Κύματα και Ενέργεια

Το προηγούμενο διάστημα έγιναν αρκετές συζητήσεις, κάτω από αναρτήσεις τις οποίες μπορείτε να διαβάσετε από εδώ, εδώ, εδώ, αλλά και τη συζήτηση «Στάσιμο κύμα απορία μαθητή», με διάφορες αφορμές πάνω στα κύματα, τρέχοντα και στάσιμα. Είναι ώρα λοιπόν νομίζω να κωδικοποιήσουμε κάποια ερωτήματα, προσπαθώντας να καταλήξουμε σε κάποια τελικά συμπεράσματα και να μην πάει χαμένο όλο αυτό το υλικό που αναφέρθηκε. Θα ήθελα να ευχαριστήσω όλους όσους βοήθησαν με τις παρεμβάσεις τους στο να καταλήξουμε  στα συμπεράσματα που αναφέρω παρακάτω. Χωρίς την ανταλλαγή επιχειρημάτων, πολλές φορές αντίθετων, δεν νομίζω ότι θα μπορούσαν να προκύψουν με σαφή τρόπο όλα αυτά.

Ας προσπαθήσουμε λοιπόν να μοντελοποιήσουμε ένα κύμα, για να μπορέσουμε να κατανοήσουμε το μηχανισμό μεταφοράς ενέργειας.

Το τρέχον κύμα

Ας έρθουμε κατ’ αρχάς στο τρέχον κύμα σε ένα ελαστικό μέσο. Ας το φανταστούμε σαν μια σειρά ευδιάκριτων υλικών σημείων, τα οποία συνδέονται με ελατήρια, όπου όλα είναι τεντωμένα κατά Δl και βρίσκονται στη θέση ισορροπίας τους.

Τι συμβαίνει όταν το άκρο Ο τεθεί από τη πηγή σε (εξαναγκασμένη) ταλάντωση πλάτους Α και συχνότητας f;

Στο παραπάνω σχήμα το Α υλικό σημείο έχει φτάσει στη μέγιστη θετική απομάκρυνσή του και έχει σχεδιαστεί το κύμα να έχει φτάσει μέχρι το υλικό σημείο Δ, δηλαδή έχει διαδοθεί κατά λ/4. Από τι εξαρτάται η απόσταση αυτή λ/4;

1)     Από  το μέτρο της δύναμης που ασκείται από τα ελατήρια στα υλικά σημεία F=kΔl. Και αν μεν η σταθερά k εξαρτάται από το υλικό, η επιμήκυνση των ελατηρίων καθορίζεται από την τάση που τεντώνει το ελαστικό μέσο.

2)     Από τη μάζα κάθε υλικού σημείου ή αν θέλετε από την αδράνεια που προβάλλει το μέσο, σαν μέτρο της απόκρισής του.

Πώς εκφράζονται αυτά μαθηματικά; Μα, το μήκος κύματος (λ=υΤ) εξαρτάται από την ταχύτητα διάδοσης η οποία είναι ίση με:

 (η απόδειξη από το Νίκο Σταματόπουλο εδώ.)

Ας παρακολουθήσουμε στο παρακάτω σχήμα τις θέσεις των υλικών σημείων μετά από χρόνο Τ/2.

όπου οι κόκκινες γραμμές παριστάνουν τα ελατήρια.

Τι βλέπουμε; Όσο πιο κοντά στη θέση ισορροπίας βρίσκεται το ελατήριο τόσο περισσότερο τεντωμένο είναι, συνεπώς έχει και μεγαλύτερη δυναμική ενέργεια. Στο σχήμα μας, μεγαλύτερη δυναμική ενέργεια έχουν τα ελατήρια 1 και 6, ενώ μικρότερη τα ελατήρια 3 και 4.  Μετά από ελάχιστο χρόνο ίσο με Τ/12 η εικόνα θα είναι όπως στο σχήμα (γ).

Το ελατήριο 6 έχει τώρα μικρότερη ενέργεια, αφού μετέφερε ένα μέρος της δυναμικής του  ενέργειας στο (7) μέσω του υλικού σημείου Η, ενώ πήρε και κάποια ενέργεια από το υλικό σημείο Ζ…

Πού κολλάνε όλα αυτά;  Μα στο συμπέρασμα που ανέφερε ο Στέργιος:

«Σ' αυτήν ακριβώς τη θέση η επιμήκυνση του ελαστικού μέσου θα είναι μέγιστη, άρα και η ελαστική δυναμική ενέργεια. Επίσης σ' αυτή τη θέση η κινητική ενέργεια θα είναι μέγιστη. Παράξενα πράματα! Αντίθετα στην ακραία θέση η ΚΕ και η ελαστική ΔΕ θα είναι μηδέν, εφόσον εκεί το μέσον δεν έχει ταθεί σχεδόν καθόλου πριν και μετά το εν λόγω σημείο. ΔΗΛΑΔΗ: Η συνολική ενέργεια δεν είναι σταθερή από σημείο σε σημείο, και αυτό δικαιολογεί την πρόταση ότι η ενέργεια διαδίδεται κατά μήκος του ελαστικού μέσου.»

Στο σημείο αυτό νομίζω αξίζει να τονισθούν δυο προτάσεις διατυπωμένες από το Διονύση Μητρόπουλο:

«Νομίζω πάντως ότι είναι δεδομένο πως τα στοιχειώδη τμήματα του νήματος  δεν κάνουν ΑΑΤ, αφού πρόκειται για εξαναγκασμένη ταλάντωση….. 

Υπάρχει δηλαδή και προσφορά ενέργειας (από το προηγούμενο τμήμα του νήματος) και απώλεια (προς το επόμενο τμήμα κατά τη φορά διάδοσης του κύματος).»

Με βάση τα παραπάνω νομίζω ότι είναι λογικό να διατυπωθούν τα παρακάτω συμπεράσματα:

1)  Τα υλικά σημεία του ελαστικού μέσου, δεν εκτελούν ΑΑΤ. Ταλαντώνονται με τη συχνότητα του διεγέρτη (της πηγής) εκτελώντας μια «εξαναγκασμένη» ταλάντωση, όχι όμως με τα ίδια χαρακτηριστικά αυτής που μελετάμε στο κεφάλαιο των ταλαντώσεων, αφού εδώ έχουμε και μεταφορά ενέργειας, ενώ εκεί η μεταβιβαζόμενη στον ταλαντωτή ενέργεια, αφαιρείται μέσω του έργου της δύναμης απόσβεσης.

2)  Αν εστιάσουμε την προσοχή μας σε μια στοιχειώδη μάζα δεν έχει νόημα να μιλάμε για την ενέργεια ταλάντωσής της. Πέρα από το ότι η ταλάντωσή της δεν είναι ΑΑΤ, δεν έχουμε ούτε καν ένα σώμα με μια σταθερή «στατική», «εγκλωβισμένη» ενέργεια που να μεταβάλλεται από δυναμική σε κινητική και αντίστροφα.

  

Στάσιμο κύμα.

Το παραπάνω μοντέλο μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε και κατά τη μελέτη ενός στάσιμου κύματος. Ας δούμε το παρακάτω σχήμα, όπου στο (α) τα σημεία βρίσκονται σε θέσεις πλάτους.

Σε ποιες θέσεις τα ελατήρια έχουν μεγαλύτερη δυναμική ενέργεια παραμόρφωσης; Προφανώς αυτά που είναι κοντά στα άκρα, δηλαδή κοντά στους δεσμούς, ενώ αντίθετα τα ελατήρια 3,4 έχουν τη μικρότερη επιμήκυνση. Κατά την κίνησή τους όμως μεγαλύτερη κινητική ενέργεια θα αποκτήσουν τα υλικά σημεία που είναι στο μέσον του τμήματος, γύρω από τις κοιλίες. Παρατηρούμε δηλαδή ότι στη διάρκεια της ταλάντωσης, έχουμε και εδώ μεταφορά ενέργειας, στο στιγμιότυπο (β) από τα άκρα προς το κέντρο, ενώ στο (δ) από το κέντρο (κοιλία) προς τα άκρα (δεσμούς), όπως φαίνεται στο σχήμα (πράσινα βελάκια).

Με άλλα λόγια και στο στάσιμο κύμα έχουμε μεταφορά ενέργειας, απλά η ενέργεια αυτή έχει εγκλωβιστεί στο χώρο μεταξύ δύο δεσμών. Συνεπώς ούτε εδώ μπορούμε να μιλάμε για τη μετατροπή της δυναμικής ενέργειας σε κινητική για μια στοιχειώδη μάζα του ελαστικού μέσου. Εξάλλου, ούτε εδώ ένα υλικό σημείο εκτελεί ΑΑΤ, αφού και πάλι η ταλάντωσή του είναι εξαναγκασμένη….

Και στη συμβολή;

Αν έχουμε τώρα μια ανάκλαση κύματος σε σταθερό εμπόδιο όπως στο σχήμα;

Ο Νίκος Ανδρεάδης υποστήριξε ότι «Απλά μόλις σχηματίζεται ένας δεσμός αρχίζει η συμβολή του ενός κύματος με το ανακλώμενο του σε εκείνο τον δεσμό μέχρι να σχηματισθεί ο επόμενος δεσμός. Μετά τον σχηματισμό του δεύτερου δεσμού η ενέργεια που υπήρχε εκείνη τη στιγμή ανάμεσα στους δύο δεσμούς εγκλωβίζεται.»

Προχωρώντας τον ίδιο συλλογισμό ο Γιώργος Ρούσης υποστήριξε ότι και στην περίπτωση του σχήματος

Συμβαίνει ακριβώς το ίδιο Τα δύο κύματα συμβάλουν στο σημείο Δ, δημιουργώντας έναν δεσμό, όπου και ανακλώνται. Νομίζω ότι έχουν δίκιο αμφότεροι.

Πραγματικά αν δούμε τι συμβαίνει μετά το σχηματισμό του πρώτου δεσμού, θα δούμε ότι η μεταφορά ενέργειας γίνεται όπως στο σχήμα:

Δηλαδή η ενέργεια που έχει αποθηκευτεί μεταξύ του σημείου Δ₁ και του σημείου Μ του τοίχου, δεν περνάει αριστερότερα αλλά διαδίδεται όπως στο στάσιμο κύμα, προς την κοιλία. Αλλά τότε δεν θα περάσει και άλλη ενέργεια από το τρέχον κύμα προς την περιοχή της πρώτης ατράκτου.

Και ο συντονισμός;

Θα ήθελα να κλείσω και με μια τοποθέτηση- πρόταση.

Τι ακριβώς συμβαίνει με το στάσιμο;

« Όταν σχηματίζεται στάσιμο έχουμε φαινόμενο συντονισμού».

Τι νόημα έχει η παραπάνω πρόταση;

Μια γενική τοποθέτηση είναι ότι όταν έχουμε ένα νήμα με σταθερό το ένα του άκρο και θέσουμε σε ταλάντωση το άλλο του άκρο, δεν έχουμε πρόβλημα συντονισμού, απλά πάνω στο νήμα θα σχηματισθεί ένα στάσιμο, όπου στο ελεύθερο άκρο του, μπορούν να συμβούν τα πάντα. Δεσμός ή κοιλία ή κάποιο ενδιάμεσο πλάτος.

Φαινόμενο συντονισμού έχουμε στην περίπτωση που είναι καθορισμένο εξαρχής, λόγω συνθηκών, τι θα συμβεί πάνω στο νήμα. Αν π.χ. τα δυο του άκρα είναι σταθερά, εκεί θα σχηματισθούν δεσμοί, οπότε για να μπορεί να δημιουργηθεί στάσιμο και όχι μια πολύπλοκη κυματική κατάσταση θα πρέπει η συχνότητα του διεγέρτη να είναι ίση με μια από τις ιδιοσυχνότητες του νήματος.

Γιατί ιδιοσυχνότητες και όχι ιδιοσυχνότητα; Εδώ είναι η διαφορά μεταξύ της ταλάντωσης ενός υλικού σημείου και μιας μάζας κατανεμημένης σε ορισμένη έκταση (ένα γραμμικό ελαστικό μέσο).

Μπορείτε να το κατεβάσετε σε pdf.

Συμπέρασμα; Στις θέσεις που η χορδή έχει μεγάλη κλίση έχουμε μεγαλύτερη δυναμική ενέργεια ή αν θέλετε, στο ανώτερο σημείο (σε μια κορυφή) σε ένα κύμα, αλλά και σε μια κοιλία σε ένα στάσιμο κύμα, η δυναμική ενέργεια είναι μηδέν!!!

Άλλο ένα στάσιμο κύμα…

Πάνω σε μια χορδή μήκους 10m έχει δημιουργηθεί ένα στάσιμο κύμα. Για να το μελετήσουμε μαθηματικά, παίρνουμε ένα σύστημα αξόνων x-y, όπου σε ένα σημείο Ο, που απέχει 3m από το αριστερό άκρο του και είναι κοιλία, θεωρούμε x=0, ενώ θεωρούμε t=0 τη στιγμή που το σημείο Ο βρίσκεται στην μέγιστη θετική απομάκρυνσή του, ίση με 0,4m. Έτσι η εξίσωση του στάσιμου παίρνει τη μορφή:

y= 2Α συν(πx/2+φ₀)∙ημ(2πt+θ₀)   (μονάδες στο S.Ι.)

i)   Να βρεθούν τα φ₀, θ₀ και Α.

ii)  Να βρείτε τις θέσεις των δεσμών του στάσιμου κύματος.

iii)  Να σχεδιάστε στο ίδιο σύστημα αξόνων στιγμιότυπα του στάσιμου τις χρονικές στιγμές:

α) t₁=0  και  β)  t₂=0,75s

Σημειώστε πάνω στο διάγραμμα την ταχύτητα του σημείου Ο, τις παραπάνω χρονικές στιγμές.

iv)  Να κάνετε τις γραφικές παραστάσεις της φάσης  της απομάκρυνσης σε συνάρτηση με το χρόνο, δύο σημείων Β και Γ, που βρίσκονται στις θέσεις x₁=1,5m και x₂=3,5m αντίστοιχα, στους ίδιους άξονες.

Απάντηση:

Άλλο ένα στάσιμο κύμα…

Δείτε και ένα animation

Στάσιμο κύμα σε χορδή. Φύλλο εργασίας.

Δίνεται μια χορδή με δεμένο το ένα της άκρο Μ, ενώ στο άλλο της άκρο υπάρχει μια πηγή κύματος η οποία ταλαντώνεται κάθετα στη διεύθυνση της χορδής. Κάποια στιγμή t₁η μορφή της χορδής είναι αυτή του παρακάτω σχήματος (οι αποστάσεις σε μέτρα). Ας δεχτούμε ότι το κύμα διαδίδεται με σταθερό πλάτος.

1. Με βάση το σχήμα βρίσκουμε το μήκος κύματος λ=………..,  το πλάτος του κύματος είναι Α=………… ενώ η πηγή του κύματος ξεκίνησε της ταλάντωσή της προς τα ………… (πάνω, κάτω).

Απάντηση:

Στάσιμο κύμα σε χορδή. Φύλλο εργασίας

Κύματα σε γραμμικό ελαστικό μέσο.

Δύο σύγχρονες πηγές Ο₁ και Ο₂ παράγουν αρμονικά κύματα που διαδίδονται με ταχύτητα υ=2m/s κατά μήκος ενός γραμμικού ελαστικού μέσου με άκρα τα σημείο Ο₁ και Ο₂ όπου (Ο₁Ο₂)=4m.

Η εξίσωση ταλάντωσης των πηγών είναι:

y= 5 ημ2πt (y! cm, t ! s)

i)   Να βρεθούν οι εξισώσεις των δύο κυμάτων που παράγονται θεωρώντας x=0 τη θέση της πηγής Ο₁.

ii)  Να σχεδιάστε στιγμιότυπα που να δείχνει την απομάκρυνση των διαφόρων σημείων του μέσου, σε συνάρτηση με την θέση τους x, τις χρονικές στιγμές:

α)   t₁= 0,75s.                   β)  t₂= 1,25s και

Απάντηση:

Κύματα σε γραμμικό ελαστικό μέσο.

Συμβολή κυμάτων και φάσεις.

Στην επιφάνεια ενός υγρού, βρίσκονται δύο σύγχρονες πηγές Ο₁ και Ο₂ που  απέχουν μεταξύ τους d=0,4m, δημιουργώντας κύματα που διαδίδονται με μήκος κύματος λ=0,2m, τα οποία θεωρούμε ότι διατηρούν σταθερό πλάτος  Α=1cm.

i)   Ένα σημείο Σ απέχει από τις πηγές αποστάσεις r₁=0,3m και r₂=0,5m αντίστοιχα.

α) Ποιο το πλάτος ταλάντωσης του σημείου Σ μετά τη συμβολή των δύο κυμάτων;

β)  Ποια η διαφορά φάσης μεταξύ των δύο κυμάτων που συμβάλλουν στο σημείο Σ;

ii)  Σε ένα άλλο σημείο Ρ, τα δύο κύματα συμβάλλουν παρουσιάζοντας διαφορά φάσης 4π (rad). Ποια η διαφορά των αποστάσεων του σημείου Ρ από τις πηγές; Πού μπορεί να βρίσκεται το σημείο Ρ;

iii)  Να εξετάσετε αν μπορεί να έχουμε διαφορά φάσης μεταξύ των δύο κυμάτων τη στιγμή της συμβολής ίση με 6π (rad).

Απάντηση:

ή

Συμβολή κυμάτων και φάσεις.

Συμβολή από σύγχρονες πηγές. Φύλλο εργασίας.

Στην επιφάνεια ενός υγρού, βρίσκονται δύο σύγχρονες πηγές Ο₁ και Ο₂ που  απέχουν μεταξύ τους d=0,4m και οι οποίες για t=0, αρχίζουν να ταλαντώνονται με εξισώσεις y₁=y₂=1∙ημ4πt (το y σε cm, t σε s). Έτσι δημιουργούνται κύματα τα οποία θεωρούμε ότι διατηρούν σταθερό πλάτος. Το πρώτο κύμα φτάνει σε ένα σημείο Μ της μεσοκαθέτου της Ο₁Ο₂ σε απόσταση (Ο₁Μ)=0,6m τη στιγμή t₁=1,5s.

Δείτε όλο το φύλλο εργασίας από εδώ.

Συμβολή από σύγχρονες πηγές. Φύλλο εργασίας.

Δυο ταλαντώσεις και δυο ελατήρια.

Τα σώματα Σ₁ και Σ₂, που θεωρούνται υλικά σημεία, με μάζες m₁=1kg και m₂=2kg ηρεμούν σε λείο οριζόντιο επίπεδο, δεμένα στα άκρα δύο οριζοντίων ελατηρίων με σταθερές k₁=100Ν/m και k₂=300Ν/m αντίστοιχα, όπως στο σχήμα, απέχοντας μεταξύ τους κατά d=0,4m.

Εκτρέπουμε το σώμα Σ₁ προς τ’ αριστερά κατά 0,5m και για t=0, το αφήνουμε να εκτελέσει ΑΑΤ.

 i)   Ποια χρονική στιγμή το σώμα Σ₁ θα αποκτήσει για πρώτη φορά μέγιστη κατά μέτρο ταχύτητα; Να υπολογιστεί το μέτρο της ταχύτητας αυτής.

ii)  Πόση ταχύτητα θα έχει το σώμα Σ₁ πριν τη πλαστική κρούση του με το σώμα Σ₂;

iii) Να βρεθεί η θέση, ως προς το φυσικό μήκος του ελατηρίου σταθεράς k₁, γύρω από την οποία  θα ταλαντωθεί το συσσωμάτωμα μετά την κρούση.

iv) Να βρεθεί η μέγιστη τιμή του μέτρου της δύναμης επαναφοράς που ασκείται στο συσσωμάτωμα.

Απάντηση:

Δυο ταλαντώσεις και δυο ελατήρια

Διαγώνισμα στις ταλαντώσεις 2 ωρών.

Το σώμα του διπλανού σχήματος εκτελεί εξαναγκασμένη ταλάντωση με την επίδραση εξωτερικής δύναμης της μορφήςF_εξ=F₀∙ημ(2πft). Αυξάνοντας τη συχνότητα της δύναμης αυτής παρατηρούμε ότι ξεκινώντας από την τιμή f=6Ηz, το πλάτος ταλάντωσης αυξάνεται και παίρνει τη μέγιστη τιμή του για την τιμή f₁=10Ηz. Αν αντικαταστήσουμε το ελατήριο με άλλο σταθεράς k₂= ¼ k₁ και μεταβάλουμε με τον ίδιο τρόπο τη συχνότητα της δύναμης, τότε το πλάτος ταλάντωσης του σώματος:

α) Αυξάνεται διαρκώς                

β) μειώνεται διαρκώς       

γ) αρχικά αυξάνεται και μετά μειώνεται.

Να δικαιολογήστε την απάντησή σας.

Δείτε όλο το διαγώνισμα από εδώ.

Διαγώνισμα στις ταλαντώσεις 2 ωρών