέργεια με κάποιο τρόπο χάνεται. Είναι καλύτερα να πούμε ότι η ενέργεια αποδίδεται στον αντιστάτη, που ενισχύει την έννοια της μεταφοράς ενέργειας σ’ ένα σύστημα. Εξαιτίας αυτής της μεταφοράς, η εσωτερική ενέργεια του αντιστάτη αυξάνεται. Στη συνέχεια, υπάρχει μια επακόλουθη μεταφορά ενέργειας με θερμότητα και ηλεκτρομαγνητική ακτινοβολία, από τον θερμό αντιστάτη στο ψυχρότερο περιβάλλον. Μια παρόμοια φρασεολογία που εμφανίζεται σε εγχειρίδια είναι η «απώλεια» ενέργειας.
13) Μια συνηθισμένη πρόταση στα εγχειρίδια και τις διαλέξεις για τη σχετικότητα περιλαμβάνει κάτι σαν «σ’ αυτή τη διαδικασία μάζα μετατρέπεται σε ενέργεια». Αυτός ο τύπος δήλωσης είναι παραπλανητικός για τους σπουδαστές γιατί λέει ότι κάποια ποσότητα μετατρέπεται σε κάτι εντελώς διαφορετικό. Μια ποσότητα που μετριέται σε χιλιόγραμμα απλώς δεν μπορεί να μετατραπεί σε κάτι που μετριέται σε joules. Μια καλύτερη προσέγγιση σ’ αυτή τη διαδικασία μετατροπής είναι να δηλώσουμε με προσοχή ότι η ενέργεια ηρεμίας μετατρέπεται σε άλλες μορφές ενέργειας. Για παράδειγμα, σε μια πυρηνική διάσπαση, η ενέργεια ηρεμίας του συστήματος μειώνεται γιατί μέρος αυτής της ενέργειας ηρεμίας μετασχηματίζεται σε κινητική ενέργεια των εξερχόμενων σωματιδίων.
14) Συχνά δηλώνεται ότι «ισχύς είναι ο ρυθμός με τον οποίο εκτελείται έργο». Αυτή είναι μια ατελής πρόταση και θα αφήσει τους σπουδαστές να αναρωτιούνται για τις ισχύς των λαμπτήρων και των στερεοφωνικών συγκροτημάτων τους. Όταν, ωστόσο, συζητηθούν όλες οι μορφές μεταβίβασης ενέργειας σε μια σφαιρική προσέγγιση για την ενέργεια, μπορεί να γίνει η σωστή δήλωση για την ισχύ: «ισχύς είναι ο ρυθμός με τον οποίο ενέργεια μπορεί να διαπεράσει τα σύνορα του συστήματος». Σπουδαστές που έχουν διδαχτεί μ’ αυτή την προσέγγιση θα καταλάβουν τι είναι ένας λαμπτήρας των 60-watt. Θα καταλάβουν επίσης την ηχητική ισχύ του στερεοφωνικού τους συγκροτήματος και τη φωτεινή ισχύ που προέρχεται από τον ήλιο.
15) Η θεμελιώδης εξίσωση ονομάζεται η εξίσωση διατήρησης της ενέργειας ή εξίσωση συνέχειας της ενέργειας, σε συντομογραφία Α.Δ.Ε. :
ΔΕσυστ = ΣΤ
όπου με Τ παριστάνεται το ποσό της ενέργειας που μεταβιβάζεται ( από το transfer) διαμέσου των ορίων του προσδιορισμένου συστήματος μέσω ενός δεδομένου μηχανισμού.
Η αναπτυγμένη μορφή της παραπάνω εξίσωσης έχει ως εξής:
ΔΚ + ΔU + ΔΕεσωτ = W + Q + TMT + TMW + TER + TET
Στο αριστερό μέλος της εξίσωσης φαίνονται τρεις τρόποι αποθήκευσης ενέργειας στο σύστημα: κινητική ενέργεια Κ, δυναμική ενέργεια U και εσωτερική ενέργεια Εεσωτ. Η συνολική μεταβολή στην ενέργεια που είναι αποθηκευμένη στο σύστημα μπορεί να υπολογιστεί προσθέτοντας τις τρεις επιμέρους μεταβολές γι’ αυτούς τους τύπους αποθηκευμένης ενέργειας.
Η κινητική ενέργεια Κ στο αριστερό μέλος της εξίσωσης ΑΔΕ, είναι το άθροισμα της μεταφορικής κινητικής ενέργειας του κέντρου μάζας του συστήματος, της περιστροφικής κινητικής ενέργειας γύρω από το κέντρο μάζας του συστήματος και της κινητικής ενέργειας που σχετίζεται με τις ακτινικές κινήσεις των μελών του συστήματος σε σχέση με το κέντρο μάζας. Η δυναμική ενέργεια U περιλαμβάνει όλα τα είδη, όπως βαρυτική, ηλεκτρική και ελαστική. Επιπρόσθετα, συμπεριλαμβάνω εδώ τη χημική δυναμική ενέργεια καυσίμων ή εκρηκτικών και τη βιολογική δυναμική ενέργεια από γεύματα. Η εσωτερική ενέργεια Εεσωτ περιλαμβάνει την ενέργεια που σχετίζεται με την άτακτη κίνηση των μορίων, η οποία μετριέται με τη θερμοκρασία και την ενέργεια δεσμών μεταξύ μορίων που σχετίζεται με τη φάση (στερεή, υγρή ή αέρια) του συστήματος. Στο δεξί μέλος της εξίσωσης ΑΔΕ βρίσκεται το συνολικό ποσό ενέργειας που διαπερνά τα σύνορα του συστήματος, εκφρασμένο ως το άθροισμα των ενεργειών που μεταβιβάζονται με έξι συνήθεις διαδικασίες:
W: έργο πάνω στο σύστημα από εξωτερικές δυνάμεις των οποίων
τα σημεία εφαρμογής μετατοπίζονται.
Q: ενέργεια που διαβιβάζεται διαμέσου των συνόρων του
συστήματος με θερμότητα εξαιτίας της διαφοράς
θερμοκρασίας ανάμεσα στο σύστημα και το περιβάλλον του.
ΤΜΤ: ενέργεια που διαβιβάζεται διαμέσου των συνόρων του
συστήματος με μεταφοράς ύλης (Matter Transfer), όπως
όταν εισάγεται καύσιμο σε ένα δοχείο.
ΤMW: ενέργεια που διαβιβάζεται διαμέσου των συνόρων του
συστήματος με μηχανικά κύματα (Μechanical Waves)
όπως είναι τα ηχητικά και τα σεισμικά κύματα.
ΤΕR: ενέργεια που διαβιβάζεται διαμέσου των συνόρων του
συστήματος με ηλεκτρομαγνητική ακτινοβολία
(Electromagnetic Radiation) όπως είναι το φως και τα
μικροκύματα.
ΤΕΤ: ενέργεια που διαβιβάζεται διαμέσου των συνόρων του
συστήματος με ηλεκτρική μετάδοση (Electrical
Transmission) από μία μπαταρία ή άλλη ηλεκτρική πηγή.
15.1) Σαν ένα τελικό σχόλιο για τις συνθήκες ισχύος των εξισώσεων, θεωρείστε την εξίσωση W=ΔΚ. Αποκαλείται συχνά θεώρημα έργου –κινητικής ενέργειας, και πολλοί σπουδαστές ολοκληρώνουν τη μηχανική με την εντύπωση ότι αυτή είναι η θεμελιώδης ενεργειακή εξίσωση. Είναι σημαντικό να τονίσουμε στους σπουδαστές ότι είναι μια ειδική εξίσωση, η οποία μπορεί να χρησιμοποιηθεί κάτω από τους παρακάτω περιορισμούς: (1) το έργο είναι ο μόνος μηχανισμός μεταφοράς μέσω του οποίου ενέργεια εισέρχεται στο σύστημα και (2) η κινητική ενέργεια του συστήματος είναι το μόνο είδος ενέργειας το οποίο μεταβάλλεται στο σύστημα.
15.2) Ας θεωρήσουμε ένα αυθαίρετο σύστημα που είναι μονωμένο ώστε να μην υπάρχει μεταφορά ενέργειας από ή προς το σύστημα. Ας υποθέσουμε επίσης ότι δεν δρουν μη-συντηρητικές δυνάμεις στο εσωτερικό του συστήματος. Τότε δεν υπάρχει μετατροπή μηχανικής ενέργειας σε εσωτερική ενέργεια και η εξίσωση (2) γίνεται
ΔΚ + ΔU = 0 → Kf + Uf = Ki + Ui
η οποία είναι η γνωστή εξίσωση διατήρησης της μηχανικής ενέργειας ενός απομονωμένου συστήματος. Για παράδειγμα, για μια μπάλα σε πτώση, το σύστημα επιλέγεται να είναι η μπάλα και η Γη και η δυναμική ενέργεια είναι βαρυτική.
15.3)Τέλος, ας θεωρήσουμε το σύστημα ενός ιδανικού αερίου σε στατικό κύλινδρο. Το πιστόνι του κυλίνδρου μπορεί να μετακινείται έτσι ώστε να εκτελείται έργο πάνω στο αέριο. Τα τοιχώματα του κυλίνδρου είναι θερμικά αγώγιμα, έτσι ώστε ενέργεια να μπορεί να μεταφερθεί από και προς το σύστημα με θερμότητα. Σ’ αυτή την περίπτωση η εξίσωση (2) γίνεται
ΔΕint = W + Q
η οποία είναι ο πρώτος νόμος της θερμοδυναμικής. Έτσι, και οι τρεις «θεμελιώδεις» ενεργειακές εξισώσεις που αναφέρθηκαν προηγουμένως, μπορούν να προκύψουν από την πραγματικά θεμελιώδη ενεργειακή εξίσωση, την ΑΔΕ.
16) Και ένας προβληματισμός: Θα πρέπει να διδάξουμε το παρακάτω;
"Ένα αντικείμενο σύρεται πάνω στην επιφάνεια ενός τραπεζιού με σταθερή ταχύτητα κάτω από την επίδραση δύναμης παράλληλης με την επιφάνεια. Επειδή το σώμα είναι σε ισορροπία, η δύναμη τριβής έχει το ίδιο μέτρο με την ασκούμενη δύναμη. Έτσι το έργο που εκτελείται πάνω στο σώμα από τη δύναμη τριβής είναι ίσο κατ’ απόλυτη τιμή με αυτό που παράγεται από την ασκούμενη δύναμη. Το συνολικό έργο που παράγεται απ’ όλες τις δυνάμεις είναι μηδενικό. Είναι σωστή η πρόταση;
Αν και η ασκούμενη δύναμη και η τριβή έχουν ίσα μέτρα, η μετατόπιση του σημείου εφαρμογής της ασκούμενης δύναμης δεν είναι ίδια με τις πολλές μετατοπίσεις των σημείων εφαρμογής της δύναμης τριβής πάνω σ’ ένα μεγάλο αριθμό σημείων επαφής. Έτσι τα έργα των δύο δυνάμεων δεν έχουν το ίδιο μέτρο και δεν αναιρεί το ένα το άλλο.
Ας προσδιορίσουμε ως σύστημα το αντικείμενο. Αν ισχυριστούμε ότι το συνολικό έργο όλων των δυνάμεων πάνω στο σώμα είναι μηδενικό, και δεν υπάρχει άλλη μεταβίβαση ενέργειας στο σύστημα, τότε η ενέργεια του συστήματος πρέπει να παραμένει σταθερή. Η κινητική ενέργεια του συστήματος πράγματι παραμένει σταθερή γιατί κινείται με ταχύτητα σταθερού μέτρου. Αλλά, από την εμπειρία μας γνωρίζουμε ότι σύροντας ένα αντικείμενο πάνω σε μια επιφάνεια το κάνουμε πιο ζεστό – η εσωτερική του ενέργεια αυξάνεται. Εάν το έργο πάνω στο σώμα ήταν μηδενικό, δεν θα υπήρχε πηγή γι’ αυτή την αυξημένη εσωτερική ενέργεια."
Θεωρώ ότι όταν εφαρμόζουμε το Θ.Μ.Κ.Ε. θα πρέπει να δεχτούμε ότι:
Α) Τα δύο έργα είναι αντίθετα.
Β) Αν θεωρήσουμε ότι το έργο της τριβής είναι διαφορετικό, τότε μπαίνουν προβλήματα του είδους: Έστω WF=100J και WΤ= - 90J, τότε τι μετατροπή ενέργειας εκφράζει αυτό το WΤ και πού πήγαν τα υπόλοιπα 10J;
Γ) Αλλά και από διδακτική άποψη θεωρώ προτιμότερο να παίρνουμε το έργο της τριβής από την σχέση W=-T·s και να βρίσκουμε την ενέργεια που αφαιρείται από το σώμα (όχι από το σύστημα) και έτσι να βρίσκουμε και την ενέργεια που μετατρέπεται σε εσωτερική ενέργεια του συστήματος.
Αντίθετα αν δεχτούμε την άποψη του συγγραφέα και γράψουμε για το σύστημα:
ΔΚ+ΔU+ΔΕεσ= WF (1) →
ΔΕεσ= WF
Έχουμε μια ωραία λύση στην περίπτωση που το σώμα κινείται με σταθερή ταχύτητα, αν όμως το σώμα επιταχύνεται γιατί F>Τ, δεν θα μπορούσαμε να λύσουμε το πρόβλημα, αφού η (1) θα έδινε:
ΔΚ+ΔΕεσ= WF
Χωρίς να μπορούμε να υπολογίσουμε την αύξηση της εσωτερικής ενέργειας του συστήματος.
